Auteur : WARME R.

 

MATHEMATIQUES :Niveau V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSSIER  n°  11 / 25

 

 

 

Document : ELEVE .

 

EQUATIONS du

 

Premier degré à  une inconnue.

 

RESOUDRE  des  PROBLEMES DU PREMIER DEGRE de la forme :  a x = b ;   a x + b = c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

 

Classe :…………………..

 

Année    scolaire : ………………………                                        

 

Dossier pris le : ……/………/………

 

Validation de la  formation :    O -  N

           

 Le : ……………………………………..

Nom du  formateur  : ……………………

 

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

 

Leçon

Titre

N°11

RESOUDRE  UNE EQUATION  du premier degré à 1 inconnue et PROBLEMES DU PREMIER DEGRE.

 

CHAPITRES

1°)  Résoudre les équations  du premier degré à une inconnue .

Info plus ! ! ! !

2°) Etude des équations de la forme : ax = b et   ax + b = c menant à des problèmes du premier degré.

INFO plus !!!!

3°) Résoudre un  problème mathématique à l'aide d'une équation du premier degré .

INFO 1plus !!!  et INFO plus 2 !!!Problèmes résolus

4° ) ARITHMETIQUE : les partages inégaux .(résolution graphiques de problèmes du premier degré.)

 

 

COURS

 

i19 ;i29   ;i39    

I           Vocabulaire : Equation ; du premier degré ; à une inconnue ; membre ; terme ; facteur .

Info plus ! ! ! !

 

iPré requis  au chapitre 1: revoir  la leçon sur les calculs numériques et algébriques.

 

i9        

I.1.       Définition de « équation » 

:i

Une équation est  une égalité ; elle peut être « numérique » ou « algébrique » . Toutes les équations algébriques sont composées de chiffre (s)  et lettre (s) et au moins une lettre  appelée  « inconnue » .

Une égalité est une équation toujours « vraie ». Ce qu’il y a dans le premier membre est  toujours égal à ce qu’il y a dans le deuxième membre !!!

 

Par définition :    Une équation possédant une inconnue ( "x" généralement ) est une égalité qui n'est pas vraie pour n'importe quelle valeur * donnée à cette inconnue .

 

(* cette valeur , remplaçant « x » dans l’équation doit vérifier « l’identité : égalité vraie »)

 

I.2.     Définition d ’une « équation du premier degré » 

 

Définition :

Une équation du premier degré est une égalité dont la  ou les inconnues sont  de puissance 1.

 

Condition : il ne doit y avoir qu’une inconnue par terme ! ! ! ! cette inconnue se trouvée multipliées  par un nombre  ( 2 x ) , elle  peut se trouver dans plusieurs termes !!! 

 

Exemples :

i On écrit pas la puissance 1

i Les inconnues sont couramment appelées x, y ou z

 
 

    x1 + 3  = 0                 que l’on écrit :            x + 3 = 0   ;

  2x1 + - y1 - 4z1 = 15     que l’on écrit : 2x + - y - 4z = 15  ;

  x1  - y1 = 6z1                que l’on écrit :           x  - y = 6 z   ; 

  2y1  + 5 = 0                 que l’on écrit :         2y  + 5 = 0 ;

 

 

Exemples  d’équations du 1er degré :           à une ou deux ou trois inconnues :

x + 3 = 0 ;   2 x  - y - 4z = 15 ;  x  - y = 6z ;  2y  + 5 = 0

 

i Remarquer et comparer  avec les équations suivantes  qui sont du second degré :

        x ²+ 3 = 0 ;  2y²  + 5 = 0 ;  2x + - y - 4z²  = 15 ;  x² y = 6z   pour qu’une équation soit dit  « du second degré » il suffit qu’une des  inconnues  possède un exposant « ² ». ou qu’un terme contient un produit  de deux inconnues   ( exemple  x y  = 6z )

 

i9  

I.3. Définition de  « équation du premier degré à une inconnue »

:i

 

Condition : il ne doit y avoir qu’une inconnue par terme, l’inconnue est toujours la même ! ! ! !

 

Définition : Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité   dont  un ou plusieurs  termes contient une  seule  et même lettre est dont  l’inconnue est de puissance 1.

