Pré requis:

  1. Calcul algébrique de degré 1 , avec des nombres entiers

 

  1. Calcul algébrique de degré 2, avec des nombres décimaux positifs

 

  1. les 4 opérations avec les décimaux relatifs ;résumé cours :

 

DOSSIER:      Calcul algébrique « basiques » sur comment :

Résoudre des équuations algébriques avec  des nombres  Décimaux  relatifs  (dit : nombres algébriques)                               

Environnement du dossier:

Index : warmaths

Dossier : CN 60

 

 

On donne une équation est donnée : 

 

On demande de résoudre l’équation du type  :                                 a  *   x  =  b

L’astérisque est un signe opératoire qui peut être celui de : (  la multiplication , addition , soustraction , division…)

   a et b sont des nombres décimaux relatifs  et  l' étoile peut représenter l’un des 4 signes des opérations de base ( addition ;soustraction ; multiplication; division )

 

Approches théoriques:

 

1° )   "a" et "b" sont des nombres décimaux relatifs

2°  )    L ' équation est toujours de la forme "x"=…..

 

Les modèles en  Calcul Numérique :  (en calcul numérique on pose x =….  )

 

Présentation de l’égalité :Par « habitude » ; on met  à gauche du signe égal les nombres séparés par un signe opératoire , de l’autre côté du signe égal il y a le « x » ; qui sera  le résultat du calcul

 

Modèle type n°1

Modèle type n°2

Modèle type n°3

Modèle type n°4

Modèle type n°5

 

a  + b = x

 

a b  = x

a -b = x

= x

=  x

 

 

Modèles des équations du premier degré types à résoudre en  « algèbre  »

 

"a" et "b" sont des nombres décimaux relatifs, et la lettre « x »  est un nombre à découvrir …

On pose  :« x » est une lettre qui  correspondra à une valeur numérique , il faut transformer l’égalité  pour que celle-ci soit une  équation  a forme "x"=….. ;

pour transformer cette égalité il faut respecter les règles de calcul vues en « calcul numérique » ; « appelées : théorèmes»

 Pour trouver la valeur de "x"

a  + x = b

a    x  =b

a -x = b

=b

= b

 

Aucun calcul n’est possible ; ce que l’on peut chercher c’est  trouver un nombre remplaçant « x » et vérifiant que l’égalité est une égalité « vraie » ; on  cherche à résoudre un problème :

Exemples :

1°)  Quelle est la valeur que l’on pourrait donner à « x » pour que «3 + x = 5 »  ?

 Réponse : il n’y a pas d’autres solutions que de connaître la table des additions :

On sait que  3 + 2 = 5 ; donc 5-3 = 2 ; ainsi  pour que  3 + x  donne  = 5  , la valeur de « x » sera égale à 2 .

2°)  Quelle est la valeur que l’on pourrait donner à « x » pour que «8 - x = 5 »  ?

 Réponse : il n’y a pas d’autres solutions que de connaître la table des soustractions :

On sait que  8 – 3  = 5 ; donc 5  + 3 = 8 ; ainsi  pour que  8 -  x  donne  = 5  , la valeur de « x » sera égale à 3 .

)Quelle est la valeur que l’on pourrait donner à « x » pour que «3 fois  x = 15 »  ?

 Réponse : il n’y a pas d’autres solutions que de connaître la table des divisions :

On sait que  3 fois 5 = 15 ; donc 5-3 = 2 ; ainsi  pour que  3 + x  donne  = 5  , la valeur de « x » sera égale à 2 .

)Quelle est la valeur que l’on pourrait donner à « x » pour que «3 + x = 5 »  ?

 Réponse : il n’y a pas d’autres solutions que de connaître la table des additions :

On sait que  3 + 2 = 5 ; donc 5-3 = 2 ; ainsi  pour que  3 + x  donne  = 5  , la valeur de « x » sera égale à 2 .

 

« Résoudre » : résoudre c'est rechercher la valeur  numérique d ' une lettre  (dite inconnue : x ) tel que  cette valeur vérifie l' égalité "vraie".

Dans D +ou -

4 cas pour l ' addition

 

Solution :

(+7)+(+ 4) = x

 

X = (+11)

(+7)+(- 4) = x

 

X = (+3)

(-7)+(- 4) = x

 

X = (-11)

(-7)+(+ 4) = x

 

X=(-3)

 

4 cas pour la multiplication

 

 

(+7)(+4)  = x

 

X=(+28)

(+7)(-4)  = x

 

X=(-28)

(-7)(-4)  = x

 

X = (+28)

(-7)(+4)  = x

 

X=(-28)

 

4 cas pour la soustraction

transformation

 

(+7)-(+ 4) = x

(+7)+ (- 4) =  x

X =(+3)

(+7)-(- 4) = x

(+7)+(+ 4) = x

X =(+11)

(-7)-(- 4) = x

(-7)+(+ 4) = x

X = (-3)

(-7)-(+ 4) = x

(-7)+(- 4) = x

X = (-11)

 

4 cas pour la division

 

 

= x;

 

X= (+1,75)

= x

 

 

X= (-1,75)

= x

 

 

X= (+1,75)

= x

 

 

X= (-1,75)

 

idem

« x » = n’a pas d’existence décimale.

( la division ne tombe pas juste ;si l’on veut un nombre décimal il faudra donner une valeur arrondie ) ; on se contente de donner le signe du résultat.

= x;

 

 +

= x

 

 

  -

= x

 

 

 +

= x

 

 

 -

 

 

 

 

APPROCHE ALGEBRIQUE :

 

L ' équation  doit  toujours  se ramener sous la forme "x"=…..

 

Comment doit s 'effectuer cette recherche ? :

 

I ) Première méthode De façon déductive:

On affecte une valeur numérique à "x" ; on effectue le calcul ;on vérifie si l ' égalité est "vraie"

.

II ) Deuxième méthode  en appliquant les théorèmes sur les égalités (niveau ++ )

procédure:

transformer les deux membres en somme algébrique  .  SOS cours

Isoler le terme  en "x" ; pour cela appliquer l ' un des 4 théorèmes

exemple

 

4 + x  = 7

Première méthode: on attribue  à "x" une valeur au hasard .

Deuxième méthode: on applique les théorèmes des égalités:

1 essai : On donne à x  la valeur "2" (c'est un exemple)  

Cette méthode exige une grande quantité de connaissances qui ne seront acquises qu ' a la fin du calcul numérique.

On remplace dans l 'égalité "" par la valeur choisie   4 +2 ,et l ' on calcule = 6

 

 

On compare les  deux membres

Le  premier membre  vaut "6" , le deuxième membre vaut "7" .

 

 

 

Première conclusion : les deux membres ne sont pas égaux ; alors on dit que "2"  n 'est pas solution de l ' équation.

 

 

 

Il faut  attribuer à ""  une autre valeur ; essayer de nouveau  ; vérifier est conclure

 

 

La solution est 3;

 

 

Dans D +ou –

 

Il y  4 cas pour l ' addition

 

 

1.       

 

2.       

 

3.       

 

4.       

 

 

Il y a  4 cas pour la multiplication

 

Ecritures équivalents :

5.       

6.       

7.       

8.       

 

Il y a  4 cas pour la soustraction

 

 

1.       

(+7)-(+ 4) = x

 

2.       

(+7)-(- 4) = x

 

3.       

(-7)-(- 4) = x

 

4.       

(-7)-(+ 4) = x

 

 

Il y a  4 cas pour la division

 

 

5.       

= x;

 

 

6.       

= x

 

 

7.       

= x

 

 

8.       

= x

 

 

idem

 

 

9.       

= x;

 

10.   

= x

 

 

11.   

= x

 

 

12.   

= x

 

 

Modèles calculs algébriques

"

 

 Pour trouver la valeur de "x"

 

(+7)+ (+ 4) = x

 

 (+7)+ (- 4) = x

 

(-7) + (- 4) = x

 

(-7) + (+ 4) = x

 

(+7)(+4)  = x

 

(+7)(-4)  = x

 

-7)(-4)  = x

 

(-7)(+4)  = x

= x; = x

= x

= x

= x; = x

= x

= x

 

 

L ' équation  doit  toujours  se ramener sous la forme "x"=…..

 


 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE

 1°)   Que signifie "résoudre" ,

 2°)   Donner  deux méthodes permettant de trouver la valeur numérique qui vérifie l 'égalité "vraie".

 

EVALUATION :  refaire les exemples….