Classe collège : 5^ème .

Pré requis:

Nombres proportionnels		Vers le corriger
notions : Les grandeurs « directement » ou « inversement » proportionnelles .
Pré requis sur les fractions :
Fraction nomenclature
Fraction équivalente
Produit en croix

ENVIRONNEMENT du dossier :

Index : warmaths

Objectif précédent : 1°) vu en primaire. 2°) Idée de la proportionnalité. 3°) La proportion et la quatrième proportionnelle 4°) Classe 6^ème : pré requis..

Objectif suivant : Suite : les suites de nombres proportionnelles, le coefficient de proportionnalité,… 2°) Cours niveau V 3°) La proportion en algèbre .

tableau 171 1°) Les grandeurs proportionnelles (sommaire)

DOSSIER : Fiche pédagogique : LA PROPORTIONNALITE

Et applications aux POURCENTAGES (cliquez ici)…… Et «  ECHELLE »

Fiche 1 : Reconnaître la proportionnalité.

Fiche 2 : Autre façon de reconnaître la proportionnalité. ( conduisant au cas général)

Fiche 3 : Tableau a deux lignes et deux colonnes. ( et le produit en croix)

Fiche 4 : Calcul de la quatrième proportionnelle.

Fiche 5 : Calcul de pourcentages.

Fiche 6 : Capital – Intérêt – Taux.

Fiche 7 : Echelle .

Fiche 8 : Pourcentage : histogramme et diagramme circulaire .

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité : Situations problèmes

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS :

Fiche 1 : Reconnaître la proportionnalité.

Vous avez étudié la proportionnalité dans la classe de l’année précédente , et on en a parlé plusieurs fois dans cette année. Nous allons préciser ici comment on reconnaît une relation proportionnelle à partir de l’étude de trois cas.
Dans les trois exemples ci-dessous, on donne un tableau. · A vous de dire si chacun d’eux correspond à une relation de proportionnalité après avoir cherché un « opérateur multiplicatif » permettant de passer d’une ligne à l’autre . · Sous chaque tableau , faîtes la représentation graphique correspondante. ( Choisissez convenablement les unités sur les axes .vois cours @… ) · Joignez les points obtenus par une courbe régulière.
Activité 1 :
	0	0,1	0,2	0,25	0,4	0 ,55	0,7	0,8
	40	35	30	27,5	20	12,5	5	0
Recherche de l’opérateur multiplicatif. o Opérateur multiplicatif de la 1^ère ligne à la 2^ème : ……………………………………………………. o Opérateur multiplicatif de la 2^ème ligne à la 1^ère : ……………………………………………………. Question : il y a- t-il proportionnalité ? « oui » ou « non ».
Etude du graphique : o Les points sont-ils alignés ? o La courbe passe-t-elle par l’origine ?

Activité 2 :
	0	0,3	0,5	0,75	1,5	2	3,5	4,5
	0	0,75	1	1,2	1,5	1,6	1,75	1,8
Recherche de l’opérateur multiplicatif. o Opérateur multiplicatif de la 1^ère ligne à la 2^ème : ……………………………………………………. o Opérateur multiplicatif de la 2^ème ligne à la 1^ère : ……………………………………………………. Question : il y a- t-il proportionnalité ? « oui » ou « non ».
Etude du graphique : o Les points sont-ils alignés ? o La courbe passe-t-elle par l’origine ? Question : il y a- t-il proportionnalité ? « oui » ou « non ».

Activité 3 :
Recherche de l’opérateur multiplicatif. o Opérateur multiplicatif de la 1^ère ligne à la 2^ème : ……………………………………………………. o Opérateur multiplicatif de la 2^ème ligne à la 1^ère : ……………………………………………………. Question : il y a- t-il proportionnalité ? « oui » ou « non ».
	0	1,5	2,5	4,25	5	6,5	8	10
	0	1,2	2	3,4	4	5,2	6,4	8
Recherche de l’opérateur multiplicatif. o Opérateur multiplicatif de la 1^ère ligne à la 2^ème : ……………………………………………………. o Opérateur multiplicatif de la 2^ème ligne à la 1^ère : ……………………………………………………. Question : il y a- t-il proportionnalité ? « oui » ou « non ».

Fiche 2 : Autre façon de reconnaître la proportionnalité.

Complétez le tableau de proportionnalité ci-dessous.

…

←

5

0,2

100

1

←

….

→

2

1,2

36

0,28

1

→

On passe d’un nombre quelconque de la première ligne au nombre correspondant de la deuxième ligne en multipliant par ………………. On peut dire par exemple que : « 0,4 » est le nombre par lequel il faut multiplier « 5 » pour obtenir .. « 2 »…. « 0,4 » est donc le ……….. de « 2 » par « 5 ». - 5 x 0,4 = 2 signifie que De même - 0,2 x 0, 4 = 0,8 signifie que Il en est de pour chaque colonne du tableau , on peut donc écrire :

De la même façon, on passe de la deuxième ligne à la troisième ligne en multipliant par ……………………On peut écrire alors comme précédemment :

Cas général :

Info cours@ plus

Voici un tableau de proportionnalité, les lettres représentent des nombres non nuls.

.. k

←

a

b

c

d

…………………….etc…………..

←

….

→

a’

b’

c’

d’

…………………….etc…………..

→

On passe de la première ligne à la deuxième ligne en multipliant par « k » avec ( k 0) On a par exemple ; ;  ; etc. C'est-à-dire  : ; ; On peut écrire : , on aurait de même

A retenir : « a », « b » , « c » , « d » , …… « a’ » , « b’ » , « c’ » , d’ » ……..étant des nombres non nuls, la suite « a », « b » , « c » , « d » , … est proportionnelle à la suite … « a’ » , « b’ » , « c’ » , d’ » ……. signifie : ou

Conséquence : si l’un des quotients n’est pas égale aux autres alors les suites ne sont pas des suites proportionnelles.

Remarque : sont des écritures fractionnaires du coefficient de proportionnalité.

Activité 1 : Les nombres « 6 ;10 ; 14 » sont-ils respectivement proportionnel aux nombres «  9 ; 15 ; 21 » ? Réponse : Pour répondre à cette question, nous allons chercher si les quotients «  » sont égaux. Plusieurs solutions peuvent être proposées pour rechercher si ces quotients sont égaux. Nous allons utiliser « la simplification de l’écriture de ces quotients ».

Donc «  » sont égaux.

Activité 2 : Cherchez de même si «  24 ; 39 ; 45 » sont respectivement proportionnels à «  56 ; 91 ; 105 ».

Fiche 3 : Tableau a deux lignes et deux colonnes.
…				4			0,7			…			10		7		…				1,4	3,5
				12			2,1						6		4,2						0,8	2
D’après ce que vous avez étudié dans la fiche 2 , on peut écrire ( on vous demande de compléter) :
Or vous savez ( voir le cours fiche 5 sur le produit en croix) n° ) que dans ces conditions , on peut écrire l’égalité des produits en croix . Vérifiez –le dans tous les cas ..
				4 x 2,1 =………… 12 x 0,7 = ……….								10 x …… = …. ……x ……= ……					…..x …….= ….. ….. x ……= ……
Vous voyez sur ces exemples que si les nombres sont proportionnels alors les produits en croix sont …… …….
Inversement : Si les produits en croix sont égaux , alors les quotients sont …….. donc l’opérateur multiplicatif est le même pour les deux colonnes du tableau dans le tableau est bien un tableau de …….. ……. Il est possible de prouver qu’ il en est ainsi dans le as général :
A retenir
									« a », « b » , « c », « d » représentant des nombres non nuls, dire que le tableau ci-contre est un tableau de proportionnalité à 2 lignes et 2 colonnes c’est dire que : ou que
			a			c
			b			d
Remarque : On dit aussi que « a » et « c » sont respectivement proportionnels à « b » et « d » ou que « a », « b » , « c », « d » dans cet ordre constituent une proportion.
Activité 1 : En calculant les produits en croix , dites « oui » ou « non » si les tableaux ci-dessous sont des tableaux de proportionnalité.
		20			5			5			7					3,5		1,5		0,6
		6			1,5			3			4					0,75		4
Activité 2 :
Vérifiez que «  9 x 4 = 15 x 2,4 » / Pour cela complétez «  9 x 4 = ………… » et « 15 x 2,4 = ……… »
Avec les nombres « 9 » ; « 4 » ; «  15 » ; «  2,4 » complétez les quatre tableaux ci-dessous de telle sorte qu’ils soient des tableaux de proportionnalité.

