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Auteur :
WARME R.
INFORMATIONS
« LIVRE ».
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NOM :
……………………………… |
Prénom :
………………………….. |
Classe :………………….. |
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Année scolaire : ……………………… |
Dossier
pris le : ……/………/……… |
Validation
de la formation : O -
N Le : …………………………………….. Nom
du formateur : …………………… |
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ETABLISSEMENT :
………………………………………….. |
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Commentaire
Une
fonction affine peut s’identifier à
partir de quatre modes de représentation :
A) EquationLéquation de la forme : y = ax
+b
C) Tableau de variation (très difficile
)
D) Représentation graphique. (droite ne passant par
"0" )
Cet
objectif traite des généralités sur la fonction linéaire appliquée à
l’équation :
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Si "a" est un rationnel ( fraction
ou écriture fractionnaire) ; "x" est la variable ,
« b » est appelé « constante » . |
y = 
x
+ 2
Notation mathématique de la fonction
affine :
f :
x 
x + 2
Traduction en langage littérale : « fonction » où « x » () " a
pour image" « »
fois « x » plus deux.
Ce que l'on peut dire de « x
+ 2 » :
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« |
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"2" est un nombre appelé "constante" il remplace la lettre "b" |
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« |
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« x » est la variable de la fonction. |
On dira :
Que la fonction affine de coefficient « »
fait correspondre à chaque valeur de la variable « x » le nombre
« x
+ 2 ».
L’équation représentant de la fonction affine est une équation du premier degré à deux
inconnues de la forme y = x+2
REMARQUE
:
Bien entendu dans l' équation : y = ax + b il
faut que "a" soit différent de zéro ; au cas ou
nous aurions une autre équation qui sera
de la forme :
y = 0x + b
soit y = + b
Voir l'étude du cas particulier :
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Etude de la fonction : y
= b |
(En règle général : il est construit à partir d’une équation (calculs) , ou à partir d’un
tracé (relevé des coordonnés de points)
)
Le graphe d ' une fonction affine est de la forme :
G = {( x1 ;
ax1+b) ; (x2 ;ax2+b) ;
......... }
Commentaire:
Le graphe est un ensemble de
couples de nombres (ou suite);du type : ( x ; a x + b )
le premier nombre est attribué à « x » (valeur
choisie)
le deuxième
nombre est obtenu , après avoir remplacé "x"
par la valeur précédemment choisie et avoir fait le calcul « ax + b».
Exemple d' application :
On donne l'équation y = x+2
On remarque que :
l'équation est de la forme
"affine" (on reconnaît la forme
y = ax+b)
avec « a » valant
et "b" valant
2 ;
On en déduit que :
le
couple "type" du graphe
aura la forme et sera noté : ( x ; x+2
)
modèle
mathématique :
ce qui donnera pour l' équation : y = x+2 ;
le graphe sera
de la forme
G = {( x1 ; x1
+ 2) ; (x2 ; x2
+ 2 ) ; ......... }
Si l'on choisi des valeurs pour "x" on peut alors construire des couples de
nombres et ainsi obtenir un graphe de cette
"fonction"
Construction d’un couple de
nombres (à partir d’une équation) :
Si l’on donne une valeur à « x » (exemple : 9 )
on
obtient un autre nombre en utilisant
l’équation y = x+2 ;
(y = 
9+2 ; y =
(18 :3 ) +2 ; y = 6 +2
; y = 8)
c'est ainsi que nous obtenons le premier couple de nombres du
graphe de la fonction « x
+2 » : (9 ;
8)
On remarque que l’on peut citer
un couple particulier de la forme:
(0 ;b ) ; on a donné la valeur "0" à "x"
Conclusion :
le graphe représentant l ’ équation y = x
+ 2 est G =
{( 0 ; 2) ; (9 ; 8 )}
Exemples des
représentations graphiques types
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Construction
dans un repère cartésien:
I ) à partir
d’un graphe :
soit le
graphe obtenu précédemment G = {( 0 ; 2) ;
(9 ; 8 )}
,ces deux couples de nombres permettent de tracer la
représentation graphique de la fonction .
Procédure : reporter les
deux points ; A ( 0 ; 0) ;
B (9 ; 8 )
remarque : Dans un repère
cartésien , pour le couple (x1 ; x1+2)
à x1 on
associe l’abscisse « x »
appartenant à l'axe des "x"
à « x1+2 »
on associe l’ordonnée « y1 »
; appartenant à l'axe des "y"
Si on analyse ce graphe : G = {( 0 ;
2) ; (9 ; 8 ) }
On reconnaît
que la droite passe par le point y = 2 pour x = zéro ,
on peut dire le second
couple de nombres (9 ; 8 ) est de la
forme (x ; ax+b
) ; à démontrer ce qui n'est pas
évidence au prime abord .
On dit qu’il y a « variation » de « y » en fonction des valeurs de
« x » .
On
sait que l’on obtient la valeur de
« y » en fonction de la valeur
de « x » , ainsi si
« x » varie de valeur
alors « y » doit varier en fonction de « x+ 2 » ,
On dit aussi : que l’on trouve les
valeurs de « y » en fonction
des valeurs de « x » ; on note ce propos par :
y = f (x)
On a le droit d’écrire que
f(x) = y = x+2
Exemple : Nous pouvons regrouper les
couples de nombres calculés à partir
de ( x ; x+2)
Présentation du tableau de
variation:
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A |
B |
C |
O |
D |
E |
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x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
+1 |
+3 |
+6 |
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y =
f(x) |
0 |
1,25 |
4/3 |
2 |
+8/3 |
+4 |
+6 |
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Les coordonnées du point A peuvent se noter verticalement :
A xA ou horizontalement
A (xA ,yA)
yA
Exemple : Les coordonnées du point « A » se
notent :
A -3 ou A ( -3 , 0 )
0
Commentaire :
A
chaque point (A ; B ;.....) est associé les deux nombres qui
serviront de coordonnées dans la représentation graphique.
Pour faire la représentation graphique dans un
repère cartésien on prend dans le
tableau ,au minimum, deux points ( A (-3 ;-0); O (0; 2) ;
on trace la droite passant par ces ceux points ; on choisi
un troisième point et l'on vérifie si il est bien sur la droite tracée
précédemment :
E(+3 ;+4).......)
( voir comment remplir un tableau
numérique dit aussi de
variation)
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Exemple de représentation
graphique de l’équation y = |
La représentation graphique d ’ une équation
passe par la recherche de plusieurs
couples de nombres ,utilisés comme coordonnées
.
Deux points suffissent pour tracer la droite ;plus
un troisième qui servira de moyen de vérification (il doit se trouver sur cette
droite ).
la représentation graphique de la
fonction linéaire est une droite (noté xx +2) , où l’ensemble des points
A, B ,C ,D, ........ ont pour coordonnés les couples de nombres (x ; x+2 )
Caractéristiques
de cette représentation graphique :
n
c’est une droite (D)
n
cette droite passe par un point particulier d ’
abscisse (0) et d’ordonnée (2) , noté
(0 ;2).
(cette remarque est importante si
l'on veut faire un changement de repère ,par translation de l'axe des abscisses et pour rechercher la pente de la droite)
n
elle possède un point caractéristique ; à d’abscisse valeur « 1 » correspond la valeur de
« » ;
noté P : (1 ; 
)
« »
s’appelle coefficient directeur de la
droite affine ,
c’est un nombre relatif :
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Exemples
de représentation graphique de la fonction
f (x) = |
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A) Représentation graphique de
la fonction f (x) = |
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B) Représentation graphique de
la fonction f (x) = |
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Vous pouvez remarquer que :
Nous avons « élargi » l’intervalle de « x » .
En A : nous avons
construit la droite dans les
« x » positifs.
En B : nous avons construit la droite en prenant
des valeurs de « x » négatives et positives.
Nous avons pris un repère orthonormé
( les axes sont perpendiculaires et les graduations sont
de même longueur.)
Par
convention:
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Si le nombre "a" est « positif » ,dans la
représentation graphique la droite monte de la gauche vers la droite ,on dira
que la fonction est « croissante ». Exemple : y = |
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Si le nombre "a" est
« négatif » ,dans la
représentation graphique la droite "descend" du haut
gauche vers le bas "droit" ,on dira que la fonction est
« décroissante »., Exemple : y = - |
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Exemple d’une
représentation graphique croissante et décroissante. D1 est la
droite représentante de
l’équation : y = + D2 est la droite représentante de l’équation : y = - |
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Remarque : >0 ;
la droite est « croissante »
Le
coefficient directeur « »
est un nombre relatif . c’est le coefficient directeur
de la droite de la fonction ou « pente » .
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La pente
. |
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La pente est un nombre décimal
Calcul de la pente :Nous avons déjà vu ce
type de calcul dans le cours
23/25 niveau V@ .
Se souvenir que calculer la pente
d’une droite c’ est calculer
la tangente d’un angle , angle
formé par cette droite et une autre
droite « parallèle » à l’axe
des « x » appelée aussi « horizontale ».
La tangente d’un angle est égale au rapport de la longueur du coté opposé à l’angle sur la longueur du côté adjacent à
cet angle .
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Pente =
AB / BC = tangente de l’angle C |
Pente
= PA / OA =
tangente de l’angle O |
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Exemple numérique : On doit calculer de la pente de
droite passant par A et B . On vérifie que le repère est orthogonal ( ce sera toujours
le cas en formation niveau V et IV) AC est parallèle à l’axe des « x ». (
appelée : horizontale) BC est parallèle à l’axe des « y » .
( appelée : élévation) Les axes « x » et « y » sont perpendiculaires ,
donc AC et BC sont perpendiculaires , on peut conclure que le segment AB est l’hypoténuse du
triangle rectangle ABC. Calcul : On désigne AC l’ horizontale et BC
l’élévation. BC = 3 et AC = 4
Tangente de l’angle A : La pente de la droite ( notée
« a ») . = 0,75 Conclusion la droite
« affine » est une équation de la forme y = ax + b Dont on connaît la valeur de
« a » = 0,75 |
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