Pré requis: ce qu’il aurait fallu voir !

 

Notions de trigonométrie

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Le radian

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Le rapporteur

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ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index   warmaths

Objectif précédent :

 

1°) Le cercle  Sphère metallique

 

2°) La division du cercle trigonométrique en quatre zones

Objectif suivant :

 

1°) Angle orienté Sphère metallique

 

2°) dérivées des fonctions circulaires

  1. Liste des cours sur la trigonométrie
  2. MODULE : LE CERCLE TRIGONOMETRIQUE.
  3. Module : les fonctions circulaires
  4. Liste des cours de géométrie plane

 

 

 

 

 

DOSSIER : le cercle trigonométrique

 

 

 

 

PARTIE 1   :

 

 

 

1°) Rappel : la valeur angulaire d’un arc de cercle  peut s’exprimer en degré , grade ou radian.

 

 

 

 

 

2°) GRADUATION du cercle trigonométrique :

 

 

 

 

 

3°)  Valeurs caractéristiques du  cercle trigonométrique .

 

 

 

 

 

PARTIE 2  :

 

 

 

1°)  LE CERCLE « trigonométrique » :   SENS « positif ».

 

 

 

 

 

2°)  CERCLE TRIGONOMETRIQUE     :  définition

 

 

 

 

 

3° )  Découverte des relations trigonométriques  dans le premier cadran du cercle .

 

 

 

 

 

4°)  Axe des sinus :

 

 

 

 

 

5°) Axe des cosinus :

 

 

 

 

 

6°) En résumé :  caractéristiques du cercle trigonométrique

 

 

 

 

 

7°) Conventions : Désignations des axes de coordonnées : ( sinus ;cosinus ;tangente ;cotangente)

 

 

 

 

 

8°)   Tangente et cotangente :

 

 

 

 

 

9°) Remarque…….

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

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COURS

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Interdisciplinarité :

                        

 

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COURS

 

 

 

PARTIE 1   :

 

1°)   Rappel : la valeur angulaire d’un arc de cercle  peut s’exprimer en degré , grade ou radian.

75

Les radians sont souvent utilisés pour exprimer une vitesse  de rotation.

Ainsi un point d’un disque qui fait un tour en 1 seconde , on dit qu’il tourne à la vitesse  de  2  p  radians  par  seconde    .

212b

 

 

81

Placez le   dans le dernier quadrant

Application : l’orientation (voir la boussole)

 

88

 

 

2°)  GRADUATIONS du cercle trigonométrique :

 

 

 

 

 

 Ci-dessous vous remarquerez les graduations  exprimées en degrés et  les correspondants en radians .

 

 

 

Exemple de graduations du cercle  « en degré » et « en radian »

rapport2

 

 

3°)  Valeurs caractéristiques du  cercle trigonométrique :

 

 

 

 


 

 

Pour un arc en : Degrés

Correspond en  Grade

Correspond en Radian

Pour une Rotation de:

360°

400 grades

2p

1 tour

 

180°

200 grades

p

½ tour

 

90°

100 grades

¼ tour

45°

50 grades

1/8 tour

30°   =

 : 3 =

1/12 tour

60°

 

 

 

120° = 90° + 30°

100+ =

+= =

¼ tour + 1/12 tour =

1/3 tour

 

 

 

 

Et plus encore !!!!!!

Ces informations sont utilisées en cinématique et en dynamique.

 

 

 

 

 

 

135°

 

 

 

150°

 

 

 

 

180°

 

 

p

 

 

210°

 

 

-

 

 

225°

 

 

-

 

 

240°

 

 

-

 

 

270°

 

 

-

 

300°

 

 

 

315°

 

-

 

 

330°

 

 

- : 3 =-

 

 

 

PARTIE 2   :

 

 

 

1°)  LE CERCLE « trigonométrique »

 

 

 

 

 

Par convention :      SENS « positif » :

 

 

 

 

 

 

Considérons un point se déplaçant sur la circonférence du cercle : par convention on dira que le point se déplace dans le sens positif « + » si son déplacement s’effectue dans le sens inverse du sens des aiguilles du montre .

 

 

Ou dans le sens inverse de la rotation de la terre.

 

c2

 

 

 

Par convention on a déterminé  qu’il y aurait  un sens de rotation positif ou négatif.

 

 

 

 

 

 

CERCLE TRIGONOMETRIQUE :  définition

 

Soit un  repère orthonormé           on appelle  « cercle trigonométrique »    le cercle de centre O , de rayon  R = 1 , qui contient les points  A ( 1 ; 0 ) B (0 ;1 ) A’ (-1 ;0 ) B’ (0 ; -1 )

 

 

Le point fixe A est choisi pour origine  des arcs et le rayon OA pour origine des angles au centre .

c3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3° ) Découverte des relations trigonométriques  dans le premier cadran du cercle .

 

 

 

 

 

Activité 1    : recherche de la valeur numérique du sinus ou cosinus d’un angle

 

 

 

 

Tracez   un triangle rectangle :

             Dont l’hypoténuse OA mesure  100 mm :

On considère l’angle «  »

Mesurer AB : =

Mesurer OB : =

Diviser AB par 100 = 

Diviser OB par 100 =

 

angltrigotracé

 

 

On dit que         est la valeur du cosinus de l’angle    .

