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Isométrie

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ENVIRONNEMENT du dossier:

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Objectif précédent :

1°) Les triangles semblables

2°) Les translations(notion) .

Objectif suivant :

Les transformations géométriques Sphère metallique

1°) tableau    Sphère metallique

2°) liste des cours en géométrie

 

 

 

 

DOSSIER : SIMILITUDE (semblable)

 

 

 

 

1.    Définitions et propriétés générales

 

 

 

2.    Rapport de similitude ou « ECHELLE » : avec une figure géométrique , un triangle.

 

 

 

 

 

3.    Exemples de figures semblables .

 

 

 

4.    Similitude par glissement.

 

 

 

 

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COURS

 

Définitions et propriétés générales

 

1°) Définitions

 

Deux figures sont dites semblables si l’une d’elle est égale à une homothétie de l’autre .

Pour rendre homothétique deux figures semblables , il faudra imprimer à l’une d’elle  soit un glissement soit un retournement : d’où la similitude par glissement  et la similitude par retournement.

 

 

2°) Rapport de similitude ou « ECHELLE »

 

Deux figures semblables données pourrons être rendues , au choix , homothétiques positives ( rapport   par exemple) ou homothétiques négatives  . Le nombre  pris en valeur absolue s’appelle  « rapport de similitude » ou « échelle ».

 

 

e 17

e 11

 

 

 

Forme d’une figure. F

 

Deux éléments importants la caractérisent :

1°) les angles de configuration , c’est à dire les angles A , B , C , formés par ses divers droites ;

)les rapports de configuration, c’est à dire les rapports  , …formés par ses divers segments .

 

 

 

Or , dans deux figures homothétiques , et aussi par conséquent dans deux figures semblables F et F1 (notamment dans deux polygones )

1°) les angles de configuration homologues sont égaux : l’angle A = l’angle A1 ; l’angle B = l’angle B1 ….

2°) les segments homologues étant proportionnels , puisque l’on a toujours :

 

  , l’on en déduit ,

 

par exemple :  , c’est à dire que dans l’une et l’autre figure , les rapports de configuration homologues sont égaux.

 

 

Remarques :

 

1°) ces propriétés justifient le nom de similitude donné à cette transformation , puisqu’elle conserve la forme de la figure.

 

2°) Dans  l’ homothétie , les segments homologues sont de plus, parallèles.

 

3°) Dans l’égalité , le rapport k est égal à 1 , et les segments homologues sont égaux.

 

CAS de  similitude.

 

 

Polygones en général .

Si deux polygones convexes , ABCDE , A1B1C1D1E1 ont les angles aux sommets homologues égaux et les côtés homologues proportionnels , c’est à dire si l’on a , k étant un nombre fixe :

L’angle A1 = l’angle A   , l’angle B1 = l’angle B ,

                A1B1 = k. AB  , B1C1 = k .BC

Ces deux polygones sont semblables .

 

En effet , au polygone P faisons subir une homothétie de rapport K . Il se transforme  en un polygone P’ pour lequel on a :

L’angle A’ = l’angle A   ; L’angle B’ = L’angle B  

 A’B’ = k.AB   ; B’C’ = k.BC….

P’ et P1 ont donc  les angles homologues égaux et les cotés homologues  égaux donc sont évidemment superposables . P1est donc égal à P’ , homothétique de P.

 

 

Remarques .

1)) cette démonstration peut s’étendre à des polygones concaves ou enchevêtrés pourvu que les angles homologues soient de même sens .

2°) Ce théorème étant réciproque de celui qui découle de la première définition (Deux figures sont dites semblables si l’une d’elle est égale à une homothétie de l’autre .), son énoncé  peut être pris aussi comme définition des polygones semblables .Toutefois , une rel

marque s’impose . Partons de ABCDE et , conformément à cette seconde définition , construisons successivement :

A1B1 = AB  et l’angle B1= l’angle B ;   B1C1 =BC et  l’angle C1= l’angle C  jusqu’à D1E1 = DE .

Arrivés là , si nous traçons l’angle E1  = l’angle E  , qui nous dit que la chaîne de fermera en A1   et que l’on aura aussi   E1A1 = EA ?

 

L’existence de polygones semblables , quand on part de cette seconde définition , n’est pas évidente ; au contraire la première définition , basée sur l’homothétie est constructive  , et l’on ne peut guère s’en dispenser.

)Ajoutons que cette seconde définition ne vaut que pour les polygones et ne s’étend pas aux lignes courbes.

 

Avec les  TRIANGLES :

« pour en savoir plus ! ! ! »

 

 

Pour deux triangles ABC , et A1B1C1  , il n’est pas nécessaire de connaître  les 5 égalités

L’angle A = l’angle A1  l’angle B = l’angle B1  l’angle C = l’angle C1 ;

 

 pour conclure à leur similitude. Deux suffisent , convenablement choisies.

 

 

Premier cas : si T et T’ ont deux angles égaux : A = A1 et B = B1 , ils sont semblables.

En effet , au triangle T faisons subir une homothétie de rapport k =  ; T se transforme en triangle  T’ où l’on a : l’angle A’ = l’angle A  , l’angle B’ = l’angle B

 

 et A’B’ = k.AB ; donc T’ et T1 ont un coté égal A’B’ = A1B1 bordé par deux angles  égaux ; T1 est donc égal à T’ , homothétique de T.

 

 

Deuxième cas . si T et T1 ont un angle égal A = A1  bordé par deux cotés proportionnels A1B1= k . AB  et A1C1 = k . AC   ils sont semblables .

 

 

Une homothétie de rapport k transforme  T en un triangle  T’ où : l’angle A’ = l’angle A , A’B’ = k.AB  , A’C’ = k.AC ; donc T’ et T1 ont un angle égal bordé par deux cotés égaux ; T1 est donc égal à T’ , homothétique de T.

 

Troisième cas : Si T et T1 ont les cotés proportionnels : A1B1= k . AB  et A1C1 = k . AC ; B1C1= k . BC  , ils sont semblables .

 

Une homothétie de rapport k transforme T en un triangle T’ égal à T1 comme ayant les trois cotés égaux .

 

Remarques :

Pour les deux premiers cas , on peut aussi , profitant de l’angle égal A = A1  , loger les deux triangles l’un dans l’autre et utiliser le théorème de Thalès.

Cela revient , dans les démonstrations qui précèdent , a prendre l’angle A pour centre d’ homothétie .

 

 

3°) Autres cas de similitude .

 

Si deux triangles rectangles en A et A1 ont deux cotés proportionnels  A1B1= k . AB  et  B1C1= k . BC ils sont semblables . Car une homothétie de rapport « k » transforme  « T » en un triangle « T’ » , égal à « T1 «  comme rectangle , ayant l’hypoténuse égale et un autre coté  égal .

Ou , ce qui revient au même , si deux triangles rectangles ont un rapport de configuration égal , par exemple  ils sont semblables .

 

2°) Si dans deux triangles ABC et A’B’C’ les droites AB et A’B’ ; AC et A’C’ ; BC et B’C’ , font le même angle  a en grandeur et en sens  , ces deux triangles sont semblables par glissement .

Car une rotation d’angle  a  transformera T en un triangle T’ , homothétique de T1 comme ayant les cotés parallèles .

En particulier , si deux triangles ont les cotés perpendiculaires , ils sont semblables.

 

3°) deux polygones homothétiques , et aussi par conséquent deux polygones semblables , sont décomposés par leurs diagonales homologues en triangles semblables.

Réciproquement , si deux polygones sont formés par des juxtapositions dans le même ordre de triangles semblables deux à deux  , ces deux polygones seront semblables , car ils auront les angles homologues égaux ( sommes des angles de ces triangles ) , et les cotés homologues proportionnels ( cotés de ces triangles  se trouvant en bordure ).

 

 

 

 

Généralisation .

 

L’on peut démontrer que :

1°) Si dans deux figures F et F1   tous les angles de configuration homologues sont égaux ( angles des cotés , des diagonales , etc. ) cela suffit pour que les deux figures soient semblables.

 

(en effet , il n(est même jamais besoin de connaître l’égalité de tous les angles , un certain nombre d’égalités convenablement choisies suffisent pour entraîner les autres .)

La démonstration est analogue à celle du premier cas de similitude des triangles.

2°) Si dans deux figures F et F1 , tous les rapport de configuration homologues sont égaux , cela suffit pour que les deux figures  soient semblables.

 

 

Exemples de figures semblables :

En partant soit de la première , soit de la deuxième définition , on obtiendra comme figure semblable :

 

1°) D ’ un polygone régulier ( cotés égaux , angles égaux ) un autre polygone ayant les mêmes propriétés , donc un polygone régulier de même espèce :

 

2°) D ’un rectangle R , un autre rectangle R’ ayant les mêmes angles des diagonales , et même rapport entre les deux dimensions.

 

3°) D ’un triangle isocèle , un autre triangle isocèle ayant même angle au sommet ( exemple :triangle rectangles isocèles ).

 

4°)  D ’un losange L , un autre losange L’ ayant même angles aux sommets , et même rapport entre les deux diagonales.

 

5°)  D ’un demi -triangle équilatéral , un autre triangle de même espèce .

 

6 °)D’un arc de cercle  AB , un autre arc de cercle A’B’ ayant même angle au centre.

 

Toutes les réciproques sont vraies : deux figures ayant l’une des propriétés qu’on vient d’indiquer sont semblables.

 

Similitude par glissement.

Soient deux figures « F » et « F1 » semblables  par glissement.

Si elles sont homothétiques  , le centre d’homothétie « O »  occupe une position homologue , c’est un point double , dans l’une et l’autre .

Si elles ne sont pas homothétiques , cherchons si elles n’auraient pas cependant un point double « O » : car si nous trouvions un tel point , nous pourrions d’abord , par  une homothétie de centre O et de rapport convenable , amener F en une position intermédiaire F’ ;

 

Ensuite , par une rotation de centre « O » , d’angle convenable , amener F’ en sa position définitive F1.

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Travaux auto formatifs.

 

CONTROLE:

 

 

aucun

 

EVALUATION:

Aucune !