 

Exemples :    5x  =  8 ;  - 7 x  =  14 ; x + 3 = 0 ;  2y  + 5 = 0 ;  ;  ;  3x - x =  8   ; 3x - x =  - 7x + 3 ; y +3y = 12  ;…

 

Résumé :

1°)  Définition  d ’ une « équation » algébrique . 

Une équation algébrique possédant une inconnue ( "x" généralement ) est une égalité qui n'est pas vraie pour n'importe quelle valeur donnée à cette inconnue

 

2°) Définition  d ’ une  « équation du premier degré »

Une équation du premier degré possède un ou plusieurs termes contenant une  ou plusieurs inconnues dont la puissance n’ est  pas supérieur à « 1 » .

 

3°) Définition  d ’ une  « équation du premier degré  à une inconnue »:

 Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité   dont  un ou plusieurs  termes contient une  seule  et même lettre  est dont  l’inconnue est de puissance 1 .

 

Remarque :  «  Résoudre une équation » :

Résoudre une équation du premier degré à une inconnue c’est rechercher par transformation et calcul la valeur de l’inconnue qui vérifie l’égalité vraie.

 

 

i9  

I.4. Définition de  «  membre » ; « terme » ; « facteur » .

:i

Ces définitions ont déjà été étudiées ,  lorsque vous entrez en formation , pendant la phase d’homogénéisation !!!!  voir le cours  N°1 sur les égalités.

 

 

iDans une égalité l’expression algébrique à gauche du signe « égal » est appelé « premier membre » .

Dans une égalité l’expression algébrique à droite  du signe « égal » est appelé « deuxième membre » .

 

Dans une  équation  , le signe " = " sépare  les deux "membres".

 

 

 

Exemple :

A gauche de = : le Premier membre                       3 x    =  56                   A droite de =   : le deuxième membre .

 

 

 

Exemple 1 :   Dans l’équation   3 x  =  56   ;  Chaque membre possède un seul  terme . « 3x » et « 56 »

           

Le premier membre est composé d’un seul terme  « 3x » : 3 et  x  sont appelés : « facteur »

Le deuxième membre est un terme : c’est un nombre « 56 ».    (quand le nombre ou lettre est seul , on déclare que ce terme est aussi « facteur » , puisque l’on peut le multiplier par « 1 ». 

 

(exemple : prenons l’écriture suivante   x + 7  = …….. ;     x fois 1 = x    et    7 fois 1 = 7 : donc  les terme « x » et  « 7 » sont aussi « facteurs » parce qu’ils ne sont pas associés à d’autres facteurs autre que « 1 »)

 

Exemple 2 : Etudions  l’équation   3 x + 7  =  - 4 x  + 12  - 3   ,

 

Pour identifier les termes il faut transformer les 2 expressions  en  2 sommes  algébriques.

 

On transforme l’expression   « x + 7 » en « somme » :    (+x) + ( +7)  et  l’expression - 4x  + 12  - 3  en « somme » :   (- 4 x ) + (  + 12) + (  - 3)

 

L’égalité     3 x + 7  =  -4 x  + 12  - 3  devient l’ égalité : (+3 x) + ( +7) = (- 4 x ) + (  + 12) + (  - 3)

           

Le premier membre est composé  de deux  termes  qui sont :    « ( +3x )» et « (+7) » : (« 3 » et « x »  sont appelés : « facteur » )  et  (« +7 » est un « terme » et aussi « facteur »)

 

Le deuxième membre est composé de trois  termes  qui sont :  «  - 4 x » ; « +12 » et « -3 »

 

On retiendra les définitions suivantes :

Définitions

Terme : Un terme est composé de un ou plusieurs facteurs ., il se situe à gauche et ou à droite du signe + dans la somme algébrique.

 

Facteur : Un facteur est un nombre ou une lettre  situé à gauche et à droite du signe ´ . ( on dit qu’un terme est constitué d’un produit de facteurs )

Remarque importante : il faut toujours penser à changer l’expression algébrique en somme algébrique si l’on veut identifier sans peine les termes et les facteurs.

 

+ACTIVITES « recherche de la valeur qui vérifie l’égalité vraie » 

En calcul ,on laisse un « trou » , on demande de trouver le nombre manquant !

En algèbre on remplace le trou par une lettre  « x » ou « y » ou « z »  . Et on demande de remplacer la lettre par le nombre manquant !

 

 

En calcul

En algèbre :

Résultat ( dit aussi « solution »)

Soit l ’ opération

En primaire on pose une opération à trou

En début de collège on pose

Au collège  et au lycée on bouche le trou par une lettre. ( x ou y , z…) On prend généralement  la lettre « x » .

Pour trouver le résultat on devine que le nombre manquant est :

(il faut vérifier ,c’est à dire : mettre en place la valeur manquante , et puis on calcule ensuite on compare le résultat avec ce qui est demandé)

On reconnaît l’addition

 

 

 

 2 + 3 = 5

 2 + …..= 5

2  +   __ = 5

 2 + x = 5

5 - 2 = 3

En calcul : on bouche le trou avec  « 3 » ,

En algèbre :  on écrit  que x = 3 ; On dit : « ixe  vaut  3  »

On reconnaît une soustraction

 

 

 

 7 -  4  =  3

7 -  ……  =  3

7  -  ___ = 3

 7 - x = 3

7 - 3 = 4

En calcul on bouche le trou par « 4 » ,

En algèbre on écrit  que x = 4

 On dit : « ixe  vaut  4  »

7 - 5 = 2

….-  5  =  2

___ -  5 = 2

x - 5 = 2

5 + 2 = 7

En calcul on bouche le trou par « 7 » ,

En algèbre on écrit  que x = 7 On dit : « ixe  vaut  7  »

On reconnaît la multiplication

 

: niveau +++ Equation produit. et  « résoudre »  dit aussi « équation produit »

3 ´ 6 = 18

3 ´ ….. = 18

3 ´ ____ = 18

3 x = 18

18 ¸ 3 = 6

En calcul : on bouche le trou par « 6 » ,

En algèbre :  on écrit  que x = 6

On dit : « ixe  vaut  6  »

6 ´ 4 = 24

….. ´ 4 = 24

___ ´ 4 = 24

x ´ 4   = 24

ou   4x = 24

24¸4 = 6

En calcul : on bouche le trou par « 6 » ,

En algèbre :  on écrit  que x = 6

On dit : « ixe  vaut  6  »

On reconnaît la division .

 

 

 

16 ¸  2 = 8

16 ¸  …. = 8

16 ¸  ___ = 8

16 ¸  x = 8

16 ¸8 =_2

En calcul : on bouche le trou par « 2 » ,

En algèbre :  on écrit  que x = 2

On dit : « ixe  vaut  2  »

14 ¸  2 = 7

…..¸ 2  = 7

____¸ 2 = 7

x ¸ 2 = 7

2 ´ 7 = 14

En calcul : on bouche le trou par « 14 » ,

En algèbre :  on écrit  que x = 14

On dit : « ixe  vaut  14  »

 

C’est ainsi que l’on cherche à résoudre ; par  exemple :    2 x = 7    ; 2 + x = 7   ; x - 2 = 7  ; x ¸ 2= 7    ;  2 - x = 7    ; ……

 

i9  

II. Résoudre les principaux types  d'équations  du premier degré à une  inconnue.

Info plus ! ! ! !

 

Définition :   « Résoudre une équation du premier degré à une inconnue » c'est  rechercher après transformation et calcul une valeur de "x" qui vérifie que l'égalité  numérique est "vraie".

 

Il  faut donc "vérifier" si la valeur proposée convient : pour cela on remplace « x » par la valeur proposée et l’on effectue un calcul ,si  l’égalité est vraie ,la valeur de "x" proposée  , est validée. .

 

 

Toutes les résolutions  se ramènent , toujours après transformation , et calculs successifs au modèle  " x = ……….."

 

On peut recenser 11 exercices types à savoir résoudre . 

 

le premier exercice type  est évident et il ne fait pas l'objet d'une étude particulière .( le 1 est élément neutre de la multiplication)

 

Exemples d’équations

Modèles types

La solution  est

Résolution de l’exemple :

Pré requis :  la multiplication

 

 

1  x   =  7

a  x  = b

donc    x =  b /a  ou

x =      x = 7

5  x  = 45

a  x  = b

ou

x a  = b

donc    x =  b /a   ou

x =  ;  x = 9

Pré requis :  l ’ addition

 

 

5+ x = 45

a + x = b

ou

x + a = b

Donc    x =  b - a

x =  45 - 5

x = 40

Pré requis :  la soustraction

 

 

 

5 - x = 45

a - x = b

Si  b > a   impossible

Voir les nombres relatifs.

 

8  - x =  6

a - x = b

Si   a  <  b

On devine que x = 2

 

x - 5 = 45

x – a  = b

donc x  = b + a

x =  5 + 45 ; x = 50

 

Pré requis :  le produit en croix

 

 

=

=

c x  = (b a)

Donc    x = (b a) /c

2 x = 5´ 6

2x = 30 ; x =  15

 

=

=

donc   x  = a c / b

2 ´ 5 =  6 ´ x

10     = 6 x

x =  10 / 6

 

=

=

donc  x  = b a /c

5´ 6  =  2x

30 = 2 x

x = 15

 

=

=

donc x  = c a /b

6 x = 2 ´ 5

6x =  10

x = ( 10 / 6 )

 

Pré requis :  transformer pour se ramener au  produit en croix

 

 

= 8

= b

donc x  = b a

 =  ;  x ´1 = 5 ´ 8 ; x = 40

=2

=b

donc x  = a/b

=  ; 1 ´ 5 = x ´ 2 ;5 = 2x ;  x = ( 5 : 2) ; x = 2,5

 

Ces 11 exercices   sont traités  successivement  à la  suite  de ce chapitre .

 

Lorsque l’on a trouvé un nombre  pour « x » qui peut être la solution de l’égalité ; il faut vérifier si l’égalité est vraie . Pour cela il suffit  tout simplement de remplacer « x » de l’équation par le nombre trouvé est de faire le calcul .La conclusion s’impose d’elle même :

-          si  la valeur donnée à « x » vérifie l’égalité vraie «la solution est la valeur trouvée »

-          si la valeur donnée à « x » ne vérifie pas l’égalité vraie , la procédure pour trouvé le nombre est fausse , il y a erreur , il faut recommencer .

exemple :

 on donne =2 ; on transforme et calcul  tel que   =  ;    donc : 1 ´ 5 = x ´ 2 ;

  

donc  5 = 2x ; on transforme   x = ( 5 : 2) ; on trouve   x = 2,5

 

vérification :  = ?       si « x » = 2,5 ;      on remplace  = ? ; on trouve « 2 »

ainsi :  = 2 ; et =2     ; donc « x » = « 2 » est solution de l’équation.

 

remarque cette démarche paraît longue ; mais il faut  toujours vérifier avant d’annoncer un résultat .

 

@)Pré requis  : les égalités (Théorèmes ).

 

i9

II.1. Exemples  de résolutions  types 

:i

 

Equation type N°1

a  x  = b

Solution :  x =

 

SOS cours

Exemple : 5  x  = 45

                   5 x  = 45  ;

on divise les deux membres par 5 :

 = ;

x  = 

 

x  = 9

vérification :

5  x =  45

avec  x = 9

 

5  9 = 45

 

Equation type N°2

a + x = b     ou     x + a = b

Solution :

x =  b -a

SOS cours

Exemple : 5+ x = 45

5+ x = 45

on soustrait aux deux membres de l'égalité .on dit aussi:on ajoute l'opposé de "5"  ( - 5) aux deux membres de l'égalité

5 + x + ( -5) = 45 + ( -5)

 0 + x = 45 -5

       x = 40

Vérification :

5        + x =  45

avec " x = 40 "

5 + 40 = 45

45 = 45

"40" est solution.

 

Equation type N°3

x – a  = b

Solution :

x  = b +  a

SOS cours

Exemple : x - 5 = 45

 x - 5 = 45

on ajoute  + 5 dans chaque membre; on dit aussi que l'on ajoute l'opposé de (-5) soit ( +5).

  x - 5 + 5  = 45 +5

   x  + 0     =  50

            x   = 50

 

Vérification :

  x -  5  =  45

pour "x" = 50

50 - 5   = 45

"50" est solution.

 

Equation type N°4 ( cas particulier)

    a - x   = b ,    avec   b > a

( cette résolution d'équation n’est possible qu’avec les nombres relatifs )

Solution:

a  - b = x

ou  x = a - b

SOS cours

Exemple :   5 - x   = 45

5 - x  = 45

remarque : il faut changer le (- x) en (+ x) ; pour cela on ajoute  ( + x) au deux membres de l'égalité;

5 - x + x = 45  + x

5          + 0  =  45 + x

   ensuite on ajoute ( -45)  ou on soustrait - 45  au deux membres de l'égalité . 5 ce qui revient au même!

  5 + ( -45 )  =  45  -45 + x

 5 + ( - 45 ) = 0 + x

on calcule:  (voir le cours sur l' addition de deux nombres relatifs de nombres de signe contraire)

( +5 )  + ( -45) =  x

( +5 )  + ( - 45 ) =    x   ;

 [ -  ( 45 - 5 ) ]  =      x 

      (  - 40 )        =   x   ;

on peut écrire aussi      x =  ( - 40)

Vérification :

5 - x = 45

5 - ( - 40 ) =? =  45

voir le cours : sur la transformation de  la soustraction en addition.

 

 

5 + ( +40) = 45

 

ainsi x = "-40 " est solution.

Cas des équations de deux fractions formant une proportion.

 

Equation type N°5

=

 

Solution :

donc x  = (b a)  /c

SOS cours

Exemple : =

 =

on effectue le produit en croix;

2x  = 56

2x = 30  

voir l'équation 1;

x  = 

x  = 15

Vérification :

  =

pour "x" = 15

 = 3  et  = 3 ;

"15" est solution.

Deuxième vérification On aurait pu faire le produit en croix:

15 fois 2 = 5 fois 6

  30  =  30

 

Equation type N°6

=

Solution :

donc x  = a c / b

SOS cours

Exemple : =

 =

on effectue le produit en croix;

52  = 6 x

10  = 6x   ; ou   6x = 10  

voir l'équation 1;

x  =   ;

soit sous forme rationnelle   ou forme décimale arrondit ( au 0,01)

x  = 1,67

( voir le cours expression d'un résultat d'une fraction)  et "arrondir"

Vérification :

  Voir leçon : "division d'un nombre par une fraction ."

1er calcul :

= = =

 

 = 3

2ème calcul : =3

donc  solution x =  ou

 

Equation type N°7

=

Solution :

donc x  = b a /c

SOS cours

Exemple : =

 

Cette fois encore on se ramène au type d'équation 1 .

 =

on effectue le produit en croix;

65  = 2 x

30  = 2x   ; ou   2x = 30  

voir l'équation 1;

x  =  15

Vérification :

  voir l'équation 1;

 

 

Equation type N°8

=

Solution :

donc x  = c a /b

SOS cours

Exemple : =

 

Cette fois encore on se ramène au type d'équation 1 .

 =

on effectue le produit en croix;

6x   = 25   ou  6 x = 10

voir l'équation 1;

x  =   ( pour l'expression du résultat possible voir "équation 6"

Vérification :

  voir l'équation 1;

 

Les équations dérivées des "proportions" sont de la forme    = b        et        =b.

On doit se rappeler que b est  égale à la fraction  , ce qui a pour avantage de transformer  les deux cas  particuliers :

= b  devient  =     et   =b   devient  =

 

Equation type N°9

= b    ou  b = 

Solution :

donc x  = b a ou x = ab

SOS cours

Exemple : = 8

 

Ou  8 =

 

 

 = 8                                   

on transforme :

on effectue le produit en croix;

1  x   = 58

 et l'on calcule :

          x = 40

Vérification :

 40 / 5=  ?

voir table des divisions :

 


 

Equation type N°10

= b    ou  b =

Solution :

      donc x  = a/b

SOS cours

Exemple : =2

 

Ou  2 =

 

 

 =  2

on transforme :

on effectue le produit en croix;

5  1   = 2x

et l'on calcule :

5  =  2 x

ou  2 x =  5

voir l'équation 1;

   soit x = 2,5

Vérification :

  5  :  2,5  = ?

voir "division décimale" :

 

on trouve 5/ 2,5 = 2

donc "x = 2,5" est solution  de l'équation.

 

III. Etudes particulières sur les équations du type :     a x = b  et      a x+ b = c

INFO plus sur la résolution de problèmes!!!!

 

Nous nous intéressons , plus précisément ,aux deux types d'équations :

 ax = b   et ax + b = c  qui sont les formes des équations représentant la fonction linéaire ( y = ax)  et la fonction dite affine  ( y = ax +b)

INFO ++ : sur les proportionnalités.  

III.1. équations du type   a x  = b

:i

Exemple :  Considérons l'équation  40  x =  360

 on en déduit  que                    x = 9

La solution de l'équation  est le nombre :  9

 

Résolution de l’équation du type :  a x = b

L'équation du type  a x = b  

( "a" et "b" sont des nombres décimaux  et "a" ¹ 0) admet une solution unique  x =

Cette solution est obtenue par une seule opération :

On divise  les deux membres de l'égalité par le même nombre "a" .


 

Exemple de problème traité de la forme ax+ b :

Vous pouvez trouver des exemples de la vie courante !

 

On achète 3 sachets de friandises   pour la somme totale de 37,50 €. Quel est le prix d'un  sachet de friandise  ?

On pose "x" le prix d'un  sachet de friandise  .

Cela nous donne l'équation  3 x = 37,50

On divise les deux membres par "3":    =

  D'où   x  =  12,50

 

Conclusion : le prix d'un kilogramme de fruit  est de  12,50 €

 

i9  

III.2. résolution de l ’ équation du type :                   a x + b = c  

:i

 

Avec b > 0

 

Considérons l'équation  40  x  +  80 =  360

 

Solution :

On ajoute   " - 80"   l'opposé de  +80   dans les deux membres

40     x  +  80 - 80  =  360  - 80

On effectue les calculs :

 40 x  + 0 = 280   soit  40 x  = 280

On divise les deux membres par 40  :  

Soit  x = 7

La solution de l'équation  est le nombre :  7

 

Avec b < 0

 

Considérons l'équation  40  x  -   80 =  360

 

Solution :

On ajoute   "  + 80"  , qui est  l'opposé de  - 80   ,dans les deux membres

41     x  -  80 + 80  =  360  + 80

On effectue les calculs :

 40 x  + 0 = 440   soit  40 x  = 440

On divise les deux membres par 40  :  

Soit  x = 11

La solution de l'équation  est le nombre :  11

 


Résolution de l’équation de la forme :   a x+ b = c

L'équation du type  a x+ b = c

   "a" , "b" et "c"  sont des nombres décimaux  et "a" ¹ 0) admet une solution unique   

Cette solution est obtenue par deux  opérations :

a) On ajoute aux deux membres l'opposé de "b" . ( on dit que si "b" change de membre il change de signe )

b) on divise  les deux membres de l'égalité par le même nombre "a" .

 

 

Exemple de problème de la forme   ax +  b = c

 

On achète 3 kilogrammes de fruit , je donne  un  billet de 5 € , la caissière me rend 0,2 € .Quel est le prix d' un kilogramme de fruit ?

 

On pose "x" le prix du kilogramme de fruit.

Cela nous donne l'équation  3 x  + 0,2  =  5 

On joute  "- 0,2" dans chaque membre :

3 x  + 0,2  - 0,2  =  5  - 0,2

3 x = 4,8

 

 

On divise les deux membres par "3":    =

  D'où   x  =  1, 60

Conclusion : le prix d'un kilogramme de fruit  est de  1, 60 €

 

i9  

IV.  Résoudre un  problème mathématique à l'aide d'une équation du premier degré .

:i

 

Un problème posé par une situation, notamment commerciale ou professionnelle, peut se traduire par une équation .

 

Procédure de résolution d’un problème 

Choix de la ou des inconnues :   recherche de l'inconnue :  après avoir lu et analysé l'énoncé  , choisir une inconnue.

 

· Mise en équation : établir l' équation traduisant la situation étudiée .

 

¸ Résolution de équation , ou d’un système d’équations du premier degré à 1 ou 2 inconnues .

 

¹ Discussion du problème  :  énoncer le résultat en rédigeant  une phrase et vérifier si ce résultat est conforme au problème posé. 

 

Exemples d’exercices résolus

 

Enoncé n°1

Solution

 Un rectangle a les caractéristiques suivantes :

Son périmètre  mesure   80 m ; sa longueur est le triple de sa largeur .

Calculer  sa longueur et sa largeur .

 

Solution :

Nommons "x" la largeur du rectangle .  l = x

 

· En fonction de "x" : la longueur du rectangle est   L = 3x

le demi - périmètre est :   L + l  =    x +  3x  =  x ( 1 + 3) =  4 x

le périmètre est =  2 fois le demi - périmètre :  P = 2 ( 4x) = 8x

 

¸ Equation à résoudre : 80 = 8 x   ( on divise par 8 les deux membres)

on obtient  x = 10

la largeur du rectangle est de 10 m ; la longueur du rectangle est de 3 fois 10 m soit 30 m.

 

¹ Vérification : P rectangle = 2 ( L + l )

                                         =  2 ( 30 + 10 ) = 2 ( 40) = 80

 

 

Enoncé n°2

Solution

Trouver 3 nombres entiers pairs consécutifs dont la somme est égale à 36 . Donner la valeur du premier nombre.

 

Solution :

On choisi "x" le premier nombre .

· Les deux autres nombres sont  "x + 2"  et " (x+2) + 2 = x +4"

l'énoncer se traduit par l'équation : x +  (x+2)  + (x +4) = 36

soit  x + x +x +2 + 4 = 36   ;   3x + 6 = 36

¸ Résolution  de l'équation :

  3x + 6 = 36     ; ( on ajoute -6 aux deux membres)

  3x + 6  - 6  =   36 - 6  ;

  3x = 30    ( on divise les deux membres par 3)

   x = 10

¹ Conclusion : le premier nombre pair est " 10"

le deuxième nombre est 10 + 2  soit 12 ; le troisième nombre est 12 + 2 = 14

vérification :  10 + 12 + 14 est bien égal à 36 ; donc les trois nombres entiers pairs consécutifs sont  10 ; 12 ; 14 .

 

 


 

Enoncé n°3

Solution

Une ouvrière met 15 minutes pour usiner  une pièce , pour aménager et préparer le poste de travail il faut prévoir 3h 45 mn. Combien de pièces peut-il usiner  sur une semaine de 35 heures ?

Prendre "x" le nombre de pièces.( transformer la durée en nombre décimal)

 

Solution 

L'inconnue est le nombre de pièces usinées.

 

· On met le temps sous forme décimale : 15 mn = 0, 25 h : 3h 45 = 3, 75 h; 35 h ne change pas = 35 h

Mise en équation : 0,25 x  + 3,75 = 35

 

¸ Résolution de l'équation :

0,25 x  + 3,75 = 35

0,25 x    = 35  - 3,75   ( un terme change de membre  il change de signe )

0,25 x = 31,25      ( on divise 31,25 par 0,25 )

 

 x  =

 

  x = 125

 

¹ Le nombre de pièces usiner en une semaine sera de 125 pièces

 

Les travaux suivants peuvent aider à la compréhension .

ARITHMETIQUE :                 Résolution graphique d’un problème du premier degré :

Série 1 :   Partage inégal dont une part est multiple d’une autre

 

Problème. Deux  personnes   se partagent une caisse de 4,8 kg de poisson. L’une, dont la famille est nombreuse, en prend le triple de l’autre. Quelle  est la masse  de chaque lot ?

Ci dessous : on  dessine la représentation graphique du partage .

Le graphique montre que la caisse est partagée en 4 parts égales Une personne  en prend une (1er  lot); l’autre en prend 3 (2ème lot) :

Une part pèse 4,8 kg : 4   =    1,2 kg; c’est le 1er  lot

                          Le 2ème lot est triple du 1er        1,2 kg x 3 = 3,6 kg

Vérifions ce que dit l’énoncé :

1°) le 2ème  lot est-il le triple du 1er  ?          oui        (3,6 kg =  1,2 kg   fois 3)

2°)  les 2 lots pèsent-ils ensemble 4,8 kg ? oui      (1,2 +  3,6  = 4,8)

Pour chaque problème de partage :

1°) traduisez l’énoncé par un  graphique complet;

 2 °)  vérifiez vos réponses.

CALCULS :

1.  Un costume coûte 432 € . Le prix de la veste est le double du prix du pantalon. Quel est le prix de la veste ? le prix du pantalon?

 

2.   Une oie et un poulet pèsent ensemble 6,5 kg. Le poids de l’oie est égal à 4 fois le poids du poulet. Combien pèse chacune des deux volailles ?

 

3.    Un champ rectangu1airQ~ mesure 168  m  de périmètre et sa longueur est triple de sa largeur. Quelles sont ses dimensions ?

 

4.   Deux coupons d’étoffe valant 12,50 €  le mètre mesurent ensemble 27 m. La longueur de l’un est double de celle de l’autre. Quelle est la valeur de chaque coupon?

 

5.    Une maison vaut 5 fois le prix d’un champ; ensemble, ils valent 7 722 € . Voici la solution d’un élève, pour calculer la valeur du champ, puis de la maison:

7722 €  :5  = 1544,4 € ;      7722 €   —1544,4 €  =  6177,6 € . Quelle est son erreur ? Quelle vérification devrait la révéler ? Écrivez la solution correcte.

 

6.   Un cinéma compte 354 places : places de parterre à 2,8 €  la place et places de balcon à 3,2 € . Le nombre des places de parterre est double du nombre des places de balcon. Quel est le montant de la recette quand toutes les places sont occupées?

 

 

7.  Le produit de leur pêche est ainsi partagé entre les membres de l’équipage d’un bateau : le mousse a une part, chacun des deux matelots 2 parts, le patron 5 parts. Combien chacun a-t-il touché le jour où le bateau est rentré avec 820 kg de poisson qui fut vendu à 1,35 €  le kg?

 

8. Caroline, Claire  et Gabriel héritent de leur oncle une somme de 950,4 € . La part de Caroline est triple de celle de Claire  qui est elle-même la moitié de celle de Gabriel. Quelle est la part de chacun ?

 

 SERIE 2   :   Partage  inégal dont  la Somme et  différence  sont  connues

 

Problème. Julien et  Francine  partagent 23 caramels, et Francine  en reçoit 5 de plus que Julien .  Quelle est la part de chacun ?

 

Graphique      n°1 : il montre que  : Somme  -  différence = le double de la petite  part .

la part de Julien (23 — 5 ) 2 = 9   ;  la part de Francine  9  + 5 =  14                    

                      Vérification              9 + 14   =      23               

Graphique n°2 , il montre que  : Somme + différence = le double de la grande part .

Explications : 

La  part de Francine ( 23+  5 ) :2= 14 ;     la   part de Julien            14— 5   =  9

Vérification      : 14 + 9  =    23

 

CALCULS :

 

1.   Papa et Maman ont ensemble 57 ans. Maman a 5 ans de moins que Papa. Quel est leur âge? Comment se posera ce problème dans 8 ans ?

 

2. Calculez deux nombres dont la somme est 120, la différence 36. Vérifiez votre réponse en partageant un segment de 120 mm  en 2 segments dont l’un mesurera 36  mm  de plus que l’autre.

 

3.    Dessinez autant que vous voulez de rectangles différents ayant pour côtés un nombre entier de cm, et 16 cm de périmètre. Quel est celui qui a une longueur dépassant la largeur de 4 cm ? Y en a-t-il d’autres ?

 

4.   On demande de partager 240 €  entre Annie et Sylvie, de façon que Sylvie ait 30 €  de moins qu’Annie. Voici les réponses de trois élèves

             1° Annie 150 €                      Annie 150 €                    Annie 135.€

                 Sylvie 120 €                         Sylvie 90 €                          Sylvie 105 

 

Quelles vérifications prouvent que deux solutions sont fausses ?

Où est la bonne ?

 Comment l’élève a-t-il compté ?

 

5.      L’épicier a acheté pour 35,70 €  deux caisses de pommes dont l’une pèse 6 kg de plus que l’autre. Les pommes valant 85 c le kg, calculez la masse , puis le prix de chaque cageot.

 

  6.  il a fallu 632 m de fil de fer pour entourer d’un double rang un terrain rectangulaire dont la longueur dépasse la largeur de 29 m . Quelles sont les dimensions du terrain?

 

7. Marine et Michelle ont ensemble 84 € . Si Marine  donne 8 €  à Michelle, elles auront autant l’une que l’autre. Combien chacune a-t-elle?

 

8.  Deux péniches livrent ensemble 382 t de charbon à une usine à gaz. Quand on a déchargé 29 t de l’une et 48 t de l’autre, elles contiennent la  même masse  de charbon. Quelles questions posez-vous ? Répondez-y.

 

9.    Un terrain à bâtir de 845 m²   est partagé en deux parcelles inégales, dont l’une mesure  75 m ²  de plus que l’autre,

  a) Quelle est la surface de chaque parcelle ?

b) La diffé­rence de prix des deux parcelles est 1 350 € . Quelle est la valeur de chaque parcelle?

 

 

 

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