Pré requis:

 

Variation d’un angle aigu.

 

Tracés d’une sinusoïde

3D Diamond

Cercle trigonométrique

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ENVIRONNEMENT du dossier:

 

 

 

 

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 Tout sur la trigonométrie.

DOSSIER : VARIATIONS des NOMBRES TRIGONOMETRIQUES

1°) Variation d’un angle aigu  ( compris entre 0° et 90°)

2°) Variation d’un angle obtus   ( compris entre 0° et  180°)

3°) Représentations graphiques des variations des rapports trigonométriques ces angles ou des arcs croissants entre 0° et 180°.

4°) Représentations graphiques des variations des rapports trigonométriques ces angles ou des arcs croissants entre 0° et 360°.

A)   variation du sinus.  ( et sinusoïde)

B)   Variation du cosinus.

C)    Variation de la tangente   ( et asymptote)

D)    Variation de la cotangente.

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COURS

 

 

1°) Variation d’un angle aigu  ( compris entre 0° et 90°)

Les valeurs trouvées dans le cours  « pré requis » ont permis de dresser le tableau suivant qui donne une première idée de la variation des lignes trigonométriques d’un angle aigu :

c1

ANGLES

Sinus

Cosinus

Tangente

cotangente

Augmente de  +1 à 0

Diminue de

+1 à 0

Augmente de

0 à  + ¥

Diminue de

+ ¥  à 0

0

+1

0

+ ¥

30°

 

 

 

 

 

 

45°

 

+1

+1

60°

 

 

90°

+1

0

+ ¥

0

 

 

2°) Variation d’un angle obtus   ( compris entre 0° et  180°)

 

L’étude de variation des nombres trigonométriques  se limitera  à la variation de l’angle « x »  . (pour ses   valeurs    de  « x » q comprises  entre   0 et 180 ° ou  entre   0 et 200 grades  ou entre  0 et p  ) .

 

 

Rappels :

 

« Cos  x° » le nombre mesurant l’abscisse  «  x =  OI ou OI’  » ,par rapport au rayon

 « sin  x° » le nombre mesurant l’ordonnée «  y =IP  ou I’P’   » ,par rapport au rayon

« tan x  ou tg  x » le nombre mesurant le segment « u =   ou A’T’  »  par rapport au rayon.

 « cotan x ou cotg x » le nombre mesurant le segment « v = BT1    ou  B’T’1 »  par rapport au rayon.

 

27

3°) Représentations graphiques des variations des rapports trigonométriques ces angles ou des arcs croissants entre 0° et 180°.

 

 

Variation du cos

Variation du sinus

 

 

c19

c20

 

 

Variation de la cotangente

Variation de la tangente.

 

c17

c18

 

 

 

4°) Représentations graphiques des variations des rapports trigonométriques ces angles ou des arcs croissants entre 0° et 360°.

 

 

                     Nous allons préciser les notions précédentes et les compléter par une représentation graphique des variations des rapports trigonométriques des angles ou des arcs croissant  de 0 à 180° puis de 180° à 360°.

 

A)  Variation du sinus :

 

 

 

Considérons le cercle trigonométrique et soit l’angle variable «  » formé par la direction fixe OA  et par la direction variable OP tournant autour du centre « O ».

 

-    L’angle  est croissant de 0° à 90 ° , son sinus  « PI » croît de 0 à +1  en passant par des valeurs remarquables :

 

32

 

« 0,5 »    pour l’angle de 30°

Pour l’angle der 45°

 

Pour l’angle de 60°

 

-   L’angle  continue à  croître  de 90° à 180 ° , son sinus  « P’I’ » décroît de +1 à 0  en passant par des valeurs remarquables précédentes , pour les suppléments des angles considérés:

 

Pour l’angle de 120°

Pour l’angle der 135°

« 0,5 »    pour l’angle de 150°

 

Remarque :

        Si l’on continue à faire tourner OP de manière à obtenir des arcs et par suite des angles supérieurs à 180° , on voit que le sinus P’’I’’ d’un de ces angles « x » se mesure en dessous du diamètre AA’ ; on convient de la considérer  comme négatif .En conséquence pour un arc ou un angle croissant de 180°  à 270° le sinus décroît de 0 à -1 , et pour un arc ou un angle croissant de 270° à 360° , le sinus croît de -1 à 0 .

