Notions de trigonométrie

Le radian

Le rapporteur

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Objectif précédent :

1°) Le cercle 

2°) La division du cercle trigonométrique en quatre zones

Objectif suivant :

1°) Angle orienté

2°) dérivées des fonctions circulaires

1. Liste des cours sur la trigonométrie
2. MODULE : LE CERCLE TRIGONOMETRIQUE.
3. Module : les fonctions circulaires
4. Liste des cours de géométrie plane

PARTIE 1   :

1°) Rappel : la valeur angulaire d’un arc de cercle  peut s’exprimer en degré , grade ou radian.

2°) GRADUATION du cercle trigonométrique :

3°)  Valeurs caractéristiques du  cercle trigonométrique .

PARTIE 2  :

1°)  LE CERCLE « trigonométrique » :   SENS « positif ».

2°)  CERCLE TRIGONOMETRIQUE     :  définition

3° )  Découverte des relations trigonométriques  dans le premier cadran du cercle .

4°)  Axe des sinus :

5°) Axe des cosinus :

6°) En résumé :  caractéristiques du cercle trigonométrique

7°) Conventions : Désignations des axes de coordonnées : ( sinus ;cosinus ;tangente ;cotangente)

8°)   Tangente et cotangente :

9°) Remarque…….

TEST

COURS

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité :

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

COURS

2°)  GRADUATIONS du cercle trigonométrique :

 Ci-dessous vous remarquerez les graduations  exprimées en degrés et  les correspondants en radians .

Exemple de graduations du cercle  « en degré » et « en radian »

3°)  Valeurs caractéristiques du  cercle trigonométrique :

Pour un arc en : Degrés

Correspond en  Grade

Correspond en Radian

Pour une Rotation de:

360°

400 grades

2p

1 tour

180°

200 grades

p

½ tour

90°

100 grades

¼ tour

45°

50 grades

^1/8 tour

30°   =

 : 3 =

1/12 tour

60°

120° = 90° + 30°

100+ =

+= =

¼ tour + 1/12 tour =

1/3 tour

Et plus encore !!!!!!

Ces informations sont utilisées en cinématique et en dynamique.

135°

150°

180°

p

210°

-

225°

-

240°

-

270°

-

300°

315°

-

330°

- : 3 =-

1°)  LE CERCLE « trigonométrique »

Par convention :      SENS « positif » :

Considérons un point se déplaçant sur la circonférence du cercle : par convention on dira que le point se déplace dans le sens positif « + » si son déplacement s’effectue dans le sens inverse du sens des aiguilles du montre .

Ou dans le sens inverse de la rotation de la terre.

Par convention on a déterminé  qu’il y aurait  un sens de rotation positif ou négatif.

CERCLE TRIGONOMETRIQUE :  définition

Soit un  repère orthonormé           on appelle  « cercle trigonométrique »    le cercle de centre O , de rayon  R = 1 , qui contient les points  A ( 1 ; 0 ) B (0 ;1 ) A’ (-1 ;0 ) B’ (0 ; -1 )

Le point fixe A est choisi pour origine  des arcs et le rayon OA pour origine des angles au centre .

3° ) Découverte des relations trigonométriques  dans le premier cadran du cercle .

Activité 1    : recherche de la valeur numérique du sinus ou cosinus d’un angle

Tracez   un triangle rectangle :

             Dont l’hypoténuse OA mesure  100 mm :

On considère l’angle «  »

Mesurer AB : =

Mesurer OB : =

Diviser AB par 100 = 

Diviser OB par 100 =

On dit que         est la valeur du cosinus de l’angle    .

  ( la valeur numérique du cosinus  doit être un nombre décimal avec trois chiffres après la virgule )

On dit que       est la valeur du sinus de l’angle     

  ( la valeur numérique du sinus doit être un nombre décimal avec trois chiffres après la virgule )

Activité 2    

                          « Lecture dans la table de trigo.» : recherche de la valeur  en degré d’un angle à partir de la valeur numérique du sinus ou cosinus :

( ici accès aux tables de trigonométrie )

voir  après du calcul   de       ; voir  à quel angle correspond la valeur du cosinus «      » ?:

ensuite :   complétez la phrase suivante :

le nombre      correspond au cosinus de l’angle :……………...

voir à quel angle correspond la valeur du sinus «     » ? :

complétez la phrase suivante :

le nombre     correspond au sinus de l’angle :………………...

Pour étudier  la suite , il faut vous concentrer

.

.

4°)  Axe des sinus :

y

M

Soit un point M sur le cercle de rayon de valeur  « 1 » :

On appelle « q » l’angle AOM :

Et

Conclusion,  on appelle :

l’axe  « BOB’ » l’axe des « sinus » .

5°)  Axe des cosinus :

x

M

Soit un point M sur le cercle de rayon de valeur « 1 » :

On appelle « q » l’angle AOM :

conclusion : on appelle A’OA l’axe des cosinus.

6°) En résumé :  caractéristiques du cercle trigonométrique 

1°) sur un cercle de centre (O) choisissons :

-  un point fixe A pour origine des arcs  , et le rayon OA pour origine des angles au centre .

-         nous choisissons un sens positif de rotation  qui sera le sens inverse des aiguilles d’une montre.

-         Une unité d’arc ( ou d’angle) en degré ou grade .

-         Se rappeler que  p désigne l’angle plat.

-         Tout point M du cercle sera déterminé par la valeur de l’arc AM

Et tout rayon par l’angle AOM = q qui s’appelle « angle polaire » de M.

7°)   Conventions : Désignations des axes de coordonnées :

-  AXE des COSINUS :

Le diamètre du cercle passant par O et aboutissant à  A  , avec le sens positif de O vers A , s’appellera « axe des cosinus ».

-  AXE des SINUS :

Le diamètre  du cercle passant par O et aboutissant à B , en direction et en sens ,obtenu en faisant tourner l’axe précédent de  +   (soit :  + 90°) , s’appellera « axe des sinus ».

Sur chacun de ces axes , l’origine est le centre « O » , et l’unité de longueur est obligatoirement le rayon du cercle .

- AXE des TANGENTES :

La tangente au cercle au point A sera orientée comme l’axe des sinus avec origine la point A.

-  AXE des COTANGENTES :

La tangente au point B sera orientée comme l’axe des cosinus , avec « B » comme origine.

Sur ces deux axes ‘aussi’  , l’unité de longueur sera le rayon.

Cosinus et sinus d’un angle :

Soit M un point du cercle  défini par l’angle AOM = q

Le rayon se projette sur les deux axes de coordonnées en « I » et « J » , on appelle :

« Cos  q » le nombre mesurant l’abscisse  « » ,par rapport au rayon ;   «  »  lire mesure algébrique de OI  )

« sin  q » le nombre mesurant l’ordonnée «    » ,par rapport au rayon ;  «   »  lire mesure algébrique de OJ)

8°)   Tangente et cotangente :

Les prolongements de OM coupent l’axe des tangentes et des cotangentes  en « T » et en « S » ;

On appelle

Tangente d’un angle téta  :  

 « tan q » le nombre mesurant le segment «   »  par rapport au rayon.

( activité : tracez le segment AT )

 Cotangente  d’un angle téta  :

 « cotan q » le nombre mesurant le segment «  »  par rapport au rayon.

( activité : tracez le segment BS )

Remarques :

Si l’on mesure le rayon R , et les segments OI ; OJ ; AT et BS avec la même unité « étrangère » à la figure  , par exemple en millimètres, les quatre nombres trigonométriques de l’angle q sont des rapports algébriques :

 ;

Degrés

Grade

Radian

360°

400 grades

2p

1 tour

180°

200 grades

p

½ tour

90°

100 grades

¼ tour

45°

50 grades

^1/8 tour

30°   =

 : 3 =

1/12 tour

60°

120° = 90° + 30°

100+ =

+= =

¼ tour + 1/12 tour = 1/3 tour

135°

150°

180°

p

210°

-

225°

-

240°

-

270°

-

300°

315°

-

330°

- : 3 =-