 

  ( la valeur numérique du cosinus  doit être un nombre décimal avec trois chiffres après la virgule )

 

On dit que       est la valeur du sinus de l’angle     

  ( la valeur numérique du sinus doit être un nombre décimal avec trois chiffres après la virgule )

 

 

 

Activité 2    

 

 

                          « Lecture dans la table de trigo.» : recherche de la valeur  en degré d’un angle à partir de la valeur numérique du sinus ou cosinus :

 

 

 

 

 

( ici accès aux tables de trigonométrie )

 

 

 

 

 

voir  après du calcul   de       ; voir  à quel angle correspond la valeur du cosinus «      » ?:

 

ensuite :   complétez la phrase suivante :

le nombre      correspond au cosinus de l’angle :……………...

 

 

 

voir à quel angle correspond la valeur du sinus «     » ? :

complétez la phrase suivante :

le nombre     correspond au sinus de l’angle :………………...

 

 

 

Pour étudier  la suite , il faut vous concentrer

 

 

 

 

 


 


 

 

.

 

.

 

  

 


 

4°)  Axe des sinus :

 

y

 

M

 
Soit un point M sur le cercle de rayon de valeur  « 1 » :

On appelle « q » l’angle AOM :

 

Et

          

 

Conclusion,  on appelle :

l’axe  « BOB’ » l’axe des « sinus » .

c3

 

5°)  Axe des cosinus :

 

x

 

M

 
Soit un point M sur le cercle de rayon de valeur « 1 » :

On appelle « q » l’angle AOM :

 

 

conclusion : on appelle A’OA l’axe des cosinus.

c3

 

 

 

6°) En résumé :  caractéristiques du cercle trigonométrique 

 

 

 

1°) sur un cercle de centre (O) choisissons :

-  un point fixe A pour origine des arcs  , et le rayon OA pour origine des angles au centre .

-         nous choisissons un sens positif de rotation  qui sera le sens inverse des aiguilles d’une montre.

-         Une unité d’arc ( ou d’angle) en degré ou grade .

-         Se rappeler que  p désigne l’angle plat.

-         Tout point M du cercle sera déterminé par la valeur de l’arc AM

Et tout rayon par l’angle AOM = q qui s’appelle « angle polaire » de M.

 

c3

 

 

7°)   Conventions : Désignations des axes de coordonnées :

 

 

 

 

 

 

-  AXE des COSINUS :

Le diamètre du cercle passant par O et aboutissant à  A  , avec le sens positif de O vers A , s’appellera « axe des cosinus ».

 

-  AXE des SINUS :

Le diamètre  du cercle passant par O et aboutissant à B , en direction et en sens ,obtenu en faisant tourner l’axe précédent de  +   (soit :  + 90°) , s’appellera « axe des sinus ».

 

Sur chacun de ces axes , l’origine est le centre « O » , et l’unité de longueur est obligatoirement le rayon du cercle .

 

- AXE des TANGENTES :

La tangente au cercle au point A sera orientée comme l’axe des sinus avec origine la point A.

 

-  AXE des COTANGENTES :

La tangente au point B sera orientée comme l’axe des cosinus , avec « B » comme origine.

 

Sur ces deux axes ‘aussi’  , l’unité de longueur sera le rayon.

c1

 

 

 

 

 

Cosinus et sinus d’un angle :

Soit M un point du cercle  défini par l’angle AOM = q

 

Le rayon se projette sur les deux axes de coordonnées en « I » et « J » , on appelle :

 

« Cos  q » le nombre mesurant l’abscisse  « » ,par rapport au rayon ;   «  »  lire mesure algébrique de OI  )

 

« sin  q » le nombre mesurant l’ordonnée «    » ,par rapport au rayon ;  «   »  lire mesure algébrique de OJ)

 

 

 

 

 

8°)   Tangente et cotangente :

 

 

 

 

 

 

 

Les prolongements de OM coupent l’axe des tangentes et des cotangentes  en « T » et en « S » ;

On appelle

Tangente d’un angle téta  :  

 « tan q » le nombre mesurant le segment «   »  par rapport au rayon.

 

( activité : tracez le segment AT )

 

 Cotangente  d’un angle téta  :

 « cotan q » le nombre mesurant le segment «  »  par rapport au rayon.

 

( activité : tracez le segment BS )

 

c1

 

 

 

 

 

Remarques :

 

 

 

 

 

Si l’on mesure le rayon R , et les segments OI ; OJ ; AT et BS avec la même unité « étrangère » à la figure  , par exemple en millimètres, les quatre nombres trigonométriques de l’angle q sont des rapports algébriques :

 

 

 

 

 

 

 ;

 

  

 

 

 

 

 


 

 

 


 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.


CONTROLE :

 

Tracer un cercle trigonométrique , placer l’axe des sinus et des cosinus .

 

EVALUATION

1°) Tracer un cercle trigonométrique , placer un point M dans le premier quadrant . tracer les mesure algébriques du sinus , cosinus , tangente, cotangente.

2°) Tracer un cercle trigonométrique , placer un point N  dans le deuxième quadrant . Tracer les mesure algébriques du sinus , cosinus , tangente, cotangente.

3°) Tracer un cercle trigonométrique et placer dessus  les valeurs suivantes

Degrés

Grade

Radian

 

 

360°

400 grades

2p

1 tour

 

180°

200 grades

p

½ tour

 

90°

100 grades

¼ tour

45°

50 grades

1/8 tour

30°   =

 : 3 =

1/12 tour

60°

 

 

120° = 90° + 30°

100+ =

+= =

¼ tour + 1/12 tour = 1/3 tour

135°

 

 

150°

 

 

180°

 

p

 

210°

 

-

 

225°

 

-

 

240°

 

-

 

270°

 

-

 

300°

 

 

315°

 

-

 

330°

 

- : 3 =-

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

Corrigé

 

rapport2

 

 

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