Programme de 4ème de collège

 

Classe 4ème collège

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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 Géométrie :  DOSSIER : TRIGONOMETRIE   /  Objectif cours 28

Pré requis :

Le système sexagésimal

Boule verte

Le triangle rectangle

Boule verte

Le produit en croix

Boule verte

Environnement du dossier :

Index warmaths

Objectif précédent :

1°) Notions de trigonométrie  

 

Objectif suivant :

1°) Résumé : cours sur le « cosinus »

)Le cercle trigonométrique.

3°) Sphère metalliquele cosinus d’un réel

info       Sphère metallique

Présentation : liste des cours disponible sur la trigonométrie

 

 

 

 

DOSSIER « la trigonométrie » :     Projection orthogonale et  COSINUS d’un angle

 

 

 

 

Fiche 1 : Opérateur de projection .

 

 

Fiche 2 : Projection orthogonale.

 

 

Fiche 3 : Cosinus de l’angle aigu de deux droites.

 

 

Fiche 4 : Exercices .

 

 

Fiche 5 : Fabrication d’une table de cosinus.

 

 

Fiche 6 : Représentation graphique ….

 

 

Fiche 7 : Dans le triangle rectangle.

 

 

Fiche 8 : Construction d’un angle connaissant son cosinus.

 

 

Fiche 9   Exercices .

 

 

 

 

 

TEST

           Boule verte  

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité       Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

Les relations trigonométriques dans le triangle rectangle que nous étudierons sont au nombre de quatre. : le sinus ; le cosinus ; la tangente et la cotangente.

 

 

Fiche 1 : Opérateur de projection .

Info @ plus.

 

 

On donne deux droites «  »  et «  » se coupant en « ».

On projette «  » sur «  » suivant la direction «  » .

 

Activité n°1.

1°)  On vous demande de mesurer sur la figure les segments (sur la droite « d »)  et leurs projetés respectifs. (sur la droite « d’ ») 

Inscrire les valeurs (nombres) dans le tableau ci-dessous.

 2°) Calculer les quotients (divisions) , conservez deux chiffres après la virgule.

 

 

proj_cos001

 

 

Segment projeté.

[ O A ]

[ O B ]

[ O C ]

[ O D ]

[ AB ]

[ AD]

[ O E ]

[ O F ]

 

Mesure du segment

78

 

 

 

 

 

 

 

Mesure du projeté .

58

 

 

 

 

 

 

 

0,74

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Choisissez sur « d » deux autres points : « E » et « F » et faîtes comme pour « A »,  « B », « C » , « D ».

Vous constatez que l’on trouve sensiblement le même quotient dans tous les cas.

Il est possible de faire une démonstration prouvant que ces quotients sont égaux.

On peut écrire :

 

 

 

 

 

·      « opérateur de projection »

                   Le nombre représenté par tous ces quotients est appelé  « opérateur de projection ».

                   Il ne dépend pas des points choisis sur les droites «  » et «  ».

                   Il dépend de la direction de projection et de l’angle aigu des deux droites.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·      D’après ce qui précède , on peut dire qu’il y a proportionnalité entre la longueur d’un segment et la longueur de son projeté.

 

 

Le coefficient de proportionnalité n’est autre que  l’opérateur de projection.

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 2 : Projection orthogonale.( et projection oblique)

 

 

 

                  Une projection orthogonale  est une projection dans laquelle la direction de projection est orthogonale à la direction de la droite sur laquelle on projette.

C'est-à-dire : toutes les projetantes sont  parallèles  à la droite sur laquelle on projette.

 

 

 

 

 

 

 

ci-dessous : la projection orthogonale  de « M »

ci-dessous : la projection oblique  de « M »

 

 

proj_cos003

proj_cos002

 

 

 

 

 

Remarque 1 :

Dans le cas de projection orthogonale sur «  » , « M »  ayant pour image « M’ »,   « M’ » est appelé le projeté orthogonal de « M » sur «  ».

 

 

 

 

 

Remarque 2 :

Il arrive parfois que l’on dise « projection » sans préciser la direction de projection.

Il S’agit alors d’une projection orthogonale ( il en est de même pour  le projeté.

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 3 : Cosinus de l’angle aigu de deux droites.

Info @ +++

 

 

 

Ci-dessous on a tracé deux droites « e » et « f » se coupant en « O ».

On  a choisi des points quelconques sur « e » que l’on a projeté orthogonalement sur « f » et  des points quelconques  sur « f » que l’on a projeté sur « e ». .

