Pré requis:

Revu le 12 /sept.11

Le triangle rectangle

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Système métrique

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ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index         Boule verte

Objectif précédent   Sphère metallique

1°) Voir formulaire

2°) les relations trigonométriques dans un triangle rectangle.  

Objectif suivant

1°) Les relations trigonométriques dans le triangle qcq.

Sphère metalliquerelations métriques dans un triangle quelconque .

tableau    Sphère metallique

 

 

 

 

DOSSIER : niveau V  (BEP)

RELATIONS METRIQUES du TRIANGLE RECTANGLE

-      Propriétés de Pythagore.

-        Les relations trigonométriques dans le triangle rectangle.

TEST

 Filescrosoft Officeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

  1°)               Filescrosoft Officeverte

2°) Voir « ARPENTAGE »

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

 

 

 

 

COURS

 

I ) propriétés de Pythagore

Pré requis Boule verte

Théorème :   Dans un triangle rectangle : le « carré » de la longueur de l’hypoténuse (c’est à dire : la longueur de l’hypoténuse multipliée par la longueur de l’hypoténuse)  est égal  à la somme des «  carrés » des longueurs  des cotés (du triangle) formant l’angle droit.

 

b )  si l’on nomme les cotés par des lettres. :

alors on peut écrire :

 

(BC ) ² =  (BA)² +  ( AC ) ² 

 

si BC = a ;  BA = b ; AC = c

 

 

ou  a2 = b2 +c2    

 

py1

 

a ) si l’on nomme les sommets du triangle , par une lettre : ( A ; C et B angle droit )

 

si :

AC  désigne la longueur de l’hypoténuse.

AB  désigne la longueur  d’un coté formant l’angle droit

BC  désigne la longueur  d’un coté formant l’angle droit

1a1

On peut écrire ,  d’après « Pythagore » :

AC fois AC  = AB fois AB + BC fois BC

soit :   AC2  = AB 2 + BC 2

 

2 )  Propriété réciproque :

             Soit un triangle ABC : si AC2  = AB 2 + BC 2   alors  ABC est un triangle rectangle en B.

 

Exemple 1  :  soit un triangle dont on relève les mesures : 50 ; 30 ; 20 

  Vérifier , en calculant  si 502  = ? =  30 2 + 20 2   ?   alors , d’après la réciproque de Pythagore  , on ne peut pas affirmer que le triangle est  « rectangle ».

Exemple 2  :  soit un triangle dont on relève les mesures : 50 ; 40 ; 30 

  si 502  = 40 2 + 30 2   alors , d’après la réciproque de Pythagore  , affirmer que le triangle est « rectangle ».

 

II )  RELATIONS TRIGONOMETRIQUES :

1°) Mesure des angles :

Pré requis Boule verte wrv

 

Les Unités d’angles :  elles sont  référencées par le système International  

Le radian ( rad) est l’unité légale du système international utilisé pour l’étude des mouvement circulaire .

Le degré ( ° ) est l’unité la plus souvent utilisée en géométrie .

Le grade (gr ) est l’unité utilisée dans certains métiers.

 

Conversions :

Si « x » désigne la mesure d’un angle en degrés , « y » sa mesure  en radian et « z » sa mesure en grades , alors on peut établir les relations de proportionnalité  suivantes :

 

 

Angles remarquables :

( ° )

0

30

45

60

90

( rad )

0

 

 

2°) Rapports trigonométriques

INFO .cliquez ici

Les rapports trigonométriques ont pour but d’établir des relations entre les côtés  et les angles d’un triangle rectangle .

 

C’est après avoir choisi l’angle aigu que l’on détermine  le côté opposé et le côté adjacent .

 

 

Ainsi dans le triangle rectangle en B , par rapport à l’angle  :

 

 

 

 

 

CB est le côté opposé à l’angle A   et    BA  le côté adjacent  à l’angle A .

 

Les rapports trigonométriques  permettent d’établir les relations :

 

   ;  ;

 

T2

Voir exercices

 

remarque :on obtiendrait des relations similaires avec l’angle « C ».

 

ainsi :

 

 

 ;

III )PROPRIETES :

 

1° ) Les angles complémentaires                 

Pré requis :Boule verte

Pour un même triangle nous avons obtenu les égalités suivantes :

   ;  ;  ;    ;  ;

 

 

on remarque  que :   et   on en déduit que   =

 

de même que  et  sont équivalentes on peut aussi en déduire que :  

 

On sait que   + = 90 °  cela signifie que   et   sont des angles complémentaires.

 

Conclusion    : le sinus et le cosinus   de deux angles complémentaires sont égaux

 

2° ) relation entre tangente , sinus et cosinus :

Pré requis :Boule verte

 

La tangente d’un angle est égale au rapport du sinus sur le cosinus de l’angle considéré.

