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 2 mars 2004  -WIMMEREUX -62

Les triangles quelconques.

 

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

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Objectif précédent : 

1°) Pythagore BEP

 

2°) Relations trigonométriques dans le triangle rectangle .

Objectif suivant

 

1°)Voir complément d’informations. 

2°) Voir applications en arpentage .

 

Liste des cours de trigonométrie.

 

 

 


 

 

DOSSIER : LES RELATIONS trigonométriques entre les éléments  d’un TRIANGLE QUELCONQUE.

 

 

 

 

 

Info sur les relations déjà connues utiliser pour la Résolution des triangles quelconques.

 

 

 

Info :Relation 1 :          

 

 

Règle des sinus :   

 

 

 

a / sin  =  b / sin   =  c / sin

 

 

 

Info : Relation 2 :                          

 

 

 

 

 

 

 

Info : Relation 3  :                         

 

 

 

 

 

 

 

 .

 

 

Ces relations trigonométriques dans le triangle quelconque vont permettre  de calculer la longueur  ou la valeur d’un angle .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nous verrons dans ce qui suit  une APPLICATION de ces relations  aux sciences : la résultante de deux forces.

 


 

 

Exemples de Résolutions de problèmes types :

 

 

 

 

 

Premier cas :       Résoudre un triangle quelconque dont on connaît un côté « a » et les deux angles adjacents      et 

 

 

 

 

 

 

Deuxième cas  :Résoudre un triangle quelconque dont on connaît deux  côtés « b » et « c »  et l’angle    .

 

 

 

 

 

Troisième cas : Résoudre un triangle quelconque dont on connaît  les trois   côtés « a » , « b » et « c »  .

 

 

 

 

 

Quatrième cas :  Résoudre un triangle quelconque dont on  connaît deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

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COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 


 

 

 

 

 

Applications des 3 relations trigonométriques aux triangles

 


 

 

 

 

 

Relation 1 :  ( dit aussi «  la règle des sinus »)

 

 

  

 

 

Théorème  L à retenir.

 

 

Dans tout triangle les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.

 

 

 

 

 

Nous allons voir les deux cas .

 

 

 

 

 

Cas 1 :

 

 

 

 

 

Considérons le triangle ABC et le cercle circonscrit « O ».

 

Traçons le diamètre  BI  et joignons CI .

 

Le triangle rectangle BCI donne :

 

L’ angle   est égal à l’angle

 

Ces angles ayant la même mesure que l’arc :  

 

55

 


 

 

Cas 2 :

 

 

 

 

 

 

Considérons le triangle ABC et le cercle circonscrit « O ».

 

Traçons le diamètre  BI  et joignons CI .

 

Le triangle rectangle BCI donne :

 

L’ angle   est le supplément de l’angle  obtus 

(quadrilatère ABIC inscrit )

 

56

 


 

 

Dans les deux cas nous avons :

 

Et l’ on peut écrire :

 

Ou :

Si « R » est le rayon du cercle inscrit on peut écrire : 

 

 

 

 

 

On en déduit :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

On a donc finalement :

 

 

 

 

 

 

 

Et si  «  2 R = D »         ( R = rayon ; 2 R = D = diamètre)    et si  «  D = 1 »   alors :

 

 

 

 

 

 

 

 

Et finalement :

 

 

 

 

 

 


 

 

Relation 2  :                 

 

 

 

 

 

 

 

       

 

 Dans un triangle quelconque, chaque côté est égal à la somme des produits des deux autres par le cosinus de l’angle qu’ils forment avec le premier côté.

57

 

 

Si l’on mène la hauteur « AH » relative au  côté « a »on a immédiatement :

 

( 1 )      

 

 

 

On en déduit par analogie :

 

 

 

 

 

(2 )             

 

 

 

 

 

( 3 )            

 

 

 

 

 

Remarque : La démonstration  suppose un triangle ayant           et          aigus .