 

 

 

proj_cos004

 

 

Activité n° 2 :

Après avoir effectué les mesures nécessaires , déterminez approximativement l’opérateur de projection orthogonale de « e » sur « f » .  (prendre deux chiffres après la virgule )

 

 

 

 

 

 

 

Activité n° 3 :

De même déterminez l’opérateur de projection orthogonale de « f » sur « e » .  (prendre deux chiffres après la virgule )

 

 

 

 

 

 

 

Activité n° 4 :

Vous constatez que l’on trouve sensiblement le même nombre dans tous les cas.

Il est possible de faire une démonstration prouvant que :

       L’opérateur de projection orthogonale de « e »  sur « f » est le même que  l’opérateur de projection  orthogonale de « f » sur « e ».

Il en est ainsi pour toute paire de droite.

Ce nombre qui ne dépend pas des points choisis pour le déterminer , dépend uniquement de l’angle aigu des deux droites.

 

 

Définition :

On appelle « cosinus » de l’angle aigu de deux droites l’ opérateur  de projection orthogonale  de l’une sur l’autre.

 

 

 

Activité n° :

 

Mesurez l’angle aigu des droites « e » et « f ».  Vous trouvez ……°

Vous avez trouvé que le cosinus est sensiblement égal à «  0,67 ».

 

 

 

On écrit alors

( on lit « cosinus 48 ° »  )

 

 

 

 

 

 

Fiche 4 : Exercices .

 

 

 

 

 

 

Exercice 1 .

 On vous donne le dessin de  3 angles tous égaux à « 42° ».

Après avoir choisi un point sur l’un des côtés de l’angle et l’ayant projeté orthogonalement sur l’autre côté  , détermine approximativement dans les trois cas , le cosinus de l’angle de « 42° ».

 

 

proj_cos007

proj_cos006

proj_cos005

 

 

   = 

   = 

   = 

 

 

 

 

 

Trouvez-vous sensiblement le même nombre dans les trois cas ? ………………………………………

Etant donné un angle aigu , le cosinus de cet angle ne dépend pas du dessin le représentant .

 

 

 

 

 

Exercice 2 .

Après avoir fait les constructions nécessaires, déterminez approximativement le cosinus des angles représentés ci-dessous.

 

 

 

proj_cos010

proj_cos009

proj_cos008

 

 

   = 

   = 

   = 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 3 .

On donne un  angle aigu   tel que  .

 

1°) Un point « A » de  «   »   se projette orthogonalement  sur « A ‘ » sur «   »   .

Sachant que « OA = 42 mm » , vous allez calculer  « OA’ ».

 

Vous savez que . , vous en déduisez que

 

D’où

 

proj_cos011

 

 

2°)  Un point « B » de  «   »   se projette orthogonalement  sur « B ‘ » sur «   »   .

Sachant que « OB’ = 55 mm » , vous allez calculer  « OB ».

 

Vous savez que . , vous en déduisez que        ou    ;

 

D’où

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 5 : Fabrication d’une table de cosinus.

Info  sur les tables de trigonométrie ++ @  

 

 

 

Nous allons vous expliquer ce que vous devez faire dans l’exercice suivant ;

On vous demande de remplir le tableau donnant le cosinus des angles de « 5° » en « 5° » de « 0° » à « 90° ».

Pour cela , utilisez le quart de cercle de rayon « 100 mm »qui y est dessiné.

 

 

 

Exemple : considérons l’angle de « 35° » représenté sur le dessin par l’angle .

Le point « M » se projette orthogonalement  en « M’ » .  « OM = 100 mm », vous lisez « OM’ =  82  mm »

On a alors  « 

 

Faîtes de même pour tous les autres angles mais ne tracez rien sur la figure.

 

 

 

proj_cos012

 

Angle

Cosinus.

 

 

 

0

 

 

 

5

 

 

 

10

 

 

 

15

 

 

 

20

 

 

 

25

 

 

 

30

 

 

 

35

0,82

 

 

40

 

 

 

45

 

 

 

50

 

 

 

55

 

 

 

60

 

 

 

65

 

 

 

70

 

 

 

75

 

 

 

80

 

 

 

85

 

 

 

90

 

 

 

Constatation :

 

 

Grâce à ce dessin, vous constatez que  «   et     , que tout angle aigu a un cosinus et un seul  et que ce cosinus est un nombre compris entre  « 0 »  et « 1 ».

 

Inversement , étant donné un nombre compris entre « 0 » et « 1 » , il lui correspond un angle aigu unique dont le cosinus est le nombre donné.

 

 

 

 

 

 

Fiche 6 : Représentation graphique …de la fonction « cos. » .

