Environnement du
dossier
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DOSSIER
:
L' ECHELLE
(ou les figures
semblables) Ech. =
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TEST
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COURS |
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Travaux et activités : niveau VI - V Dos 136.
agrandissement et diminution Dos 137 : échelle « plan » d’une
salle. Dos 143 :
échelles et surfaces. |
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Activité :
Pour construire une maquette ,j'utilise un plan
. Pour cela j'ai mesuré à la règle plusieurs côtes sur le plan et j'ai relevé les
dimensions correspondantes sur la
maquette.
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Mesures des côtes figurées sur
le plan en cm . |
1 |
1,5 |
8,5 |
12 |
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Mesures réelles relevées sur la maquette en cm. |
4 |
6 |
34 |
48 |
On vérifie que les deux suites de nombres sont proportionnelles en calculant
dans chaque cas la valeur du rapport.
= 0,25
; 
= 0,25
; 
= 0,25 ; 
= 0,25
"0,25" est l'échelle du
plan.
L'échelle permet d'effectuer une
représentation de la réalité avec des
dimensions différentes tout en conservant les mêmes proportions.
Dans les rapports les nombres
mesurés ou relevés sont exprimés dans la même unité.
L'échelle peut s'écrire sous forme décimale : 0,25
Souvent on utilise l' écriture sous forme d'une fraction : ou 1/4 ,ou 1 : 4
Avec l'échelle , on peut lire : 1 cm
sur le plan représente 4 cm dans la réalité .
Remarque : lorsque la valeur du rapport est inférieur à 1 , il s'agit d'une réduction ; inversement si la valeur du
rapport est supérieur à 1 , il s'agit d'un agrandissement .
Pour l'échelle 1 : les dimensions réelles sont égales aux dimensions sur le plan.
Définitions :
Observation :
Observons deux épreuves de format différent d’une même photo.
a)
sur les deux épreuves , les angles formés par
deux lignes analogues (en géométrie on
dit « homologues » )
représentant les mêmes lignes réelles , sont égaux .
b)
Au contraire , les longueurs analogues sont
modifiées .
Ainsi : chaque
longueur « ab » d’une épreuve s’obtient en multipliant la longueur
« AB » correspondante de l’autre épreuve par un même nombre ou une
fraction quelles que soit ces longueurs .
Ce nombre s’appelle « échelle » , ou « rapport de réduction » ou « rapport
d’agrandissement » ou « rapport de
similitude »
Echelles :
Par exemple , pour reproduire un dessin à
l’échelle ½ , il faut multiplier toutes
les longueurs par ½ (ou 0,5) ; pour
reproduire un dessin à l’échelle 3 , il faut multiplier toutes les longueurs
par 3 , les angles de la figure restant inchangés.
L’échelle s’exprime aussi par un nombre décimal. Par exemple
, pour reproduire un dessin à l’échelle 2,5 , il faut multiplier toutes
les longueurs par 2,5 .
On dit aussi , par exemple , qu’un terrain est
reproduit à l’échelle de 1cm par mètre. .Cela signifie qu’une longueur vraie de
1m est représentée sur le dessin par 1 cm. Inversement ,
si on mesure une longueur de 1 cm sur le dessin , c’est que la vraie longueur
est 1 m . L’échelle de réduction est égale à 1 /100 .
Il est
commode de donner l’échelle sous forme d’une fraction ou d’un nombre décimal .
Si l’échelle est 5/7 par exemple , cela
signifie que 7 cm vrais sont représentés sur un dessin par 5 cm, que 7 m sont représentés par 5 m , , que 7 mm sont représentés par 5 mm …..
Si l’échelle est 0,5 par exemple , cela
signifie que 1 m vrai est représenté par 0,5 m ; c’est à dire 5 dm , que 1
cm est représenté par 0,5 cm , c’est à dire 5 mm, que 1 mm est représenté par
0,5 mm , c’est à dire un demi millimètre.
2) Les ECHELLES USUELLES :
A)
Dessin industriel
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Réduction |
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1/2 |
1 /
2,5 |
1/5 |
1/10 |
1/20 |
1/50 |
1/100 |
1/200 |
1/500 |
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ou |
ou |
ou |
ou |
ou |
ou |
ou |
ou |
ou |
|
0,5 |
|
0,2 |
0,1 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,005 |
0,002 |
|
Agrandissement |
||||||||
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2 |
2,5 |
5 |
10 |
20 |
50 |
100 |
Etc. |
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B) Cartes :
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Cartes routières au 1 / 1 000 000 |
Une longueur de 1 000 000 cm sur le terrain est représentée par 1 cm
sur la carte. 1cm sur la carte représente donc 10 km sur le terrain. |
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Cartes routières au 1 / 100 000 |
Une longueur de 100 000 cm sur le terrain est représentée par 1 cm sur
la carte. 1cm sur la carte représente donc 1 km sur le terrain. |
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Cartes
routières au 1 / 250 000 |
Une longueur de 250 000 cm sur le terrain est représentée par 1 cm sur
la carte. 1cm sur la carte représente donc 2,5 km sur le terrain. |
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Cartes d’état-major au 1 / 80
000 |
Une longueur de 80 000 cm ( ou 800m) sur le
terrain est représentée par 1 cm sur la carte. 1,25 cm sur la carte représente donc 1 km sur
le terrain. |
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Cartes ONF au 1 / 25 000 |
Une longueur de 25 000 cm ( 250 m ) sur le terrain
est représentée par 1 cm sur la carte. 1cm sur la carte représente donc 250 m sur le terrain. |
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Cartes ONF au 1 / 10 000 |
Une longueur de 10 000 cm ( 100 m ) sur le
terrain est représentée par 1 cm sur la carte. 1cm sur la carte représente donc 100 m sur le terrain. Il existe des cartes aux 1/20000 et 1/5000 |
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Les plans cadastraux : ils sont à l’ échelle 1/2500 ou
1/1000 |
Dans le premier cas
, 1cm sur le plan représente 25 m sur le terrain et dans le deuxième
cas , 1 cm sur le plan représente 10 m sur le terrain. |
3 )
ECHELLES GRAPHIQUES
a)
On se propose par exemple de
réduire les longueurs d’un dessin (mesurées)en
centimètres à l’ échelle 8 /10 .
b)
On peut tracer un segment AB ayant pour longueur 8 cm qu’on divise en 10
parties égales (Soit graphiquement voir « division d’un segment ») simplement , en portant à partir du point A vers B , les longueurs
8 cm 
1gr
= 0,8 cm ou 8mm ; 8 cm 2gr = 16 mm ; 8 cm 3gr= 24 mm; ainsi de suite…….( ?
Calculs =SOS )
Cela revient à dire que les
divisions successives 0-1 ; 1-2 ; …. ; etc. ;
représentent les longueurs : 8 cm 1gr ou 1cm1gr
C’est à dire la réduction des centimètres à l’échelle 8 / 10 .
Par conséquent , si une longueur à réduire mesure
6 cm , on reportera sur la réduction la distance 0-6 de
l’échelle .
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On
complète l’échelle en prolongeant AB jusqu’en C de façon que AC (appelé
« talon ») égale la division 0-1 de l’échelle ,
c’est à dire les 8/10 d’un centimètre .On partage le talon en 10 parties
égales . Chacune de ces parties représente donc les 8/10 d’un millimètre. Pour
reporter , par exemple, la réduction , la réduction
de 6,8 cm , poser une pointe de compas en « P » et l’autre en
« Q » , sur le talon en « 8 ». |
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Echelle
graphique 1/200 000 |
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A propos d ‘ agrandissement ou de réduction ou « vraie grandeur »
1 )
nous faisons un agrandissement ,
si le rapport « Dimension du
plan » (notée : Dp) sur « Dimension réelle » (notée :
Dr) est supérieure à 1
(traduction mathématique : si 
> 1 alors
« agrandissement »)
2 ) nous faisons une réduction , si le
rapport Dp
sur Dr est inférieure à 1
(traduction mathématique : si < 1 alors
« réduction »)
3 ) nous faisons une représentation en
vraie grandeur si le rapport Dp sur Dr est
égal à 1
(traduction mathématique : si = 1 alors «vraie
grandeur »)
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Exemples de la diminution ou de l’ agrandissement
. |
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Sens de lecture ®
diminution
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(sens de lecture ) ¬ agrandissement |
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4 ) INSTRUMENTS ET METHODES DE TRACE.
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Compas de réduction (compas à
pointes sèches : pointes en métal) |
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En O
est une vis qui peut se déplacer le long des branches évidées du compas .On
place le trait de repère « r » en face de l’échelle de réduction
désirée et qui est gravée sur une branche .On serre la vis .Le dispositif qui
est en « O » permet de faire pivoter le compas sans toucher à la
vis. La
réduction d’une longueur « AB » est « A’B’ » .On utilise
alors le compas (sans toucher à la vis) autant de fois qu’il y a de longueurs
comme « AB » à réduire. Remarquez que si « A’B’ » est la
longueur à reproduire , « AB » est son
agrandissement. |
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Méthode des « carreaux » |
Voir « quadrillage : SOS
cours » |
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Elle convient pour les réductions ou les agrandissements de dessins à
lignes irrégulières. |
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Le Compas de proportion |
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Deux branches identiquement graduées peuvent pivoter autour du point
« O ». Si on veut réduire une longueur MN à l’échelle 5/8 ,
par exemple , placer le compas comme l’indique la figure . « mn »
est la longueur réduite. |
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Angle de réduction |
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Par exemple ,pour réduire des longueurs à l’échelle 4/7 ,
tracer sur du papier millimétré OA = 7 cm
, AB = 4 cm . Tracer OB . Puis porter la
longueur à réduire comme Oc ; Cc est la longueur cherchée
. |
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Se souvenir que « l’échelle »
est le rapport ( Division )de la distance entre deux
points sur le plan (distance plan ) sur la distance réelle qui sépare des deux points (distance
réelle).
Les distances sont
,obligatoirement , exprimées dans la même unité de longueurs. (tout en cm ,en dm , en m ;........) On dit
que ce sont des grandeurs.
Rappel :
On appelle « grandeur » un nombre associé à une unité de mesure.
L’échelle est un nombre. (elle n’ a pas d’unité
)
Ce nombre se présente
(peut se présenter )sous 4 formes :
ce peut être un
nombre entier :
exemple : échelle : 2 (on multiplie les dimensions réelles par
deux)
exemple : échelle : 1
(on reproduit la pièce a ses
dimensions réelles) on dit aussi
« reproduire en vraie grandeur » , le rapport est alors de 1/1
ce peut être un
nombre décimal :
échelle :
0,5 (en dessin industriel)
ce peut être ou une
fraction :
a) cette
fraction est peut être exprimée sous sa
forme irréductible : échelle 2/ 3
b) , ou
sous sa forme de fraction de numérateur égal à 1 :
exemples
Modèles réduits : 1 / 30
cartes militaires : à l ’ échelle 
; 
; ou 
;
cartes
routières : 
;
;
;
;
carte
de l’Europe au 1/ 3 700 000
(certaines
fractions peuvent être remplacées par leur valeur décimale, d’autres jamais )
|
Fraction représentant un nombre décimal : |
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Attention :
1/ 3 700 000 n’a pas de représentant décimal.
On
trouve : 1/ 3 700 000 » 0,000000
27027027
CALCULS
3
types d’exercices peuvent être demandés : ( 3
niveaux)
Niveau I :
Rechercher l’échelle en
fonction de la dimension du plan et de
la dimension réelle.
Niveau II
Rechercher la dimension du
plan en fonction de l’échelle et de la dimension réelle.
Niveau III
Rechercher la dimension
réelle en fonction de l’échelle et la
dimension sur le plan.
Quelque soit le niveau de difficulté :
Il faut connaître et mettre la relation précédente sous forme d
‘équation mathématique :
Ech.
=
ce qui donne en abrégé : 
En Résumé ,
ON retiendra que pour traiter un problème
sur les échelles on devra appliquer la procédure suivante:
Procédure :
1.
Poser la
relation mathématique dans laquelle intervient le mot « échelle ».
2.
Identifier dans
l’énoncé Dp et
Dr .
3.
Convertir
dans la même unité .
4.
Remplacer
dans la relation mathématique les lettres par les nombres connues.
5.
Effectuer le
calcul.
6.
Rendre compte , en fonction des exigences.
(si
l’on ne précise rien donner la valeur sous forme de nombre décimal ou entier
,si l’opération ne « tombe » pas juste laisser le résultat sous forme de fraction
irréductible.
(dans le cas possible donner le résultat sous forme de fraction de
numérateur égal à 1 .)
Exemple : Niveau I :
Rechercher l’échelle en fonction de la dimension du plan et de la dimension
réelle.
on demande de rechercher la
valeur de l’échelle en fonction de Dp et Dr . ( On dit aussi détermination
de l’échelle )
Exercice:
Enoncé
de l’exercice : « 3,8
cm » sur une carte représente « 380 m » sur le terrain, quelle est la valeur de
l’échelle ?
CORRIGE (en utilisant la procédure
énoncée ci dessus !)
1 )
Poser la relation mathématique dans laquelle intervient le mot
« échelle ».
: Ech. =
2 ) Identifier dans
l’énoncé Dp et
Dr .
3.8cm sur une carte : Dp
380 m sur le terrain : Dr
3 ) Convertir dans la même unité
.
Dp = 3.8
cm ;
Dr = 38 000cm
4 ) Remplacer dans la relation mathématique les lettres par les nombres
connues.
Si :
Ech. =
; : Ech. =
5 ) Effectuer le calcul.
Voir Objectif puissance
3 ; sciences
= 
= 
=
on peut
aussi faire la division:
3,8 : 38000 = 0.0001
6 ) Rendre compte , en fonction des exigences.
(si l’on ne précise rien donner la valeur sous
forme de nombre décimal ou entier ,si l’opération ne « tombe » pas
juste laisser le résultat sous forme de
fraction irréductible.
(dans le cas possible
donner le résultat sous forme de fraction de numérateur égal à 1 .)
La valeur de l’échelle utilisée pour effectuer la carte
est : Echelle = 1 /10000ième
>>>>>>>>Voir
les travaux auto formatifs .