Fiche 4 : Calcul de la quatrième proportionnelle.

Info @plus

Situation problème : Une douzaine d’œufs coute 3,6 € , quel est prix de 7 œufs ?. Le prix des œufs est proportionnel au nombre d’œufs. En appelant « x » le prix ( en euro) de 7 œufs ,on peut faire un tableau de proportionnalité à 2 lignes et 2 colonnes . (Complétez le) .

Nombre d’œufs.

12

7

On aurait pu écrire :  ; C'est-à-dire : D’où l’on en déduit que :

Prix des œufs

…….

……..

Réponse : le prix de 7 œufs est de …. ……

Remarque 1 : On aurait pu résoudre ce problème de plusieurs façons : 1^ère méthode : « Recherche du coefficient de proportionnalité ». · Le coefficient de proportionnalité est de : … …….. · On a alors : ; = ………….. 2^ème méthode : par la « règle de trois ». · Le prix (en €) de 12 œufs est de 15 € · Le prix d’ 1 œuf (en € ) est ……. Fois moins c'est-à-dire : · Le prix en euro de 7 œufs est .. 7 … fois .plus …. C'est-à-dire = ……..

Remarque 2 : Dans tous les problèmes de ce genre , il figurent « 4 » nombres. Et dont on connaît la valeur de « 3 » de ces nombres , il faut trouver par le calcul la valeur du quatrième. D’où le nom de la « quatrième proportionnelle ».

Activité 1 : En utilisant les « produits en croix » , calculez la quatrième proportionnelle dans les tableaux de proportionnalité ci-dessous.

6

15

z

1,2

4

t

22

77

8

y

7

4,2

6,4

0,8

u

3

Activité n°2 : Comme dans l’activité n°1 , calculez la quatrième proportionnelle dans les cas ci-dessous.

………………….

…………..

……………

…………………..

………….

……………

Activité n°3 : La longueur d’un rang de tricot est proportionnelle au nombre de mailles. Sachant qu’il faut 24 mailles pour faire un rang d’une longueur de 15 cm. 1°) combien faut-l de mailles pour faire un rang de 50 cm ? 2°) Quelle est la longueur d’un rang de 124 mailles ?

Par la Méthode des « produits en croix ».

Par la Méthode de « la règle de trois  »

Fiche 5 Calcul de pourcentages.						Info + @ liste des cours sur….
Situation problème n°1 : Vous allez calculer le pourcentage de filles et de garçons par rapport au nombre d’élèves dans les différentes classes suivantes.
1°) Dans la classe de 25 élèves il y a 13 filles et 12 garçons. En imaginant une classe de 100 élèves composée de la même façon, c'est-à-dire avec la même proportion de filles et de garçons , il y aurait ..  … fois plus d’élèves donc ..4 fois plus de filles et … .. fois plus de garçons. Il y aurait donc ………………… filles et …… garçons pour 100 élèves . Soit : il y a ……..… % de filles. il y a ………… % de garçons.
2°) Dans la classe de 35 élèves il y a 21 filles et 14 garçons. Complétez astucieusement les tableaux ci-dessous.
	Filles	21					Garçons	14
	Garçons	35			100		Filles	35			100
	, il y a ……. % de filles.						, il y a …… % de filles.
3°) Dans la classe de 32 élèves il y a 14 filles et 18 garçons
Appelons «  » le pourcentage de filles et «  » le pourcentage de garçons. On peut faire un tableau de proportionnalité à 2 lignes et 2 colonnes.
	Filles	14	«  »				Garçons	18		«  »
	Elèves	32	100				Elèves	32		100
Dans les deux cas , il ne vous reste plus qu’à calculer la quatrième proportionnelle.
Il y a donc ……………% de filles						Il y a donc ……………% de garçons
4°) Dans la classe de 28 élèves il y a 12 filles et 16 garçons
Comme précédemment, en appelant « x » et « y » les pourcentages , on peut écrire :
Le résultat des divisions ne se terminant pas , on donnera une valeur approchée ( ici : à 0,01 prés )
IL y a environ ……% de filles						Il y a environ …….% de garçons
Remarque : vous constatez dans tous les cas que le pourcentage peut s’obtenir en calculant une quatrième proportionnelle…..
Activité n°2 : Au baccalauréat , sur une classe de 30 élèves , 21 ont été reçus sans rattrapage . Quel est le pourcentage d’élèves reçus au premier tour , dans cette classe ? Solution : vous en déduisez que :  ; donc Réponse : il y a eu …….% d’élèves reçus au premier tour dans cette classe.
Activité n°3 : Même question pour 18 reçus sur une classe de 27 élèves. ( à 0,1 prés )
Activité n°4 : Une personne revend 1250 € un meuble qu’elle a payé 800 € . 1°) Quel est son bénéfice ? ………………….. 2°) Quel est son pourcentage du bénéfice par rapport au prix de vente ? …………………………………………… 3°) Quel est son pourcentage du bénéfice par rapport au prix d’achat  ? …………………………………………
Activité n°5 : Lors des élections dans une ville , trois candidats se présentaient. IL y avait « 56 347 » inscrits sur les listes électorales.. Le nombre de suffrages exprimés a été de « 41 082 ». Monsieur Arthur a eu 22 738 voix. Monsieur Paul a eu 10 431 voix . Monsieur Victor a eu 7 913 voix. Déterminez avec un chiffre après la virgule : 1°) Le pourcentage des suffrages exprimés par rapport au nombre d’électeurs inscrits . 2°) Le pourcentage des voix recueillies par chacun des candidats par rapport au nombres des suffrages exprimés. ( faîtes les calculs au brouillon )
Monsieur Arthur a …………..%				Monsieur Paul a …………..%					Monsieur Victor a …………..%

Fiche 6 : Capital – Intérêt – Taux.

Info +@++ sur les calculs….

La phrase « Une somme d’argent appelée « capital » est placé au taux de 6% » signifie que : Ce capital , prêté pendant un an , rapporte un intérêt de « 6 € » pour « 100€ » . Ou encore on peut dire : «  Ce capital rapporte un intérêt qui est les du capital ».

Pendant un an !!!!!

Exemple 1 : 3 000 € placés au taux de 6% pendant un n rapportent :

Activité 1 : Combien rapporte un capital de 520 000€ placé pendant 3 mois au taux de 8% ?

Calcul du taux :

L’intérêt est proportionnel au capital.

(pendant un an )

« T % » est le taux

Le calcul du taux d’intérêt revient au calcul d’une quatrième proportionnelle.

Exemple 2 : Un capital de 85 000 € a rapporté en un an , un intérêt de 6375 € . Quel est le taux ?

T =

Soit le taux est de :

Exercice 2 : A quel taux faut-il placer 35 000 € pendant un an pour avoir un intérêt de 4200 € ?

Exercice 3 : 126 000€ placés pendant 8 mois ont rapporté 3780 € . Quel était le taux ?

Fiche 7 : Echelle .

Info @ plus…

Math , niveau 5 : proportionnalité et échelle..

Rappel 1 : · Pour représenter certains objets ou régions de la terre, on fait des dessins dont les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles. · L’opérateur multiplicatif qui permet de passer d’une longueur sur l’objet à la longueur correspondante sur le dessin s’appelle « l’échelle ».

§ Dans le cas d’un agrandissement, c’est l’opérateur multiplicateur est un nombre supérieur à « 1 » . ( c’est ainsi pour la représentation d’un microbe , d’un insecte, d’une pièce mécanique ou électronique…..)

§ Dans le cas d’une réduction , l’opérateur multiplicateur est inférieur à « 1 ». Il se présente sous la forme d’une fraction ,par exemples :

Longueur sur le dessin = Echelle Longueur réelle

Remarque : la longueur sur le dessin et la longueur réelle doivent être exprimées dans la même unité ….

Exemple 1 : Plan d’une maison : l’échelle est ( par exemple) 1 cm sur le plan représente …….… cm sur la maison . ( C'est-à-dire ……..….m) § La longueur d’une pièce sur le plan est de 16,8 cm , quelle est la longueur de cette pièce en « m » ?........................... § La largeur d’une porte est 75 cm , quelle est sa largeur sur le plan ? …………………………………………

Exemple 2.

Carte d’une région : l’échelle est de (par exemple) § 1 cm sur la carte représente ……………….cm sur le terrain . ( C'est-à-dire ……………km) § 1 km sur le terrain est représenté par ………….cm sur la carte.

§ Deux carrefours sont distants à vol d’oiseau de 6,5 km. Sur la carte , cette distance est e …….. cm § 12,8 cm sur la carte représente …………..…km sur le terrain.

Calcul d’une échelle : ( dans le cas d’une réduction )

Les dimensions du dessin étant proportionnelles à celles de l’objet et sachant que l’unité sur le dessin représente «  » unités sur l’objet, on peut écrire :

Remarque : la longueur sur le dessin et la longueur réelle de l’objet doivent être exprimées dans la même unité ….

Exemple 3 : Déterminez l’échelle sur le dessin d’une voiture sachant que la longueur de cette voiture est de 3,8 m et sur le dessin elle est de 9,5 cm.

Remarque : la longueur sur le dessin et la longueur réelle de l’objet doivent être exprimées dans la même unité ….

Vous en déduisez que ; soit L’échelle du dessin est de

Exercices 1 : Complétez le tableau suivant.

Echelle

Longueur sur le dessin

23 cm

4 mm

7 cm

……..mm

………cm

5,6 cm

Longueur réelle

…………km

………..m

0,7 km

12 m

4,8 km

1120 m

Exercices 2 :

Deux cartes d’échelles différentes représentent la même région. L’échelle de la première carte est . Celle de la deuxième est inconnue. Sur la première carte , la distance de deux points donnés est 288 mm. Sur la deuxième carte , la distance de ces deux points est 90 mm. Quelle est l’échelle de la deuxième carte ?.

Fiche 8 : Pourcentage et diagramme .

Info ++ @ ….

Dans les calculs de pourcentages , vous donnerez un arrondi à 1 près. En 2004 , un célibataire a gagné 94 171 € . IL a payé 11 193 € d’impôts. 1°) Quel pourcentage de son traitement a- t-il consacré aux impôts ?......................................... 2°) Son loyer et les charges ( chauffage, électricité, eau , abonnement téléphonique , etc…) se sont élevés à environ 2850 € par mois . Dans l’année , il a donc dépensé pour se loger : ……………………………………………………………… Quel pourcentage de son traitement a – t – il consacré à se loger ? ………………………………………………..

3°) Pour sa voiture , il a payé 2147 € d’assurance pour l’année. Il estime à 6 500 € le montant annuel des réparations et de l’entretien. Pour le carburant et les péages d’autoroute , il dépense en moyenne 740 € par mois, c'est-à-dire …………………..€ par an. La dépense annuelle pour la voiture a donc été : .2147 € + 6500€ + …………………………..€ = ……………………………€ Quel pourcentage de son traitement a-t -il consacré à sa voiture ? ……………………….

4°) Pour se nourrir , il estime une dépense moyenne de 70 € par jour . La dépense annuelle pour la nourriture a donc été de : …………………………………………… Quel pourcentage de son traitement a- t- il consacré à la nourriture ? …………………………………………..

5°) Ces sommes étant retirées , que reste – il pour ses loisirs ? ……………………………… 94 171 € - ……………………= ……………………………………………… Quel pourcentage de son traitement reste - t- il pour ses loisirs ?

6°) Retrouve ce résultat en faisant le calcul sur les pourcentages trouvés précédemment . 100 - …………………………………………..

7°) Complétez le tableau récapitulatif.

Revenus

impôts

logement

voiture

Nourriture

Loisir

Somme en €

94 171

Pourcentage

100%

Angle

360 °

8°) Faîte un histogramme des dépenses ( ci-dessous à droite)

9°) Faîte un diagramme circulaire. Commencez par calculer les angles ( complétez le tableau )

Diagramme circulaire

19/03/14

Reste à terminer le corriger

TRAVAUX FORMATIFS :

Travaux : réciter les « à retenir »

Faire tous les activités …..

Contrôle :	A retenir 1:
	On dit que : deux suites de nombres sont des suites proportionnelles lorsqu’elles expriment l’existence d’un opérateur multiplicatif ( qui n’est pas forcément un nombre entier ou un nombre décimal) qui permet de passer de l’une des suites à l’autre suite. Cet opérateur multiplicatif est aussi appelé « coefficient de proportionnalité ».

A retenir 2 :

Si deux suites de nombres sont proportionnelles alors le représentation graphique correspondante est constituée par des points « alignés » . et la droite passant par ces points , passe aussi par le point de coordonnée ( 0 ; 0 ) .

Il n’y a que dans le cas d’une proportionnalité que la représentation graphique est ainsi …(à savoir : une droite qui passe par zéro)….

A retenir 3  :

Calculer 30% d’un nombre ( a) , c’est multiplier ce nombre (a) par  ; c'est-à-dire multiplier par « 30 » puis diviser par « 100 » ( ou diviser par « 100 » puis multiplier par « 30 »)

INTERDISCIPLINARITE

PROBLEMES :

A ) La longueur du cercle est donnée en fonction du diamètre ; compléter le tableau suivant :

D	5	10	12	25	28.2
L

Les deux grandeurs sont-elles proportionnelles ?

B ) Un cycliste parcourt 12km en 45mn .Un autre 17km en 50mn .Les distances parcourues sont-elles directement proportionnelles aux durées du parcours ?

C ) Construire un triangle ABC dans lequel BC = 50mm , l’angle B =40° et l’angle C =50°

Mesurer les cotés et les angles. Les mesures des cotés sont-elles proportionnelles aux mesures des angles opposés ?

D ) Même question pour un triangle ABC tel que l’angle A = 60° , l’angle B = 30° ,AB =70mm

E ) Une voiture se déplace à la vitesse constante de 80 km.h^-1 .La distance parcourue est-elle proportionnelle à la durée du parcours ?

F) Trois associés ont investi dans la même entreprise :le premier :10 000 € ,le deuxième : 14 000 € ;le troisième :26 000 €. Ils ont gagné 13 680 €

Partager le gain proportionnellement aux mises des associés .

G) 10 copropriétaires doivent se partager des frais de réfection s’élevant à 26 400 € , proportionnellement au montant de la valeur locative de leur appartement, s’élevant respectivement à :

200 € ;220 € ;250 € ; 300 € ; 350 € ; 400 € ; 500 € ;530 €

Quelle doit être la part de chacun ?

H ) Les copropriétaires d’un immeuble répartissent 8 000 € de travaux exécutés à frais communs proportionnellement à la valeur locative de leurs appartements estimée comme suit :

quatre appartements à 75 €  ; 5 à 60 € et 10 à 40 €. Calculer le montant des frais qui incomberont à chacun.

Corrigé interdisciplinarité :