 

 

 

 

En utilisant ce qui précède , faites la représentation graphique de la fonction qui à tout angle aigu fait correspondre son cosinus.

 

 

 

 

 

proj_cos013

Y-t-il proportionnalité entre le cosinus et l’angle ?

 

……voir cours …………………………………………………….

 

Grâce à ce graphique  déterminez par simple lecture :

 

Cos 32° = ……………………

 

Cos 67° = ……………………

 

 

 

 

Trouvez une valeur approchée des angles « x » et « y » tels que :

 

 

 

 

 

 

 

Fiche 7 : Dans le triangle rectangle.

 

 

 

 

 

 

Ci-contre , un triangle rectangle en « A ».

En considérant que l’on projette orthogonalement la droite ( BC ) sur la droite ( BA ), on peut écrire.

 

proj_cos014

 

 

Vocabulaire :

Dans tout triangle , le côté opposé à l’angle droit s’appelle  « l’ hypoténuse ».

 

 

 

Dans le triangle « ABC », on dit que  [ BC ]  et  [ BA ] sont les côtés adjacents à l’angle .

Puisque  [ BC ]   est appelé l’hypoténuse , alors [ BA ] est appelé « côté adjacent à . ».

 

 

Avec ces notations , nous écrirons schématiquement :

proj_cos015

 

 

 

« x » désignant un angle aigu d’un triangle rectangle ; nous pouvons écrire la formule :

 

 

 

Remarque :

Dans la formule , quand on écrit  « côté adjacent » , on fait un abus de langage, on devrait écrire  « mesure de la longueur du côté adjacent » , ( on dirait de même pour l’hypoténuse : « mesure de la longueur de l’hypoténuse » ).

 

 

 

 

 

Exercice 1 :

 

 

Sur la figure ci-contre mesurez ( en mm)  « BA » et « BC » et calculez une valeur approchée à « 1° » près de  «  ».

 

Vous trouvez :

 «  BA = …. » ; «  BC = …. » ;  ;

 

En utilisant la table ou la représentation graphique (fiche 6) ou une calculatrice , donné la valeur approchée de «  ».

proj_cos014

 

 

 

Vous trouvez «  ».

Mesurez «  ».

Vous trouvez «     ……………».

 

 

 

 

 

v Grâce à la formule encadrée ci-dessus , on peut écrire :

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 2

« EDF » est un triangle rectangle  en « E »  tel que « FD = 50 mm » et  .

Vous allez calculer « ED » et « EF ».

 

 

proj_cos016

 

 

Solution :

Calcul de « ED » :  On pose :  ;

Vous en déduisez  que

En utilisant la table ou la représentation graphique de la « fiche 5 »   ou une calculatrice  vous trouvez

 

Vous pouvez écrire  alors :    ,

 

 

 

Calcul de  : sachant que    vous en déduisez que 

     vous en déduisez que

   d’où   

 

 

 

 

 

Exercice 3

 

« KML » est un triangle rectangle  en «L »  tel que « KL = 86 cm » et  .

Vous allez calculer « KM » et « LM » ( à 1 cm près ) .

 

proj_cos017

 

 

 

 

 

Solution :

Calcul de KM :

 ,     vous en déduisez 

 

En utilisant la table ou la représentation graphique de la « fiche 5 »   ou une calculatrice  vous trouvez

 

Vous pouvez écrire  alors  que        =  128,53

 

 

Calcul de LM :

 

A vous de travailler : trouvez la valeur de  l’angle  «  90° - 48°  = 42° » ; cos 42° = 0,7431 ;  LM =  128,53  fois  0,7431 …

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 8 : Construction d’un angle connaissant son cosinus.

 

 

 

 

 

 

Construire un angle aigu   sachant que 

 

Tout revient à construire un triangle « OMH »  rectangle en « H » tel que   

proj_cos018

 

 

Et 

Choisissons par exemple  « OH = 40 mm »  et «  OM = 50 mm » 

 

 

 

Ci-dessous  nous vous donnons les étapes de construction : 

 

 

 

Etape  1

Etape  2

 

 

 

proj_cos019

proj_cos020

 

 

 

 

 

 

Etape  3

Etape  4

 

 

proj_cos021

proj_cos022

 

 

 

 

 

Refaites cette construction ci-contre

proj_cos023

 

 

 

 

 

Construisez ci-contre  un angle aigu    tel que

proj_cos024

 

 

Remarque :

Le problème est toujours possible à condition que le nombre donné pour le cosinus soit un nombre compris entre   « 0 » et « 1 ».