 

Tableau de variation du sinus :

Les variations du sinus d’arc ou d’un angle croissant de 0° à 360° sont résumées dans le tableau ci dessous :

33a

 

Il résulte de l’étude précédente que le sinus d’un angle  inférieur à 180° passe 2 fois  par chacune des valeurs compris entre 0 et +1 . Donc, à un sinus positif donné, qui doit être inférieur à +1 , correspondent deux angles distincts qui sont supplémentaires.

Exemple : si l’on a  sinus x° = 0,347 , les deux angles supplémentaires ayant cette valeur pour leur sinus sont :

   « x1 °= 20° 20’ »     et     « x 2 ° = 159° 40 ‘ »    (voir calculatrice  ou la table)

Représentation graphique de la variation du sinus d’un angle croissant de 0° à 180°  et de 180° à 360°.

Si nous considérons 2 axes rectangulaires « ox » et « oy » , la circonférence de rayon « 1 » ayant été divisé e en 12 parties égales par exemple, on porte sur « ox » à partir du point O , douze segments égaux. En mesurant les segments successifs ayant 0 pour origine , 0-30 ; 0-60 ; 0 - 90 ; 0 - 120 ;etc. on aura des longueurs proportionnelles aux divers arcs ou angles de 30° ; 60° ; 90° ; 120°, etc. Le graphite est compété par les divisions correspondants aux angles de 45° ; 135° ; 225° ; et 315° .

 

33

En chaque point de « ox » on élève à cette droite une perpendiculaire appelée « ordonnée » , égale au sinus correspondant à l’angle variable considéré. C’est ainsi que PI , sinus de 60° , a été reporté en P1 I1  au point correspondant à l’arc de 60°.

En réunissant par un trait continu tous les points tels que P1  , on obtient une courbe appelée « sinusoïde » représentant la variation du sinus d’un angle croissant de 0° à 360°.

 

Remarque :

 

Les différents points sont en somme , comme l’indique la figure ci dessus , déterminés par les intersections des parallèles aux axes « ox » et « oy » , menées par les points de divisions correspondants du cercle et de l’axe « ox ».

 

Ce graphique est utilisé en électricité pour la représentation des courbes de courant alternatif. ( Courbes sinusoïdales).

 

 

B ) Variation du cosinus.

Lorsqu ‘un angle «  » croît de 0° à 90° son cosinus « OI » décroît de +1  à 0 en passant par des valeurs remarquables.

Pour l’angle de 30°

Pour l’angle de 45°

« 0,5 »    pour l’angle de 60°

 

 

Si l’angle «  » continue à croître de 90°  à 180° son cosinus OI’ devient négatif et continue à décroître de 0 à -1 en passant par les valeurs remarquables.

 

34

 

Tableau de variation du cosinus.

Les variations du cosinus d’un arc ou d’un angle croissant de 0° à 180° sont résumées dans le tableau ci dessous.

 

35a

 

De l’étude précédente , il résulte que le cosinus d’un angle inférieur à 180° passe une fois seulement par chacune des valeurs comprises entre +1 et -1. Donc  à un cosinus donné  positif ou négatif de valeur absolue  inférieur à 1 correspond  un angle et un seul.

 

Exemple : S’il l’on a cos x° = 0,636 , on trouve pour valeur de « x » d’après la table : 50° 30’.

L’angle dont le cosinus vaut - 0,636 est le supplément du précédent il vaut donc 129° 30’.

 

Représentation graphique de la variation du cosinus .

 

La représentation graphique de la variation du cosinus se ferait aussi facilement que celle du sinus et donnerait une courbe de forme identique.

Le graphique représenté ci dessous donne à la fois les courbes de variation du « sinus » (trait continu) et du cosinus (trait mixte)  d’un même angle.

 

35b

 

                                  L’étude du courant alternatif en électricité donne lieu à des graphiques analogues à celui de la figure ci dessus, notamment en représentation des courants diphasés..

 

 

Remarque :

 

                       Les deux « sinusoïdes »  représentant les variations du « sinus »  et du « cosinus » d’un même angle sont identiques (voir ci dessus) , mais l’ordonnée de la courbe représentative du sinus est nulle au point « origine » alors que celle de la courbe du cosinus est à son maximum +1 ; ces valeurs « 0 » et « ± 1 » se correspondent à nouveau pour chaque angle multiple de 90° ; on dit que la courbe représentative du « sinus »  est décalée de 90° sur la courbe représentative du cosinus ou encore que les deux courbes sont en « quadrature ». 

 

L’étude des courants triphasés en électricité donne lieu à des graphiques comportant trois sinusoïdes décalées de 120°  l’une par rapport à l’autre .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C) Variation de la tangente.

 

Lorsqu ‘un angle «  » croît de 0° à 90° la tangente  « AT » croît de 0  à + ¥ en passant par des valeurs remarquables :

1 (angle de 45°)

 

 

 

 

 

 

Si l’angle continue à croître  de 90° à 180° la tangente devient négative et , partant d’une valeur négative égale à -¥ , croît algébriquement de -¥  à 0 , en repassant par les valeurs remarquables précédentes mais négatives.

Ces variations de la tangente d’un angle croissant de 0° à 180°  sont résumées dans le tableau ci dessous.

 

La figure ci contre donne la représentation graphique des variations de la tangente (trait continu) et de la cotangente ( trait mixte) d’un angle croissant de 0° à 180°.

36

 

 

36b

 

De ce qui précède , il résulte que la tangente d’un angle inférieur à 180° passe une fois seulement par une valeur  donnée positive  ou négative. Donc une tangente donnée , positive ou négative correspond un angle et un seul.

Exemple :

 si l’on a tan x = 1,402 , la table donne une valeur de « x » = 54° 30’

l’angle dont la tangente est égale à « -1, 402 » est le supplément du précédent , il est donc égal à 125° 30’

 

D) Variation de la cotangente.

 

               Lorsqu ‘un angle «  » croît de 0° à 90° , la cotangente  « BT » décroît de + ¥  à 0  .

L’angle croissant de 90° à 180° la cotangente BT’ continue à décroître algébriquement de 0 à  - ¥

37

 

Entre + ¥  et  - ¥  la cotangente passe d’ailleurs par les valeurs remarquables données pour la tangente , comme l’indique le tableau des variations ci dessus.

 

36c

 

 

Comme pour la tangente et pour un angle inférieur à 180° , on voit qu’à une cotangente  donnée quelconque , positive ou négative , correspond toujours un angle et un seul.

Exemple :

si l’on a cotan x = 0,452   avec la calculatrice  on a pour valeur de x = 65° 40’.

L’angle dont la cotangente est égale à - 0,452 est le supplément du précédent il est donc égal à  114° 20’

Représentation graphique : ( voir la figure concernant la tangente )elle donne la représentation graphique des variations de la tangente (trait continu) et de la cotangente ( trait mixte) d’un angle croissant de 0° à 180°.

Les points importants de ces courbes ont été déterminés par des parallèles aux axes « ox » et « oy » menées respectivement par les points correspondants de la tanegente au cercle et de l’axe « ox ».

Comme les graphiques l’indiquent , les branches de courbes de la tangente se rapproche de plus en plus de la perpendiculaire DD’ à « ox » passant par le point correspondant à 90°, sans toutefois attendre cette droite quelle  que soit  la valeur de l’angle considéré.

On dit en géométrie que la droite DD’ est une « asymptote »  aux courbes C et C’ . On voit de même que la courbe C1 C’1  représentative de la cotangente a pour « asymptote »  y y  et D1 D’1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CONTROLE:

 

 

 

 

EVALUATION: