Pré requis:

Les unités de mesure d’angles	Les secteurs circulaires	Les secteurs angulaires

Les angles orientés ;
Extension : Angle et arc
Le cercle trigonométrique.

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

Objectif précédent :

1°) Le radian

2°) Les fonctions circulaires

Objectif suivant :

Les dérivées des fonctions circulaires

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A savoir : les abréviations :

« tg » et « tan » , abréviations : lire « tangente »

« cotg » et « cotan » , abréviations : lire « cotangente »

DOSSIER : LES FONCTIONS CIRCULAIRES : ( résolutions de base)

Inégalités entre « sin x » ; « x » et « tan x »

Résoudre :

- les équations sin x = sin a. , et application : Résoudre l’équation sin ( 4x - ) = sin x ( en radians)

- les équations cos x = cos a. et application : Résoudre l’équation cos ( 60 – 2x) = cos ( 4x +30) ( en degrés)

- les équations tan x = tan a. et application : Résoudre l’équation : tan ( 7 x + 12 ) = tan ( 2 x + 62 ) (en grades)

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS

Inégalités entre « sin x » ; « x » et « tan x »

Sur le cercle trigonométrique , considérons l’arc dont la mesure « x » en radian est comprise entre « 0 » et « » . (voir ci contre).

Le point « M » se projette en « P » sur l’axe « Ox » et la droite « OM » coupe en « T » la tangente en « A » au cercle.

On sait que :

« cos x = 0P » ; « sin x = PM » ; « Tan x = AT »

L’aire du secteur circulaire « OAM » est comprise entre celles des triangles « OAM » et « OAT » .

Donc :

Problème 1

- Résoudre l’équation sin x = sin a (en radians)

Soit M l’extrémité de l’arc « a », son sinus , obtenu en menant MM’ parallèle à AA’.

Pour qu’un arc ait pour sinus , il faut et il suffit qu’il soit terminé en M ou en M’.

Tous les arcs terminés en M sont de la forme « a + k .2 . »

L’équation sin x = sin a admet donc deux familles de solutions :

Sin x = sin a

X= a + k .2 .

X = - a + k .2 .

« k » est un entier naturel

On peut aussi dire : pour que deux arcs aient le même sinus , il faut et il suffit qu’ils soient égaux ou supplémentaires, à des cercles prés.

- Application à un type d’équation.

Résoudre l’équation sin ( 4x - ) = sin x ( en radians)

Pour que les arcs ( 4x - ) et x aient le même sinus , il faut et il suffit que l’on ait :

(1) 4x - = x + k .2

(2) ou 4x - = - x + k .2

1°) l’équation (1) donne : x =

si « k » varie d’un multiple de 3, « x » varie multiple de 2 et son extrémité ne change pas.

On aura donc toutes les extrémités des arcs « x » en donnant à « k » trois valeurs consécutives, par exemple 0 ;1 ;2

On a ainsi trois extrémités d’arcs –solutions,aux sommets d’un triangle équilatéral. (voir ci contre)

2°) L’équation (2) donne x =

d’où cinq extrémités d’arcs- solutions,aux sommets d’un pentagone régulier. (ci contre)

Ces cinq nouveaux points sont différents des trois points trouvés précédemment, de sorte que l’équation admet huit extrémités d’arcs – solutions.

Problème 2 :

Résoudre l’équation cos x = cos a ( en radians) .

Soit M l’extrémité de l’arc « a », , son cosinus, obtenu en menant MM’ parallèle à BB’. Pour qu’un arc ait pour cosinus, il faut et il suffit qu’il soit terminé en M ou en M’.

Tous les arcs terminés en M sont de la forme a + k .2 . Un des arcs terminés en M’ sont de la forme - a + k .2 .

L’équation cos x = cos a admet donc deux familles de solutions :

cos x = cos a

X= a + k .2 .

X = - a + k .2 .

« k » est un entier naturel

On peut dire aussi :

Pour que deux arcs aient le même cosinus,il faut et il suffit qu’ils soient égaux ou opposés, à des cercles près.

Situation exercice résolue :

Application à un type d’équation. :

Résoudre l’équation cos ( 60 – 2x) = cos ( 4x +30) ( en degrés)

Cette équation se dédouble en :

( 60 – 2x) = ( 4x +30) + k . 360	( 60 – 2x) = - ( 4x +30) + k . 360
60 – 30 – k .360= 4x +2x
30 – 360 k = 6x
x = 5 – k.60	x = - 45° + k . 180°

Les six extrémités d’arcs solutions , aux sommets d’un hexagone régulier	Deux extrémités d’arcs solutions, sur la deuxième bissectrice.