REPERAGE DANS UN PLAN:

 

Contenu de l ’ objectif : repère cartésien , normé, non normé;    orthogonal ,non orthogonal

 

Première partie : ce qu ‘est un repère.

 

Seconde partie : repérage d’un point  dans un repère cartésien « orthonormé »

troisième partie : repérage d’une droite dans un repère cartésien.

Quatrième partie : repérage d’un vecteur dans un repère cartésien.

Cinquième partie :repérage d’un figure géométrique dans un repère cartésien.  

 

OBJECTIF TERMINAL DE FORMATION :    Donner la norme et le sens d’un vecteur dans un repère

 

ORGANIGRAMME:

 

 

 

Représentation graphique d’un vecteur :

 

Les vecteurs  A  ,B  ,C  sont des segments de droites orientés.

 

 

 

 

 


                                                                      A                             B

                                                                                                                                C

 

 

 

 

Repérage dans un repère  cartésien 

 

 

 

                                                              Voir objectif : repère cartésien , normé, non normé;  orthogonal ,non orthogonal

                      

                                                                                                    

            Le repère cartésien est constitué de deux droites sécantes , en un point   O   Elles  sont souvent  considérées perpendiculaires.(ont dit « orthogonales »

Ces droites sont graduées , on dit aussi normées

 

 

 

 

 

 


                                                                             V

               

 

 

 

 

                                                       Nous sommes dans un repère non orthogonal , pas encore gradué ,  donc ni                 

                                                                        normé ni non normé

Rappel:   Objectif:      PROJECTION  d’un point et d’un segment de droite dans un plan

 

  I)  Projection d’un point   sur une droite:

 

Le point  A’ est le projeté du point  A par rapport a la droite  d ;

 (le segment de droite AA’ est parallèle à la droite  d), sur la droite orientée  « axe » .

   La droite  d  indique la ligne direction de la projeté

 

 


                                                                               d        

 

                                                                                                                        A

                                                                                                                       

                                                                                                        A’

 

 

 

 

II)Projection de deux points sur une droite:

 

A’ est le projeté du point A  sur l’axe

 

B’ est le projeté  du point  B sur l’axe.

 

  A’ et B’  sont les projetée par rapport  à la droite de direction donnée    d

 

 

 

 

 

 


                                                                                                            A                                B 

                                                                           d

 

 

 

 


                                                                                     A’                               B’

 

 

 

 

 

III) Projection d’un segment de droite:  « x »

 

Avec A et B on construit le segment AB;

    Le segment   Ax Bx est le projeté  du segment  AB  sur la droite  « axe » ,par rapport à la droite d .

XA est l’abscisse du point  A;

 XB est l’abscisse du point B

 

 

 

 


                                                                                                                      B     

                                                                                      A

 

                                                                d

 

 

 

 


                                                                   A’                    B’                x

IV ) Projection  d’un segment sur une droite :   « y »

                                                                     y    

Avec  A et B on construit le segment   AB .

           By  est le projeté de B sur l’axe  « y ».

           Ay   est le projeté de A sur  l’axe  « y ».

 

Y  A  est l’ordonné du point A

Y  B  est l’ordonné du point B

 

 
 

 


                                                              By                                                   B

 

 

 

 


                                               Ay                                        A    

 

 

 


                                                                                                                     d

 

 

V)  Projection  d’un segment  sur     deux droites  sécantes  (appelé aussi repère cartésien ) ,cas courant le repère  est dit  «  cartésien    ortho - normé »

Les segments de droites  AyBy   et  BxAx  sont  appelés les projetés  du segment   AB  .

 

 La norme permet de graduer les axes.

  Si la norme * sur x et y  est égale « mesure » le repère est dit « normé »

 

*Voir [O,I]  et  [ O, J ]

 
                                          y

 

                                       Ay                                                       A

 

 

 

 


                                         By                          B            

 

 

 

 

 


                                                                  Bx                                Ax        x  

Amusez vous à nommer les points et  reportez leur projection.

Remarquer l’ordre des lettres à comparer avec le sens de lecture  des points d’une surface

 
 


Projection d’une surface sur  deux droites:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


FIN DU RAPPEL.

  Voir projection d’un point  ,d’un segment ,d’une surface , d’un volume dans un repére en trois dimensions  (dit dans l’espace )

ORGANIGRAMME       


 

 
Composantes d’un vecteur:

Le vecteur Vx et le vecteur Vy  sont les composantes du vecteur   V.

    Ces composantes ont pour origine ,l’origine du vecteur   V ,pour direction , les parallèles aux droites  d et d’ et pour extrémité des paralléles aux droites d et d’ passant par  l’extrémité du vecteur V   I

 
 

 

 

 


                 d’   

                                           Vy           V

 

 

 
 

 


                                                                     Vx  

 

 

 


                                                                                 d

 

Projection des composantes d’un vecteur:

 Le vecteur  Vx   et  le vecteur Vy   sont  les projections  du vecteur

           V

 Nous avons  dessiné  le cas ou les projection sont orthogonales , parce que les axes  x et y sont orthogonaux

 
                 y

                       

 

 


               Vy

                                                          V

 

 

 


                                                                     

 

 

 


                                                                                                    x

                                                                Vx

 

CALCUL DES  COMPOSANTES D’UN VECTEUR:

 

V   ,   Vx   et    Vy          forme un triangle   « rectangle »  si le répére est orthonormé

 

Pour trouver les caractéristiques du triangle rectangle on fait appel :

  à  « Pythagore »

  ou  aux relations trigonométriques dans le triangle rectangle  (sinus, cosinus,  tangente, cotangente)

 
 

 

 


                                                      V

                                                                                   V y

 

 

 

 


                                                   Vx