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Variation des nombres trigonométriques

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Pythagore

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Sinus  dans le triangle rectangle

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Cosinus dans le triangle rectangle

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ENVIRONNEMENT du dossier:

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DOSSIER : COSINUS et SINUS d’un réel , dans le cercle trigonométrique .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I ) Repérage et coordonnées d’un point dans un cercle trigonométrique.

 

 

II )Cosinus et sinus d’un angle dans le premier quadrant:

 

 

III)  Cosinus et sinus dans le deuxième quadrant .

 

 

I V )  Etude du signe du « sinus » et « cosinus »  dans les quadrants du cercle .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

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COURS

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Interdisciplinarité

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COURS

 

Nota :  dans le cercle trigonométrique  les axes de « » et «  » sont perpendiculaires

 

   Le cercle trigonométrique est divisé en quatre parties ou quadrants.

 

 

I ) Repérage et coordonnées d’un point dans un cercle trigonométrique.

 

 

Le point « M » appartient au premier cadrant :       les coordonnées du point « M » sont positives.

M   ; M ( + 0,789 ; + 0,605)

Le point « N » appartient au deuxième  cadrant :  

N   ;  N ( -  0,789 ; + 0,605)

 

Le point « P » appartient au troisième  cadrant :  

P  ;  P ( -  0,789 ; -  0,605)

 

Le point « S » appartient au deuxième  cadrant :  

S   ; S ( +  0,789 ; - 0,605)

 

 

c10

 

 


 

II )  Cosinus et sinus d’un angle :

 

 

y

 
Pour tout point « M » du cercle trigonométrique :

 Le « cosinus de l’angle  » est l’abscisse de M ,

Le  « sinus de l’angle  » est l’ordonné de M.

que l’on note  M( cos q ; sin q )

 

Justifications : (voir le triangle rectangle) :

Cosinus = ?

cos q = ==

   d ‘ où : cos q =  x

 

Sinus = ?

 

sin q = ==

 

   d’ où : sin q =  y

Recherche de la valeur du cosinus à partir d’un tracé :

 

1° ) Il faut relever sur le tracé les longueurs de OM =  38 mm et OH = 29,5 mm

2°)  « 1 » divisé par la longueur  du rayon =  valeur du sinus (x) divisé par la longueur de MH :

soit :    ;   x = =0,7763157

 

avec la calculatrice on obtient la valeur de l’angle :

cos 0,7763157 = 39°4’3’’

d’où q =  39°4’3’’  (à vérifier ; faire la même chose pour trouver le sinus q)

c12

 

III )  Cosinus et sinus dans le deuxième quadrant .

 

 

 

x

 

y

 
Repérage du point « N » :

 

N ( - |x| ; y )

 

N ( - |cos  q|  ; + |sin q| )

D’où :

L’abscisse de « N » = HO =- |cos  q|  

Coordonnée de « N » = HN = + |sin q

c11

 


 

 

I V )  Etude du signe du « sinus » et « cosinus »  dans les quadrants du cercle :

 

I )  Le point « M » appartient au premier cadrant :       les coordonnées du point « M » sont positives.

M   ; M ( + 0,789 ; + 0,605)

 

On en déduit que dans le premier quadrant le cosinus est « + » et le sinus  est  du signe « + »

II )   Le point « N » appartient au deuxième  cadrant :  

N   ;  N ( -  0,789 ; + 0,605)

 

On en déduit que dans le deuxième quadrant le cosinus est « - » et le sinus  est  du signe « + »

 

III )  Le point « P » appartient au troisième  cadrant :  

P  ;  P ( -  0,789 ; -  0,605)

 

On en déduit que dans le troisième  quadrant   le cosinus est « - » et le sinus  est  du signe « - »

 

IV) Le point « S » appartient au deuxième  cadrant :  

S   ; S ( +  0,789 ; - 0,605)

On en déduit que dans le quatrième   quadrant le cosinus est « + » et le sinus  est  du signe « - »

 

Rectangle: Axe des « sinus »Rectangle: Axe des « cosinus »c10

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

1°)

 

A ) Nommer l’ axe des cosinus et l’axe des sinus .

 

B ) Pour les quatre points (M ;N ;P ;S):

Donner le signe de leur coordonnées.

c10

 

 

2° ) Donner le signe du sinus et cosinus d’un point  situé dans les quatre quadrants du cercle trigonométrique


EVALUATION

 

Travail sur papier millimétré :

 

Mesurer la longueur du rayon  ( vous devriez trouver environ ;38 mm) ce rayon à pour valeur « 1 ».

Question :  Trouver la valeur approchée du sinus et cosinus de  « M »

Exemple : Recherche de la valeur du cosinus à partir d’un tracé :

1° ) Il faut relever sur le tracé les longueurs de OM =  38 mm et OH = 29,5 mm

2°)  « 1 » divisé par la longueur  du rayon =  valeur du sinus (x) divisé par la longueur de MH :

soit :    ;   x = =0,7763157

avec la calculatrice on obtient la valeur de l’angle :

cos 0,7763157 = 39°4’3’’

d’où q =  39°4’3’’  (à vérifier ;et faire la même chose pour trouver le sinus q)

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

 

 

 

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