 

 

 

 

 

Si l’un des angles      par exemple est obtus on a le cas qui donne :

 

 

Or :

 

    ( voir des angles supplémentaires)

 

 

En remplaçant on aura encore :

 

Ou

 

 

(on retrouve la formule du premier cas)

58

 

 

 

 


 

 

Relation  n°3 :                    

 

 

 

 

 

 

 

Théorème : 

             Dans un triangle quelconque le carré de chaque côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés , moins le double produit de ces côtés  par le cosinus de l’angle qu’ils comprennent. 

 

 

 

En désignant par « a » , « b » et « c »  les côtés d’un triangle et par « p » la projection  de « b » sur « c » , on peut  écrire  d’après un théorème de géométrie  .

 

 

(@ info, sur les triangles quelconques ) :  

 

 

 

 

Suivant le cas :

 

 

 

 

 

 

Le signe est + si « a »  est opposé à un angle obtus    

Le signe est  si « a »  est opposé à un angle aigu   

 

 

 

59

 

60

 

 

Pour l’angle obtus :

Pour l’angle aigu :

 

 

 

 

 

 

 

 

ou

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ou

ou

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ou :                     

 

 

 

 

 

 

Ainsi les deux formules de (1) sont donc réduites à la forme unique :

 

 

 

( 2 )

 

 

On aurait en analogie :

 

 

 

(3)                                            =  a² + c² - 2 a c cos     

 

 

 

 

 

(4)                                              = a² + b² - 2 a b cos    

 

 

 

Ces formules  permettent le calcul du 3ème côté d’un triangle connaissant les deux autres côtés et l’angle qu’ils  comprennent.

 

 


 

 

 

 

APPLICATION :

 

 

 

 

 

(en sciences)   Détermination de la résultante de deux forces.

 

     En mécanique lorsque l’on veut déterminer la résultante « R »  de deux forces  F1   et  F2  faisant entre elles un angle quelconque « O » il suffit d’appliquer la relation précédente du parallélogramme des forces.

 

 

 

 

 

61

On  peut établir la relation :

 

R² =  F1² + F 2²  -  2  F1  F 2 (   )

 

Exemple :

 si F1 =  15 N  F 2 = 25 N  et   L’angle  = 45° .

 

On trouvera :

    =  1380,25 

  R    =   37 ,15 N

 

 

Info notation

a)    Valeur de la résultante :

 

On considère  par exemple Le triangle OAC :

On établit la relation suivante , à partir de ce que nous avons vu précédemment :

 

 

 

  ( lire mesure algébrique du bi point AB )

 

 

 

 

 

  = 

 

 

 

En remplaçant les segments précédents par leurs valeurs respectives et en remarquant que    cos A = - cos    ( angles supplémentaires) , on a finalement :

 

            R² =  F1² + F 2²  -  2  F1 ´ F 2 ( - cos  )

 

            R² =  F1² + F 2²  +   2  F1 ´  F 2 ´  cos          ( 1)

 

Si par exemple : si F1 =  15 N ;   F 2 = 25 N  et     L’angle    = 45° .

 

 (d ‘après la table :  cos 45° =0,707)  , on remplace dans (1) 

 

  On aura :           R² =  15 ² + 25 ²  +   2  ´ 15 ´  25 ´  0 ,707 

                               R² =  225   + 625  +   750 ´  0 ,707 

                              R² =  850   +   750 ´  0 ,707 

On trouvera :        =  1380,25 

 

  On fait ensuite la racine carrée  de     :        R =   37 ,15 N

 

 

 

 

 

 B ) Direction de la résultante :

 

 

 

La relation du sinus  permet d’autre part de calculer l’inclinaison de la résultante par rapport à l’une  quelconque des forces.

Le triangle OAC donne en effet :

 

Ou

 

 

 

En remplaçant   par les valeurs données ou calculées  et d’établir  l’égalité suivante  :

 

 

 

 

Calcul :

 

 

 

 

 

 

 

D ‘après la table (ou la calculatrice) :

 

  on trouvera  que le sinus de l’angle AOC = 28°20’

 

nota :  En appliquant la vérification sur la somme des angles d’un triangle      , on constatera que l’angle obtus supplément de l’angle AOC ne convient pas .

 

 

 

L’exemple précédent est un exemple de résolution d’un triangle quelconque connaissant deux côtés et l’angle compris . Les différents cas de résolution qui peuvent  se présenter dans la pratique sont traités dans les pages suivantes.

 

 

 

 

 


 

 

Les     4    ( cas ) EXERCICES   types :   RESOLUTION des triangles quelconques.

 


 

 


 

 

 

Premier cas :

Résoudre un triangle quelconque dont on connaît un côté « a » et les deux angles adjacents        et  .

 

Les données sont :

« a » = 83,25 m

   =  39° 30’

     =  58° 20’

Les inconnues sont donc :

« b » ,

« c » ,

et l’angle A.

62

 

Formules de  résolution.

A = 180° - (   +   )

 

 

on en tire les deux égalités suivantes :

 

 

Calcul de l’angle  :

 

                         = 180° - (     +   )

   = 180° - (39° 30’+  58° 20’ )

             =  82° 10’

 

Calcul de « b » :

Sin 58° 20’  =  0,851             ;               sinus 82° 10’= 0,991

 

Calcul de « c » :

Sin 39° 30’ =  0,636   ;               sinus 82° 10’= 0,991

 


 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Deuxième cas :

Résoudre un triangle quelconque dont on connaît deux  côtés « b » et « c »  et l’angle     .

 

Les données sont :

 

 

« b » =  160,60 m

 

« c » =  112 , 90 m

 

  =   26° 15

Les inconnues sont donc :

 

 

« a »     ?

 

      =   ?

 

         ?

63

 

Formules de  résolution.

 

  = b² + c² - 2 c b cos       (donnera « a » )

 

 

Dont on tire

 

                                          

 

 

Calcul de « a » :    ( cos 26° 15 ‘ = 0,897)

 

 

    =  ( 160,60 ) ² +  ( 112,90)² - 2 ´ 160,60 ´ 112,90 ´  cos 26° 15’

 

    =  ( 160,60 ) ² +  ( 112,90)² - 2 ´ 160,60 ´ 112,90 ´  0,897 

 

      =  38538,77 -  32 528,34 = 6010,43

 

   « a »  =  77,50 m  

 

Calcul de sinus de l’angle  B pour en déduire l’angle B. 

 

Sin  26° 15’  =  0,442

 

sin          = 0,916

 

On trouve          =  66° 20 ‘   ou          = 180 ° -  66° 20 ‘   =   113° 40’

 

Calcul de sinus de l’angle            pour en déduire l’angle       

 

sin     = 0,644      ; d’où          =  40° 5’      ou       = 180° - 40° 5’ ;     = 139° 55’

 

 

On vérifiera que    «      +  +     =  180 ° »

 

Les valeurs  de       =  66° 20 ‘   et   = 139° 55’   sont à rejeter , car elles ne permettent pas de satisfaire  à la relation        +    +        =  180 °   

 


 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Troisième  cas :

Résoudre un triangle quelconque dont on connaît  les trois   côtés « a » , « b » et « c »  .

 

Les données sont :

 

« b » =    118 m

 

« c » =    65 ,90 m

 

« a »     80,55 m

 

Les inconnues sont donc :

 

  =   ?

    

        ?

 

    =   ?

