Les fonctions circulaires: résoudre des équations sin x ; cos x ; tan x

Pré requis:

Les unités de mesure d’angles

Les secteurs circulaires

Les secteurs angulaires

 

 

 

Les angles orientés ;

 

Extension : Angle et arc

 

Le cercle trigonométrique.

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index        

Objectif précédent :

1°) Le radian 

2°) Les fonctions circulaires

Objectif suivant :

 

Les dérivées des fonctions circulaires

 

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A savoir : les abréviations :

« tg » et « tan » , abréviations :  lire « tangente »

« cotg » et « cotan » , abréviations :  lire « cotangente »

 

DOSSIER : LES FONCTIONS CIRCULAIRES :  ( résolutions de base)

Inégalités entre « sin x » ; « x » et « tan x »

 

Résoudre :

-          les équations sin x = sin a. ,  et application :  Résoudre l’équation sin ( 4x - ) = sin x  ( en radians)

 

-         les équations cos x = cos a.  et application : Résoudre l’équation  cos ( 60 – 2x) = cos ( 4x +30)    ( en degrés)

-          les équations tan x = tan a. et application : Résoudre l’équation : tan ( 7 x + 12 )  = tan ( 2 x + 62 )           (en grades)

 

 

 

TEST

 

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

COURS

 

 

Inégalités entre « sin x » ; « x » et « tan x »

 

 

Sur le cercle trigonométrique   , considérons l’arc  dont la mesure « x » en radian est comprise entre  « 0 » et «  » . (voir ci contre).

Le point « M » se projette en « P » sur l’axe « Ox » et la droite « OM » coupe en « T » la tangente en « A » au cercle.

On sait que :

« cos x = 0P » ; « sin x = PM » ;   « Tan x = AT »

 

L’aire du secteur circulaire  « OAM » est comprise entre celles des triangles  «  OAM »  et « OAT » .

Donc :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Problème 1

-          Résoudre l’équation  sin x = sin a (en radians)

 

Soit M l’extrémité de l’arc « a »,  son sinus , obtenu en menant MM’ parallèle à AA’.

Pour qu’un arc ait pour sinus , il faut et il suffit qu’il soit terminé en M ou en M’.

Tous les arcs terminés en M sont de la forme « a + k .2 . »

 

L’équation sin x = sin a admet donc deux familles de solutions :

 

Sin x = sin a

X=   a + k .2

X =   - a + k .2 .

 

« k » est un entier naturel

 

On peut aussi dire : pour que deux arcs aient le même sinus , il faut et il suffit qu’ils soient égaux ou supplémentaires, à des cercles prés.

 

-          Application à un type d’équation.

 

Résoudre l’équation sin ( 4x - ) = sin x  ( en radians)

Pour que les arcs ( 4x - )  et x aient le même sinus , il faut et il suffit que l’on ait :

(1)               4x -   =  x + k .2

(2)             ou   4x -   =  - x + k .2

1°) l’équation (1) donne :  x =

si « k » varie d’un multiple de 3, « x » varie multiple de 2  et son extrémité ne change pas.

On aura donc toutes les extrémités des arcs « x » en donnant à « k » trois valeurs consécutives, par exemple 0 ;1 ;2

On a ainsi trois extrémités d’arcs –solutions,aux sommets d’un triangle équilatéral. (voir ci contre)

 

 

 

2°) L’équation (2) donne x = 

d’où cinq extrémités d’arcs- solutions,aux sommets d’un pentagone régulier. (ci contre)

Ces cinq nouveaux points sont différents des trois points trouvés précédemment, de sorte que l’équation admet huit extrémités d’arcs – solutions.

 

Problème 2 :

 

Résoudre l’équation cos x = cos a  ( en radians) .

Soit M l’extrémité de l’arc « a »,  , son cosinus, obtenu en menant MM’ parallèle à BB’. Pour qu’un arc ait  pour cosinus, il faut et il suffit qu’il soit terminé en M ou en M’.

Tous les  arcs  terminés en M sont de la forme a + k .2 . Un  des arcs terminés en M’ sont de la forme - a + k .2 .

L’équation cos x = cos a admet donc deux familles de solutions :

 

cos x = cos  a

X=   a + k .2

X =   - a + k .2 .

 

« k » est un entier naturel

On peut dire aussi :

 

Pour que deux arcs aient le même cosinus,il faut et il suffit qu’ils soient égaux ou opposés, à des cercles près.

 

 

Situation exercice résolue :

Application à un type d’équation. :

 Résoudre l’équation  cos ( 60 – 2x) = cos ( 4x +30)                             ( en degrés)

 

Cette équation se dédouble en :

( 60 – 2x) = ( 4x +30) + k . 360

( 60 – 2x) = - ( 4x +30) + k . 360

60 – 30 – k .360= 4x +2x

 

30 – 360 k  = 6x

 

x = 5 – k.60

x = - 45°  + k . 180°

Les six extrémités d’arcs solutions , aux sommets d’un hexagone régulier

Deux extrémités d’arcs solutions, sur la deuxième bissectrice.

 

Soit en tout , huit extrémités d’arcs solutions.

 

Problème 3

 

Résoudre l’équation :   tan x = tan a      (en radians)

 

Soit M l’extrémité de l’arc « a » ,  sa tangente,obtenue en traçant le diamètre MM’ .

Pour qu’un arc ait   pour tangente, il faut et il suffit qu’il soit terminé en M ou en M’, c'est-à-dire qu’il soit de la forme :    a +  k

 

L’équation tan x = tan a  admet donc deux extrémités d’arcs solutions :

 

tan x = tan a      ;  x  = a + k

 

On peut aussi dire :

Pour que deux arcs aient la même tangente,il faut et il suffit qu’ils soient égaux,à des demi-cercles près.

 

Application à un type d’équation :

tan ( 7 x + 12 )  = tan ( 2 x + 62 )           (en grades)

 

( 7 x + 12 )  = ( 2 x + 62 )  + k.200

 

 

              x = 10 + k .40

 

soit : Dix extrémités d’arcs – solutions , aux sommets d’un décagone régulier.

 

Reste à refaire les exercices proposés…….

 

 

 

TRAVAUX AUTO _ FORMATIFS

 

 

CONTROLE:

A compléter…..

On dit que : deux arcs sont supplémentaires quand la somme de leurs mesures algébriques est    (radians)

 

 

EVALUATION:

 

1°) Résoudre l’équation sin ( 4x - ) = sin x                                           ( en radians)

2°) Résoudre l’équation  cos ( 60 – 2x) = cos ( 4x +30)                             ( en degrés)

 

3°) Résoudre l’équation : tan ( 7 x + 12 )  = tan ( 2 x + 62 )                       (en grades)

 

 

 

 

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