Géométrie :  DOSSIER : TRIGONOMETRIE   /  Objectif cours 28

Pré requis :

Le système sexagésimal

Boule verte

Le triangle rectangle

Boule verte

Le produit en croix

Boule verte

Environnement du dossier :

Index warmaths

Objectif précédent :

1°) Notions de trigonométrie  

2°) Voir les fiches travail sur « le cosinus » en 4ème .

 

Objectif suivant :

)Le cercle trigonométrique.

 2°) Sphère metalliquele cosinus d’un réel

info       Sphère metallique

Présentation : liste des cours disponible sur la trigonométrie

 

 

 

 

DOSSIER « la trigonométrie » :      COSINUS d’un angle

 

TEST

           Boule verte  

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité       Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

Les relations trigonométriques dans le triangle rectangle que nous étudierons sont au nombre de quatre. : le sinus ; le cosinus ; la tangente et la cotangente.

 

 

A )   Construction et mesure d’un angle :

 

 

Construction :d’un angle de 35,5°à l’aide du cosinus :

Pré requis :cliquez ici

 

 

On recherche le cosinus de 35,5° :   »   0,81 soit    =         (SOS rappel)

 

procédure de tracé :

-tracer un arc de rayon 10 cm ;

sur [ 0x) placer le point « A » tel que OA = 8,1 cm

tracer une perpendiculaire à [ 0x) passant par « A » et coupant l’arc de cercle en « B »

l’angle AOB vaut 35,5° (à vérifier avec un rapporteur)

tracang1

 

Conclusion :pour construire un angle on peut utiliser un rapport  trigonométrique.

 

B ) MESURE d’ un ANGLE :

 

Mesure d’un angle « xOy » donné sans le rapporteur .

Procédure :

-placer un point « A » sur [Oy) tel que OA = 10 cm ;

tracer la projection orthogonale de « A » sur  [Ox)  (image de « A » est « H »)

mesurer la longueur « OH » ( = 8,7 cm)

on en déduit le cosinus de l’angle « xOy » = = 0,87

 

A l’aide de la calculatrice ou de la table : on obtient la valeur de l’angle = 29,5°

tracang2

 

 

 

COURS

 

 

I) Relation trigonométrique dans le triangle rectangle :  Le COSINUS d’un angle .

 

 

 

L’angle b = l ’angle b

·      Le symbole « cosinus »  est  noté  « cos » :

·      Les lettres « a » ;  « b » ,  « c » sont les longueurs des cotés du triangle rectangle ;

·      Le coté « c » est  le coté opp à l’angle a

·      Le coté  « a » est le coté opp.   à l’angle b

 

·      « b » est l’hypoténuse du triangle

cosinus001

 

 

Rappel  sur les angles :  (nous travailler avec des angles exprimés en degré )

·      l ‘ angle «  alpha » a   pour symbole :  

·      l ’ angle  « bêta »   a  pour symbole :

 

·      L’écriture   « cos  a »  ou « cos. »   : Lire  «cosinus de l’angle alpha » 

·      L’écriture    « cos  b »  ou « cos.  »  : Lire     « cosinus de l’angle bêta »

 

 

 

 

 

Par définition :

 

 

 

 

    Le cosinus d’un angle ; dans un triangle rectangle ;  est égal au rapport de la longueur du coté adjacent à l’angle sur la longueur de l’hypoténuse.

 

Traduction :               cos =

 

Si le côté adjacent  et l’hypoténuse sont les longueurs (mesurables ; ou données  ) alors la valeur numérique du cosinus est  un rationnel . ( « arrondi à tant prés  » il est un nombre décimal)

 qui n’a pas d’unité.

 

Remarque :

Dans la majorité des problèmes traités au collège , la valeur du cosinus  est obtenue en faisant une « division ».

On vous demande d’exprimer  cette valeur et de  l’« arrondir à tant prés » .

Cette valeur décimale  est  ensuite  convertie en « degré d’angle » soit   à l’aide d ’une table dite « de trigo. »,soit à l’aide d’une calculatrice qui est en mémoire cette table

 

De cette façon on peut  convertir un  nombre   en « degrés » , ou  inversement , de degrés en nombres 

 

 

 

 

Remarque : Dans le cas du cercle trigonométrique la valeur du cosinus est alors un « réel » .    ( voir un  irrationnel ) 

 

 

 

 

 

 

II  ) CONVERSION   D ‘ UN COSINUS en valeur d’ ANGLE ; et inversement :

 

 

 

 

Il existe deux possibilités pour avoir la valeur d’un angle à partir de son cosinus et inversement avoir la valeur d’un cosinus à partir de la valeur d’un angle.

avec une table numérique  appelée « table de trigonométrie »

avec la calculatrice

 

  UTILISATION de la CALCULATRICE :

 

Mise en marche de la calculatrice    AC

Mettre en        MODE    4    (mode  DEGré)

 

Passage  de la valeur de l’angle exprimée en « degré »  en une valeur décimale appelée « sinus » :

 

Afficher le  nombre de degrés :   exemple       5         2

 

 

Taper sur la touche            cos  

 

Lire sur l ’écran : valeur du cosinus :    0 , 6 156 614 75

 

 

Si l’on tape sur :    INV         cos         alors  s’affiche le Nbre degrés   

 

Lire sur l’écran :         52    

 

 

Convertir   la valeur du  cosinus   en degrés

 

(toujours dans le même mode)

 

Afficher la valeur du cosinus :    exemple :   0,540

 

 Taper successivement sur  les touches :         INV           cos      

 

Lire à l’écran :     57,31636115

 

Interpréter : 57° ,31....      ( le « 31 »   correspond a un   de degré )

     le résultat  est exprimé en valeur décimale

 

Résultat  par encadrement :       cosinus  57°  <   0,540  <  cosinus  58°

 

 

Remarque :

 

Suivant les types de calculatrice vous pouvez passer d’une expression  de la valeur d’un angle en écriture   « décimale »  en une expression de la valeur de l’angle en écriture « sexagésimale » .

 

Ce qui signifie que l’on peut  « rentrer »  la valeur de l’angle  en l’exprimant  dans le système sexagésimal   20° 30’     ;       ou en utilisant le  système décimal   :       20, 5

 

 

Lorsque l’on  annonce que l’on veut  avoir la conversion en système  sexagésimal  , on veut  exprimer  la valeur de l’angle  en (Degré ,minute , seconde),

 

 

Si cela est :

 

Taper  les touches   :   INV          °    ‘’              

 

 

 

Affichage à l’écran :        degré  °               minute’            seconde ‘’      exemple :   32 °  25 ‘   34’’   ( lire : trente deux degré , vingt cinq minutes et trente deux secondes )

 

    (les affichages sont différents  suivant les calculatrices , les affichages sont  « vrais » suivant les performances d’affichage de la calculatrice ).

 

Taper :  sur la touche          °    ‘’            pour revenir à une expression  du degré en valeur décimale

 

 

 

Exercices :

 

Nous travaillons toujours en mode « degré » ,avec la calculatrice.

 

  1 Cas : Quand on connaît la valeur d’un angle ; je peux connaître son cosinus :

 on connaît   la valeur de l’angle  ( en  degré ) :

                         le cosinus est un nombre que l’on obtient en consultant la table  numérique sur les cosinus des angles.

 

Exemple : le cosinus de 53°   se note  cos 53° ; d’après la table numérique (ou avec l’aide de la calculatrice ) je trouve : 0,602   (valeur arrondie) 

 

en résumé on écrira : cos 53° = 0,602

exemples :  cos 54° =   0,588

                 cos 35° 20’  =   cos 35°,33 = 0.816

                  cos 72° 13’ » 72° 10’ = 72°,17 =   0,306

 

 

 

2 Cas : Quand on connaît le  cosinus d’un angle ,on peut connaître  l ’ angle  concerné par cette valeur   on donne  le cosinus de l’angle ; alpha vaut 0,8 ;(

ce qui se traduit   par  l’écriture : cos   a = 0,8  )

  trouver la valeur de l’angle alpha (la valeur de l’angle sera obtenue en  consultant la  table  de « trigo » sur les cosinus ;(ou alors j’utiliserai la calculatrice).

 

Réponse :  si  cos a = 0,8   alors ;d’après la table numérique   a  = 36,87°

 

Autres exemples :

 

cos  a  =  0,857 ; a = 31°

 

cos  x    =  0,433   ;  x  = 6434

 

cos a    =  0,511     ;  a =59°,27

 

Que ce soit avec la table numérique ou la calculatrice nous obtenons toujours le même résultat.

Remarque  ce niveau d’exercices il n’y a pas de calcul , nous ne faisons que de la lecture de table numérique.

 

 

 

 

 

Soit un triangle rectangle :

 

 

 

 

cosinus002

 

 

 

 

Traduction mathématique :

 

 cos  a =      

 

Attention :   le coté opposé et l’hypoténuse sont des grandeurs  qui doivent avoir la même unité  .   (ce sont des longueurs  exprimées soit en mm ;en cm  , .....)

 

 

Si on applique cette égalité au triangle rectangle  ,dessiné ci-dessus :

 

 cos  b =   donne   cos  b =   ( reste à connaître les valeurs de « hyp. » et « b » pour effectuer le calcul du cosinus)

 

 

 cos  a =       donc   cos  a =

 

 

Dans le triangle rectangle : la longueur de l’hypoténuse est toujours supérieur à la longueur du

coté adjacent ; donc dans le rapport « coté adjacent sur hypoténuse » ,le nombre  est toujours supérieur à 0  et  inférieur à 1.

 

 Traduction :          0 cos.  1   ;  cosinus 0° = 1     ; cosinus 90°  =  0 

 

Le modèle mathématique ( l’outil ) du calcul du cosinus d’un angle est une division (voir la même chose pour le sinus ) :

exemple :

soit  3  =       ; deux  transformations de cette égalité sont possibles ; on peut en déduire que   :

 

si    3  =      

donc  on peut  en déduire que          6  = 3   2    

  ou   on peut aussi en déduire que       2  = 

 

 

 

ainsi  à partir de cet exemple  (qui est vrai) on peut écrire que si :

 

cos  a =

 

alors  par transformation        coté adjacent     =      cos  a  hypoténuse

 

et que ,toujours ,par transformation :

hypoténuse     =    

 

Il est toujours possible ,si on connaît deux valeurs numériques sur trois ,on peut retrouver la valeur de la troisième par calcul .

 

 

 

 

 

 

 

APPLICATIONS :

 

Soit un triangle rectangle :

 

 

 

 

cosinus002

 

 

 

 

 

 

 

 

EXERCICE  RESOLU  N° 1

 

   Calcul d’un coté  dans un triangle rectangle :

 

On donne : l’hypoténuse égale à :..103.92 mm........

                  l’angle  a = ...60°..........................

 

Calculer : la longueur de   « a »  

 

Correction :

 

 

1°)  On sait que   : cos  a =

 

on sait que la valeur decos 60°   =  0.5   ;Hypoténuse = 103,92mmm ;coté adj  = a

 

 

 

2°) on remplace dans  (1) 0 ,500  =      

 

 

3°) Calcul :

0 ,500 =      

 

transforme :

                      

 

On fait le produit en croix :

         0,500 103,92  =  a  1

                         51,96  = a

 

    Résultat : au mm prés   a =  52 mm

 

 

EXERCICE   RESOLU N° 2

 

   Calcul d’un coté  dans un triangle rectangle :

 

On donne : longueur du coté adjacent  à  b  = 100 mm ........

                  l’angle  b  = ...35°

 

Calculer : la longueur de  L’hypoténuse  

 

Corrigé :

 

 cos b =   devient :     0,819  = 

 

 

Calcul :   =

 

  0,819 x  = 100   1

 

       donc  x  =  100 : 0,819

                 x= 122,1

 

   Résultat :  l’hypoténuse à pour longueur :  122 mm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EXERCICE  RESOLU N° 3

 

   Calcul d’un angle  dans un triangle rectangle :

Soit un triangle rectangle :

 

 

 

 

 

cosinus002

 

 

 

 

On donne : l’hypoténuse égale à :.54,83 mm........

                   le coté a = 42 mm

 

Calculer : l’angle : a

 

Corrigé : d’après la relation        cos  a       =      

 

 donc on remplace les mots par leur valeur :

 

cos  a       =      

 

on fait la division :

 

cos  a       = 0,766 004012

 

On cherche la valeur de l’angle :

 

  d’après la calculatrice    a       = 40°

 

Conclusion   a   = 40°    

 

Remarque :si dans un triangle rectangle je connais deux angles , j’en déduis le troisième 

( somme des angles = 180° , somme des angles complémentaires =90° );si je connais aussi la longueur (ou  mesure) d’un coté , je peux ,en utilisant la relation sur le sinus  trouver la valeur d ‘un deuxième coté , puis du troisième.

 

Suite de l’exercice N ° 3

L’angle  a   = 40°     ; j’en déduis  que l’angle  b  = 90 -40  =  50°

 

ensuite j’applique la relation :  cos  b = ;  

 

soit  cos50° =  ce qui donne   après transformation : b = 0,643   54,83 = 35,25569

 

Donc « b» = 35,26 mm

 

(refaire la figure à l’échelle 1 et vérifié)

 

Récapitulatif de l’exercice N°3 :  Dans un triangle rectangle ; connaissant deux mesures  (La longueur de l’hypoténuse et la longueur  d’un coté du triangle),j’ai pu retrouver la valeur des deux angles complémentaires   ainsi que la longueur du troisième coté du triangle :

 

Avec : (deux mesures)  l’hypoténuse égale à :.54,83 mm. ; le coté  a = 42 mm

j’ai calculer la valeur permettant d’obtenir l’angle a   = 40°   ;

                                      puis de l’angle b  = 90 -40  = 

         ce qui m’a permis de calculer la valeur de    « b » = 35,26 mm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAIL   à faire :

Soit un triangle rectangle :

 

 

 

 

 

cosinus002

 

 

 

I  ) Compléter le tableau :      ( prendre   a  = 60° )

 

 

hypoténuse

12

 

 

 

a

 

33

 

0,866

b

 

 

1 ,25

 

cos  60°

 

 

 

 

 

 

 

 

II  )  Compléter le tableau suivant :

   l’angle  a  = 60°

 

 

hypoténuse

12 dm

 

 

 

a

 

33 cm

 

0,866 m

b

 

 

1 ,25 dm

 

Cos 60°

 

 

 

 

 

III) Compléter le tableau :

 

hypoténuse

12 dm

 

 

1 m

a

 

33 cm

 

0,866 m

b

 

 

1 ,25 dm

 

cos b

 

 

 

 

cos a

 

 

 

 

b

 

 

 

 

a  =

60°

30°

45°

 


 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

 

 

CONTROLE :

 

 

1°)  Traduire en langage littéral :

« cos  a »    lire :   

« cos  b »  lire :

 

2°)   Traduire en symbole mathématique :

« cosinus de l’angle alpha »   : …………………………………..

 

 « cosinus de l’angle bêta » : ……………………………

 

3°)   Traduire en langage littéral :

 

cos a =

 

4°)  Traduire en langage mathématique

 

« Le cosinus d’un angle ; dans un triangle rectangle ;  est égal au rapport de la longueur du coté  adjacent  sur la longueur de l’hypoténuse. »

 

5°)  Compléter les phrases suivantes  : 

 

·      Le cosinus est un nombre qui n’a pas ................. ;Précisez ses limites  numériques en fonction des angles .........

 

·      Quand on connaît le cosinus d’un angle ...........................................

·      Quand on connaît la valeur d’un angle .........................................

 

6°) *Donnez la définition littérale d’un « cosinus ».

 

7°)   Donnez son modèle mathématique.

 

 

 

EVALUATION :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Compléter  les  tableaux suivants :

Avec la table :

 

Si l’angle  a    = 

15° 30’

27°..

45° 30’

60°

77°

cos a  = 

 

 

 

 

 

 

Avec la calculatrice :

 

 

 

a

10,5

24,00

58,50

74°

82,5°

cos  a

 

 

 

 

 

 

Au choix  (calculatrice ou table)

 

cos  a

0,122

0,3826

0,6427

0,9366

0,9945

a

 

 

 

 

 

 

 

Soit un triangle rectangle : (Voir la figure  ci-dessus )

 

I  ) Compléter le tableau :      ( prendre   a  = 60° )

 

 

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

hypoténuse

12

 

 

 

a

 

33

 

0,866

b

 

 

1 ,25

 

cos a

 

 

 

 

 

II  )  Compléter le tableau suivant :

   l’angle  a  = 60°

 

 

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

hypoténuse

              12 dm                        

 

 

 

a

 

33 cm

 

0,866 m

b

 

 

1 ,25 dm

 

cos a

 

 

 

 

 

III) Compléter le tableau :

 

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

hypoténuse

12 dm

 

 

1 m

a

 

33 cm

 

0,866 m

b

 

 

1 ,25 dm

 

cos a

 

 

 

 

cosb

 

 

 

 

b

 

 

 

 

a  =

60°

30°

45°

 

 

 

a

10,5

24,00

58,50

74°

82,5°

cos  a

 

 

 

 

 

 

Au choix  (calculatrice ou table)

 

cos  a

0,122

0,3826

0,6427

0,9366

0,9945

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xd

Soit un triangle rectangle :

 

 

 

cosinus002

 

 

I  ) Compléter le tableau :      ( prendre   a  = 60° )

 

 

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

hypoténuse

12

 

 

 

a

 

33

 

0,866

b

 

 

1 ,25

 

cos a

 

 

 

 

 

 

 

 

II  )  Compléter le tableau suivant :

   l’angle  a  = 60°

 

 

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

hypoténuse

                   12 dm                            

 

 

 

a

 

33 cm

 

0,866 m

b

 

 

1 ,25 dm

 

cos a

 

 

 

 

 

III) Compléter le tableau :

 

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

hypoténuse

12 dm

 

 

1 m

a

 

33 cm

 

0,866 m

b

 

 

1 ,25 dm

 

cos a

 

 

 

 

cosb

 

 

 

 

b

 

 

 

 

a  =

60°

30°

45°

 

 

 

 

 

 

 

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