Explications : on veut montrer  que

 

Nous avions trouvé précédemment que :

                           ;  ;

On pose :

=   

calculs     ( SOS rappels) : =  :  =  =  =

 

                             ainsi :  

43

 

 

         Longueur : 1

 

 

 

3° )  relation entre  sinus et cosinus :

Pré requis :Boule verte

A

 

C

 
Pensées:

B

 
Pensées: Longueur : 1Pensées:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D’après « Pythagore » :  AC  = AB+  BC 

 

                               On sait que     ;  

on peut écrire :      1 = ()  + ()

 

Transformations :   () =    ; () =

 

SOS Rappels

L’égalité   : ()  + ()= ()  + ()

 

 

Devient l’égalité     ()  + ()= +

 

()  + ()=

Sos rappels

 

          Or d’après « Pythagore » :  AC  = AB+  BC

 

                                                                                        -   On remplace dans l’égalité précédente           AB+  BCpar : AC

                                                                                          - Nous obtenons une nouvelle égalité : ()  + ()=

puisque  = 1   , on peut écrire que :

                                                                      ()  + ()=  1

 

 

CONCLUSION :la somme des carrés du sinus et du cosinus d’un angle  est égal à 1

 

Pour en savoir plus :

cliquez ici :Boule verte

 

IV )  Valeurs trigonométriques des angles remarquables . (info @ +)

 

Entre 0° et 90° (le quart de cercle)

 

 

30°

45°

60°

90°

sin a

0

 = 0,5

»0,707

 =0,866

1

cosa

1

» 0,866

 = 0,5

0

tana

0

»0,577

1

 

·      faire le calcul (SOS rappel) : =

·       

Entre 0° et 180°

En plus ++++ graduation d’un cercle.

 

 

Entre 0° et 180° :(le demi cercle)

 

f4

 

 

Entre 0° et 360°  ……

En plus ++++ graduation d’un cercle.


 

V )  Construction et mesure d’un angle :

 

Construction :d’un angle de 35,5°à l’aide du cosinus :

Pré requis :cliquez ici

 

On recherche le cosinus de 35,5° :

» 0,81 soit =    (SOS rappel)

procédure de tracé :

-tracer un arc de rayon 10 cm ;

-         sur [ 0x) placer le point « A » tel que OA = 8,1 cm

-         tracer une perpendiculaire à [ 0x) passant par « A » et coupant l’arc de cercle en « B »

-         l’angle AOB vaut 35,5° (à vérifier avec un rapporteur)

tracang1

Conclusion :pour construire un angle on peut utiliser un rapport  trigonométrique.

 

VI ) MESURE d’ un ANGLE :

Mesure d’un angle « xOy » donné sans le rapporteur .

Procédure :

-placer un point « A » sur [Oy) tel que OA = 10 cm ;

-         tracer la projection orthogonale de « A » sur  [Ox)  (image de « A » est « H »)

-         mesurer la longueur « OH » ( = 8,7 cm)

-         on en déduit le cosinus de l’angle « xOy » = = 0,87

-         A l’aide de la calculatrice ou de la table : on obtient la valeur de l’angle = 29,5°

tracang2

 

 

 

 

 

III) Détermination d’une « longueur » appelé « hauteur » à partir de  calculs d’aires

INFO PLUS +++

Rappel :  cas d’ égalité des deux calculs d’aire dans un triangle rectangle

On peut écrire :

 

  =

 

 

ce qui donne après simplification :  BC  h = BA AC

trirect2

 

 


INFO PLUS +++

Application :

Dans un triangle rectangle on nous donne :

BC = ?    h = ?     BA = 16 cm    AC = 5 cm

On veut connaître la longueur de l’hypoténuse et la longueur de la hauteur.

Résolution :

il faut calculer BC pour trouver la valeur de « h » ( voir Pythagore)

Résolution :

 On  sait que  dans un triangle rectangle

 

BC  h = BA AC

 

 

 

 


 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE:

 

1°)  Citez la propriété de  Pythagore et sa réciproque.

 

2°) Citez les rapports trigonométriques d’un angle aigu

 

.3 °)  Propriétés : (énoncées à partir du sinus et du cosinus) ; compléter les phrases :

 

a )  deux angles sont complémentaires si :

 

b )   la tangente est égale au  rapport du :

 

 

c )  « 1 » est  égal  à quelle somme ?

 

 

EVALUATION:

 

Exercices :

inter discipline : aire du triangle  rectangle

 

1°) Compléter ce tableau !

Triangle rectangle

N° 1

N° 2

N° 3

N° 4

Grand coté « G »

18  m

 

40

 

Petit coté  « l »

5 m

 

 

35

Hypoténuse  « L »

Voir « Pythagore »

45 cm

50

65

Hauteur « H »

Voir : relation métrique dans le triangle rectangle

12 cm

 

 

Aire « A »

 

 

 

 

Périmètre « P »

 

 

 

 

 

Enoncé :  N°2

SOS Cours

Calculer la longueur de la hauteur AH

( 1,2 m)

 

S23

 

Enoncé :  N°3

SOS Cours

Calculer en fonction de HA et HB ; (HM)2

S22

 

Enoncé :  N°4

SOS Cours

Calculer HM

S22

 

Enoncé :  N°5

SOS Cours

Calculer en fonction de BH et BA ; (BM)2

S22

 

 

 

INTERDISCIPLINARITES

 

Problèmes :

 

1°) La hauteur sous plafond est de 250 cm ; les dimensions d’une armoire sont de 243 cm par 72 cm  par 45 cm . L’armoire est couchée , parviendra-t-on à la « redresser » ?

 

 

2°) On achète une échelle de 10 m déployée ; on l’adosse à un mur ; la législation impose que la distance entre le pied de l’échelle et le mur doit être au moins égale à H / 4 . Faire le croquis ; quelle est  la hauteur que peut atteindre le haut de l’ échelle ?

 

 

3° ) Une route à une pente de 15% , quelle est la valeur de l’inclinaison en degré ?

 

  4°) On parle d’une pente de 100 % ; quelle est la valeur  en degré de cette pente ?

 

5°)  calculer

Voir « ARPENTAGE »

 

exgéom

 

6°)

Voir « ARPENTAGE »

 

exgéom1

 


 

7°)

Voir « ARPENTAGE »

 

exgéom2

 

 

p>