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Les figures géométriques élémentaires

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths

Objectif précédent :

Les transformations en géométrie   Sphère metallique

Objectif suivant 

1°) les transformations.Sphère metallique

2°) Les triangles homothétiques

3°) « vecteurs » et « homothétie »

Liste de cours sur la géométrie plane.

 

 

 

 

DOSSIER : HOMOTHETIE

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

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COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

COURS

Définition

 

Etant donné un point fixe O appelé centre d’homothétie , et un nombre fixe « k » appelé rapport d’homothétie : soit A un point quelconque ; sur la droite OA prenons le point A’ défini par l’égalité = k

Le point A’ sera dit homothétique de A ( centre O , rapport k )

 

K peut être positif ou négatif ;

K peut être  > 1 , <1 , =1

(voir : échelle)

r3

 

 

Homothétiques des figures usuelles

 

 

Droite .

 

1°)  Une droite D passant par le centre O a pour homothétique la droite elle même.

2°)  Soient deux droites ne passant par O ; A et B deux points de D ; A’ l’homothétique de A . Par A’ menons D’ parallèle à D ; la droite OB coupe  D’ en un point B’ :

 

le théorème de Thalès donne :

  ,

donc B’ est l’homothétique de B , et : l’homothétique  de la droite D est une droite D’ parallèle à D.

 

 

 

3°) Si D est orientée , D et D’ seront de même orientation ou d’orientations contraires suivant que l’homothétie est positive ou négative ( c’est à dire k >0 ou k < 0 .

4°) Un vecteur AB  a pour homothétie un vecteur parallèle  A’B’   , tel que 

= k

 

 

 

ANGLE :

 

L’homothétie d’un angle est un angle égal et de même sens de rotation , même si l’homothétie est négative.

 

 

Polygone .

 

D’après ce qui précède , l’homothétie sera un autre polygone ; les deux polygones homothétiques auront :

1°) les angles homologues égaux et de même sens     A’ = A   ;   B  ’= B

Les cotés homologues parallèles et proportionnels :

 

= k  ;     =  k  , etc…

 

Pour construire l’homothétique de ABCDEF  , on joint le centre  à tous les sommets , on construit l’homothétique de A ; puis on mène  parallèle à  , ’ parallèle à  , etc . ; comme on aura , de proche en proche    = k , etc.  On est sûr que la chaîne se fermera et qu’on sera ramené au point A.

 

 

 

 

 

 

 

 

Cercle :

 

Soit le cercle ( C) de rayon ( R) .Construisons C’ homothétique du centre C ; un rayon CM aura pour homothétique :

           

         = k   = k  R ,

 

 ce vecteur  est donc constant .

 

L’ homothétique du cercle ( C) sera le cercle ( C’ ) de rayon  R’ = k R 

 

 

Réciproques .

 

1°) Droites :

deux droites parallèles sont homothétiques d’une infinité de manières ; le centre d’homothétie peut être pris n’importe où sauf  sur une des deux droites , le rapport d’homothétie peut-être  un nombre quelconque mais il dépend du centre choisi.

 

2°) deux vecteurs parallèles  et   non équipollents sont homothétiques ; le centre O est  l’intersection des droites  AA’ et BB’ ; le rapport est k =

 

3°) deux segments parallèles AB et CD sont homothétiques ; de deux manières s’ils ne sont égaux ; les centres P et N étant les point d’intersection de AC et de BD , ou bien de AD et de BC ; les rapports sont opposés.

 

                        

 

 

Triangles

En plus ++++

Deux triangles ABC et A’B’C’  dont les cotés sont parallèles mais non équipollents , sont homothétiques .

Soit O le point d’intersection de BB’ et CC4 ; avec O comme centre , et le rapport  , construisons l’homothétique de ABC suivant la méthode  donnée pour les polygones ; nous retrouvons précisément A’B’C’.

 

 

 

Cercles :

 

Soient deux cercles  inégaux et non concentriques . Menons deux rayons CM et C’M’ parallèles et de même sens ; les droites CC’ et MM’ se coupent en P ; avec le point P comme centre  et le rapport  construisons l’homothétique de ( C ) par la méthode (SOS ) , nous retrouvons précisément ( C’ )

Raisonnement analogue en partant de deux rayons parallèles de sens contraires , avec le rapport

 

Deux cercles inégaux et non concentriques sont homothétique dans deux  homothéties de rapports  les centres d’homothétie P et N sont deux points conjugués harmoniques par rapport aux centres  C et C’ des deux cercles.

 

En particulier si les deux cercles sont tangents , leur point de contact est l’un des centres d’homothétie.

2°) pour deux cercles concentriques  ces deux homothéties  de rapport   , subsistent , mais les deux centres  d’homothéties P et N se confondent avec le centre C des deux cercles.

3°) pour deux cercles  égaux , une seule homothétie subsiste ( de rapport –1 : c’est une symétrie ) , l’autre n’existe plus et se trouve remplacée par une translation .

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE:

 

 

 

 

EVALUATION: