Devoir  (ici ) pré requis

 

 

Pré requis :

 

Algèbre : nomenclature , conventions

3D Diamond

 

 

 

 

 

et  les  4 opérations dans N

 

 

 

Addition

multiplication

soustraction

division

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index  warmaths

Objectif précédent   Sphère metallique

Objectif suivant Sphère metallique

 Suite : calcul algébrique : résoudre  avec des nombres relatifs.

 

 

 

 

DOSSIER: Calcul algébrique de degré 1 (avec les nombres entiers naturels)

 

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité

                        Boule verte

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation  Boule verte

 

On dit aussi :    Résoudre dans N :

4³iSOS COURS

 

 

COURS :

 

              Cas général :

 

 

                 "" et "" sont des nombres entiers ;

                 "" l'inconnue ;

                 "*"   (l'étoile) représente les signes opératoires :

                                        "multiplié", "diviser" , "additionner", "soustraire" .

 

3 cas:

 

Lire :

 

 

 

 

 

L'inconnue "" est associée à un nombre

L'inconnue "" est associée à un nombre

L'inconnue "" est le résultat final d'une opération effectuée  entre deux nombres ,(cas du calcul numérique)

 

 

Approche théorique:

I cas : Soit deux nombres séparés par un signe opératoire:

 

Ces modèles sont rencontrés en Calcul Numérique :

"a" et "b" sont des nombres entiers

L ' équation est toujours de la forme "x"=…..

Il suffit de faire le calcul ! ! ! !: (avec ou sans calculatrice)

 

addition

multiplication

soustraction

Division ou fraction

Fraction ou division

 

=

=

SOS cours

SOS cours

SOS cours

SOS cours

SOS cours

 

 

 

 

 

Exemple :

Exemple :

Exemple :

Exemple :

Exemple :

=

 

 

Cas II :

Modèles :

calcul algébrique

 " et "" sont des nombres entiers

Problème à résoudre: L ' équation  doit  toujours  se ramener sous la forme ""=….. Pour trouver la valeur de ""

 

Problème à résoudre: L ' équation  doit  toujours  se ramener sous la forme " 

La transformation de l’égalité permettra de  trouver la valeur de "x" qui vérifie que l’égalité est vraie .

 

Modèle 1

Modèle  2

Modèle 3

Modèle 5

Modèle 6

 

 

 

 

 

ou   ax  = b

Idem : modèle 1

Idem : modèle2

Modèle 4

 

 

 

 

 

                  Il faut donc " Résoudre" : résoudre c'est rechercher la valeur  numérique d ' une lettre  (dite inconnue : x ) telle que  cette valeur vérifie l' égalité "vraie".

 


 

Approche numérique  ( applications) :

 

Modèles Calcul Numérique :

"a" et "b" sont des nombres entiers

L ' équation est toujours de la forme "x"=…..

 

 

 

conclusions

 

 

 

 

4 - 7 est impossible, les N sont toujours "positifs"

Pas de solution puisque  

n 'est pas un entier

Idem que précédemment

Il faut faire la division euclidienne ,le quotient doit être exacte.

 

Modèles calcul algébrique

"a" et "b" sont des nombres entiers

L ' équation  doit  toujours  se ramener sous la forme "x"=…..

 Pour trouver la valeur de "x" De façon déductive, il faut se poser la question :quel peut être le nombre qui associé à « x » séparé par le signe  opératoire …………….donne …………

Exemple 1

Exemple 2

Exemple 3

Exemple 4

Exemple 5

Ainsi :

Ainsi :

Ainsi :

Ainsi :

Ainsi :

Quel est le nombre qui "ajouté" à "7" donne  11?

Réponse:4

Parce que 7+4 = 11

 

Quel est le nombre qui "multiplié" à "7" donne…28.?

Réponse:4

Parce que 74  =28

Quel est le nombre qui "soustrait" à "7" donne…3.?

Réponse:4

Parce que 7-4 = 3

Quel est le nombre qui "associé" à "x" donne……..?

Réponse : 12  parce que 4fois 3 = 12 ; donc 12 divisé par 3 = 12

Quel est le nombre qui "associé" à "x" donne……..?

Réponse : 7  parce que 7fois 4 = 28 ; donc 28 divisé par 7 = 4

Conclusion: x = 4

Conclusion: x = 4

Conclusion: x = 4

Conclusion :

x = 12

Conclusion :

x = 4

 

Comment doit s 'effectuer cette recherche  de la valeur de « x »? :  il y a deux méthodes : déductive ou par transformation menant à une opération du  style  x= .a. ..?…b

 

I ) Première méthode De façon déductive:

On affecte une valeur numérique à "x" ; on effectue le calcul ;on vérifie si l ' égalité est "vraie"

. On affecte une seconde valeur numérique à "x" ; on effectue le calcul ;on vérifie si l ' égalité est "vraie". Ainsi de suite , par approche successive .(méthode d'encadrement ) .

 

II ) Deuxième méthode  en appliquant les théorèmes sur les égalités (niveau ++ )

procédure:

transformer les deux membres en somme algébrique  .

SOS cours

Isoler le terme  en "x" ; pour cela appliquer l ' un des 4 théorèmes

SOS cours

 

 

Exemple:

4 + x  = 7

Première méthode: on attribue  à "x" une valeur au hasard .(par  encadrement )

 

1 essai : On donne à x  la valeur "2" (c'est un exemple)  

 

On remplace dans l 'égalité "x" par la valeur choisie   4 +2 ,et l ' on calcule =6

 

On compare les  deux membres

Le  premier membre  vaut "6" , le deuxième membre vaut "7" .

 

Première conclusion : les deux membres ne sont pas égaux ; alors on dit que "2"  n 'est pas solution de l ' équation.

 

Il faut  attribuer à "x"  une autre valeur ; essayer de nouveau  ; vérifier est conclure

 

La solution est 3;

 

 

Deuxième méthode: on applique les théorèmes des égalités: "transformations"

 

 

Cette méthode exige une grande quantité de connaissances qui ne seront acquises qu ' a la fin du calcul numérique.

 

Exemple :  4 + x  = 7

 

(+4) + x = (+7)

Transformer l’expression en somme

 

(+4) + x + (-4) = (+7) + (-4)

Ajouter (-4) pour neutraliser le (+4)

 

 x + ( + (4-4) ) = (+7) + (-4)

Faire la somme des nombres (+4) et (–4)

 

x + ( + (0) ) = (+7) + (-4)

Valeur absolue = 0

 

x + ( + 0 ) = (+7) + (-4)

Supprimer les parenthèses de la valeur absolue

 

x + 0  = (+7) + (-4)

Simplifier l’écriture (-0) par « 0 »

 

x = (+ ( 7-4))

Faire la somme des nombres du deuxième membre

 

x = (+ ( 3))

Résultat

 

 En simplifiant     x =3

Rendre compte

 

Faire la vérification :

Est ce que : 4 +3 est égal à « 7 »

Evidemment que « oui » donc la solution x =3 est vraie

 

 

Représentation graphique de la solution :

Pré requis

Point

3D Diamond

Axe gradué

3D Diamond

La représentation graphique de la « solution » est un point situé sur un axe gradué  ( abscisse d’un point)

 

 

 


 

 

 

Travaux auto formatifs :

 

 

CONTROLE

1.    Que signifie "résoudre"?

2.    Que signifie "résoudre" dans N ?,

3.    Donner  deux méthodes permettant de trouver la valeur numérique qui vérifie l 'égalité "vraie".

 

EVALUATION

 

Résoudre dans N : ( justifier votre réponse)

 

7+ x = 11

7x  =28

7 -x = 3

= 3

= 4

7+ x = 3

7x  =19

7 -x = 5

= 9

= 2

 

 

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