64

 

Formules de résolution :

 

  = b² + c² - 2 c b cos   

et de cette formule on tire :

2 c b  cos     =   b² + c² - a²

et                                

              

 

   trouver   dans la table , on en déduit      et      ;    par la relation des sinus :

 

 

par transformation ,  on trouvera :

 

                                                  

 

Calculs : 

 

Calcul de l’angle    :

 

    

pour 0,291     sur  la table  on lit     :    73° 5’ ;        et pour - 0,291   : l’angle     = 180° - 73° 5’ =    106 ° 55 ‘

                     

                                                         L’angle     = 106 ° 55 ‘

pour le calcul de    ,    sur la table on lira le  sin      = sin 106° 55’  =   sin 73° 5’   ; et sinus 73° 5’ = 0,956

 

Calcul  de   l’ angle       

:  on utilise la formule

 

 

 

Pour 0,534                                        l’ angle       =  32 ° 17 ‘

 

Calcul  de   l’ angle         :   

On utilise la formule

 

 

 

                                                

 

D ‘ après la calculatrice  pour  0,653    on trouve         l’angle   C  =       =   40 ° 45’

 

Nota : les suppléments des angles B et C ne conviennent pas . (voir vérification avec  la somme des angles dans un triangle)

 


 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

Quatrième cas :

 

 (deux exemples sont proposés : le premier débouche sur un ensemble de solutions . Le second exemple débouche sur deux ensembles  de solutions  possibles)

 

Résoudre un triangle quelconque dont on connaît deux côtés  et l’angle opposé à l’un d’eux.

 

Les données :

 

« a »

 

« b »

 

l’angle A.  (  )

Les inconnues sont :

 

L’angle B ( )   

 

L’angle C

 

« c »

65

Les formules de résolution sont :

                                          

( la valeur en degré de l’angle B  s’obtient au moyen de la calculatrice ou d’une table.)

 

Puis  l’angle     = 180° - (   +   )

Et        

 

Exemple premier :   un seul  ensemble de solutions :

 

Exemple numérique :

« a »  =  95,75m

« b »  = 70,40 m

  = 49° 40’

 

Calcul de l’angle       :

 

d’après la calculatrice :   à 0,560  correspond l’angle              :  34°3’

 

Calcul de l’angle       :

                 =  180°  - ( 49° 40’ + 34° 3’ )    soit       =   96° 17’

 

Calcul de « c » :

 

Sin    96° 17’  =  sin  ( 180° -    96° 17’)  = sin 83° 43’             (@ info.  +)

 

Et   sin 83° 43’  =  0,994

 

 

le côté c = 124,90 m

 

 

Pour sinus B = 0,560  une deuxième valeur de B est 180° - 34° 3’ = 145° 57’. 

(@ info+)

 

Mais  alors           +          +          >  180°  par suite cette deuxième valeur de B ne convient pas , ne répond pas à la question.

 

Avec les  données suivantes on peut voir que deux solutions sont acceptables. 

 

Exemple second  :   on peut proposer deux  ensembles  de solutions :

 

On donne :   « a » = 77,95 m ; « b » = 98,10 m et l’angle A = 42°55’

 

Calcul de l’angle           :

 

Pour calculer l’angle       on a besoin du sinus de l’angle  :  sin 42°55’ =  0,681

pour  0,851  ,  on  a  ou           =  59°      ou           = 121 °   (soit 2 possibilités)

 

Calcul de l’angle     

 

2 cas

Cas 1°)         = 180° - (     +       )    avec         =  59° 

                =  180°  - ( 42° 55’ + 59 ° )    soit        =   78° 5’

 

Cas 2°)        = 180° - (     +       )    avec          =  121°

                    =  180°  - ( 42° 55’ + 121  ° )    soit             =   16 ° 5’

 

On trouve 2 valeurs pour l’angle B et pour l’angle       :

 

Vérifications :

 

Cas 1 :   42° 55’  + 59 ° + 78°5’  =  180°

 

Cas 2 :   42° 55’ + 121° + 16° 5’  = 180°

 

Calcul de la longueur de   « c »

 

Cas1 : 

                       

Soit  « c » = 112,06 m

 

Ou  deuxième solution :

 

Cas 2

                       

Soit  « c » = 31,70 m

 

 

 

 

 

 

 

 

Revu le 29 / 03 / 2020

 

 

 

 

 

 

 

 

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