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiche 9   Exercices .

 

 

Exercice 1 :

« EFD » est un triangle isocèle de base  [ DF].

 

[ EK] est la hauteur . « EK = 50 mm »  , .

 

Calculez les côtés du triangle « EFD »  ( à 1 mm près).

proj_cos025

 

 

 

 

 

 

Exercice 2 :

« ABCD » est un trapèze rectangle en « A » et « D ».

« AB = 43 mm » , « BC = 80 mm »  .

 

Calculez l’aire de ce trapèze.

proj_cos027

 

 

 

 

 

 

Exercice 3 :

« ACB » est un triangle tel que « AB = 120 mm », . ; .

Tracez la hauteur [ AH ].

Vous calculerez les longueurs à 1 mm près.

1°) Calculez   ;  ;

2°) Calculez  « AH » et « BH ».

3°° Calculez « AC » et « HC » puis « BC » .

 

proj_cos026

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Refaire les fiches ci-dessus !!!

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

 

 

CONTROLE :

 

 

1°)  Traduire en langage littéral :

« cos  a »    lire :   

« cos  b »  lire :

 

2°)   Traduire en symbole mathématique :

« cosinus de l’angle alpha »   : …………………………………..

 

 « cosinus de l’angle bêta » : ……………………………

 

3°)   Traduire en langage littéral :

 

cos a =

 

4°)  Traduire en langage mathématique

 

« Le cosinus d’un angle ; dans un triangle rectangle ;  est égal au rapport de la longueur du coté  adjacent  sur la longueur de l’hypoténuse. »

 

5°)  Compléter les phrases suivantes  : 

 

·      Le cosinus est un nombre qui n’a pas ................. ;Précisez ses limites  numériques en fonction des angles .........

 

·      Quand on connaît le cosinus d’un angle ...........................................

·      Quand on connaît la valeur d’un angle .........................................

 

6°) *Donnez la définition littérale d’un « cosinus ».

 

7°)   Donnez son modèle mathématique.

 

 

 

EVALUATION :

 

 

 

Compléter  les  tableaux suivants :

Avec la table :

 

Si l’angle  a    = 

15° 30’

27°..

45° 30’

60°

77°

cos a  = 

 

 

 

 

 

 

Avec la calculatrice :

 

 

 

a

10,5

24,00

58,50

74°

82,5°

cos  a

 

 

 

 

 

 

Au choix  (calculatrice ou table)

 

cos  a

0,122

0,3826

0,6427

0,9366

0,9945

a

 

 

 

 

 

 

 

Soit un triangle rectangle : (Voir la figure  ci-dessus )

 

I  ) Compléter le tableau :      ( prendre   a  = 60° )

 

 

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

hypoténuse

12

 

 

 

a

 

33

 

0,866

b

 

 

1 ,25

 

cos a

 

 

 

 

 

II  )  Compléter le tableau suivant :

   l’angle  a  = 60°

 

 

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

hypoténuse

              12 dm                        

 

 

 

a

 

33 cm

 

0,866 m

b

 

 

1 ,25 dm

 

cos a

 

 

 

 

 

III) Compléter le tableau :

 

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

hypoténuse

12 dm

 

 

1 m

a

 

33 cm

 

0,866 m

b

 

 

1 ,25 dm

 

cos a

 

 

 

 

cosb

 

 

 

 

b

 

 

 

 

a  =

60°

30°

45°

 

 

 

a

10,5

24,00

58,50

74°

82,5°

cos  a

 

 

 

 

 

 

Au choix  (calculatrice ou table)

 

cos  a

0,122

0,3826

0,6427

0,9366

0,9945

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xd

Soit un triangle rectangle :

 

 

 

cosinus002

 

 

I  ) Compléter le tableau :      ( prendre   a  = 60° )

 

 

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

hypoténuse

12

 

 

 

a

 

33

 

0,866

b

 

 

1 ,25

 

cos a

 

 

 

 

 

 

 

 

II  )  Compléter le tableau suivant :

   l’angle  a  = 60°

 

 

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

hypoténuse

                   12 dm                            

 

 

 

a

 

33 cm

 

0,866 m

b

 

 

1 ,25 dm

 

cos a

 

 

 

 

 

III) Compléter le tableau :

 

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

hypoténuse

12 dm

 

 

1 m

a

 

33 cm

 

0,866 m

b

 

 

1 ,25 dm

 

cos a

 

 

 

 

cosb

 

 

 

 

b

 

 

 

 

a  =

60°

30°

45°

 

 

 

 

 

 

 

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