Auteur : WARME R.

 

MATHEMATIQUES :Niveau V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSSIER  n° 7 / 25

 

Dossier : FORMATEUR   

 

 

 

VALEUR NUMERIQUE

 

D'une expression littérale

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

 

Classe :…………………..

 

Année    scolaire : ………………………                                        

 

Dossier pris le : ……/………/………

 

Validation de la  formation :    O -  N

           

 Le : ……………………………………..

Nom du  formateur  : ……………………

 

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

 

 

DOC .INFO  : Professeur ; Formateur

7/26

DOC : livre  Elève .Cours  interactifs - et travaux +  corrigés.

TITRE : Calcul numérique et calcul algébrique .

RECHERCHE DE LA VALEUR NUMERIQUE  d’une expression littérale

DOSSIER COURS  N°7 INTERACTIF

Calcul numérique et calcul algébrique .

RECHERCHE DE LA VALEUR NUMERIQUE  d’une expression littérale

Information « TRAVAUX »

Cliquer sur  le mot !.

INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

NIVEAU :

Formation  Niveau V  (inclus le CAP et CFA)

OBJECTIFS :

-  Savoir calculer la valeur numérique d’une expression algébrique.

-  Savoir avec une formule donnée  et à partir des valeurs connues :remplacer les lettres par leur valeur et effectuer le ou les calculs en vue d’obtenir un résultat .

I ) Pré requis:                            Première page d’écran  interactif   ;  Cliquer sur  « cours ».

Lectures importantes :

a)       Valeur numérique dune expression algébrique! !

b)      Les chaînes d’opérations , priorités .

c)       Conventions d’écriture  en algèbre .

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

Index  

Objectif précédent :

1°) Dossier :N°6 les nombres relatifs

2°) écriture littérale

Objectif suivant :

1°) Dossier 8 : Repérage

2°) lecture d’énoncé .

1°)Tableau de chronologie

2°) Liste des cours

 

III )  LECON  n° 7  RECHERCHE DE LA VALEUR NUMERIQUE  d’une expression littérale  .

Chapitres :

     DEFINITION

 

I ) CALCULS NUMERIQUES :

Cd  info plus +++

a) calcul numérique (définition)

 

b) conventions d’écriture

 

c) règles de transformation des nombres

 

d) priorités ( procédures )

 

II ) CALCUL ALGEBRIQUES et résolution de problèmes :

Cd  info plus +++

a)Conventions  d’écriture .

 

b) Priorités . 

 

c)L es Identités Remarquables

Pré requis : leçon 25

III . EXEMPLES DE CALCULS  et d ’ utilisation d’une formule

 

 

Avez vous réussi le devoir N°6  ( sur les nombres décimaux relatifs)  ? ? ?

Si « oui » faire cette leçon, si « non » revoir :    Cliquer ici :  leçon N°6

CD : devn°6

IV)   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

Test

 

COURS 

Travaux  auto - formation.

Important :

 

Corrigé des travaux  auto - formation.

Contrôle

Evaluation :

 

INTERDISCIPLINARITE : voir cas par cas ! !

 

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

 

 

V )   DEVOIRS  ( écrits):

 Devoir diagnostique L tests.

Ÿ

 Devoir  Auto  - formatif  ( intégré au cours)

Ÿ

  Devoir Formatif  « Contrôle : savoir » ;   ( remédiation)

Ÿ

 Devoir  Formatif  «  Evaluatio  savoir faire »  ( remédiation)

Ÿ

Devoir sommatif .

Ÿ

Devoir certificatif  1: ( remédiation )

Ÿ

Devoir certificatif  2 : ( remédiation )

 

* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une formation .

Série 2 : devoirs Contrôle Continu .

Ÿ

 

 

 

iNous avons déjà  recherché un résultat  en remplaçant  des lettres par des nombres .lors de  la leçon sur les « nombres décimaux relatifs @  ( voir les derniers exercices de l’évaluation )».

Il est souhaitable de reprendre ces calculs  et  pour les mettre en lien ce qui a té fait avec ce cours .La leçon « sur la recherche d’une valeur  numérique d’une expression littérale » est la suite des calculs avec des  nombres relatifs .

Le but de la leçon « valeur  numérique d’une expression littérale »  étant d ’ utiliser des « formules » qui sont  utilisées le cadre professionnel.

Dans le programme il n’est pas prévu de traiter « normalement » la leçon sur les priorités dans les calculs .

Pourtant il faut connaître l ’ordre dans lequel on effectuera  les opérations ;: par quelle opération commence t - on ? et par quelle termine - t - on ?  si il y a ( en partie  ou tout )  des additions ,soustractions , multiplications ,divisions et puissances voir racine dans une chaîne d’opérations . 

Pré requis :

cliquer ici :   Les chaînes d’opérations , priorités .

 


 

Leçon

LECON

N°7

RECHERCHE DE LA VALEUR NUMERIQUE D’ UNE EXPRESSION LITTERALE .

CHAPITRES :

Définition

 

I ) CALCULS NUMERIQUES :

Cd  info plus +++

a) calcul numérique (définition)

 

b) conventions d’écriture

 

c) règles de transformation des nombres

 

d) priorités ( procédures )

 

II ) CALCUL ALGEBRIQUES et résolution de problèmes :

Cd  info plus +++

a)Conventions  d’écriture .

 

b) Priorités . 

 

c)L es Identités Remarquables

 

c) exemple d ’ utilisation d’une formule

 

 

COURS

iEn arithmétique , lorsque l’on utilise des formules ( voir :calcul d’aire ; périmètre ….) ; on remplace des lettres par des nombres  ( grandeurs) , en vu de trouver une valeur numérique ; ce  calcul  est une activité appelée : «  rechercher la valeur numérique d’une expression littérale » .

 

Définition :  Pour calculer la valeur numérique d’une expression littérale , on remplace les lettres par les valeurs qui   lui sont  attribuées  (données) .

 

Il en est de même si l’on calcule la valeur numérique  d’une expression

 algébrique .

Exemples de  formules ( expressions littérales )  couramment usitées 

 

Cas de calculs

Formules

Sur le C D  vous avez une foule de situations problèmes   traitant chaque cas

Pour plus d’informations

Aire du carré

A  = c²

Info plus !

Périmètre du carré .

P =4c

 

Info plus !

Longueur d’une circonférence.

P = 2 p R

 

Info plus !

Aire d’un disque.

A = p R ²     avec (p »  3,14 )

 

Info plus !

Aire du trapèze.

 

Info plus !

Périmètre du rectangle.

P = 2 ( L + l )

 

Info plus !

Aire du rectangle .

A = L l

Info plus !

 

Aire du triangle

A =

Info plus !


 

i9  

I . CALCULS NUMERIQUES  

:i

 

Un calcul numérique comporte plusieurs étapes qui, à chaque fois  sont :

-          soit changer l’écriture d’un nombre.

 Exemple :   =   =  3,5

 

-          soit effectuer une série de  transformations   grâce à une règle  (ou une procédure)

 

Exemple :   +  = =

 

 

i9  

I.1. CONVENTIONS   D’ECRITURE

CD info plus ++++

 

Préambule : Pour pouvoir effectuer un calcul ou une série de calculs , en vu de trouver un nombre (appelé :  résultat  ) , il faut avant tout  savoir le lire  et donc de connaître les conventions d’écritures  et  les priorités opératoires .

En  calcul numérique :

·  On n’écrit jamais deux signes qui se suivent sans parenthèses .

on n’écrit pas   3 ´ -  4       mais  on écrit  3 ´ ( - 4 )

· Au lieu d’écrire    3 ´ 3  , on écrit      3² ;             et        3´ 3´ 3 s’écrit  33

·  Le trait de fraction signifie la division du numérateur par le dénominateur et tout se passe comme si le numérateur et le dénominateur étaient entre parenthèses.

 

Ainsi :

 *       s’écrit    5 ÷ 2 + 3 =     ; qui s’écrit aussi  ( 5 ÷ 2 )  + 3   =      5,5

 *  et    s’écrit  ( 5 +3 ) ÷ 2 =  ;  soit  (8 ) ÷ ( 2 ) =   4

 

i9 

I.2.  Principales règles de transformations de l’écriture  des nombres 

:i

Il est souvent très utile de transformer les écriture des nombres et de les remplacer par une valeur numérique. Nous retiendrons les transformations suivantes :

 

A)  : @ i         3²  signifie 3 ´ 3 ( = 9 ); comme  33   signifie  3´ 3´ 3  ( = 27)

B ) : @ i        Le trait de fraction signifie une division :  = 2,5

 

C ) : @ i      « simplifier » ; « rendre irréductible » et « réduire au même dénominateur »

 =

 

Les nombres  « k » et « b » sont des nombres non nuls . cette écriture  permet de simplifier une fraction ou de réduire deux fractions aux mêmes dénominateurs.

 

-   Simplifier directement les fractions suivantes :

 

Soit la fraction :

 

On peut diviser le numérateur et le dénominateur par :

On peut ainsi  remplacer  :           

« 2 »    pour simplifier     ou  « 4 »      pour rendre irréductible .

 

Par  4 / 6  ou  2 / 3

 

-          C 1 ) Réduire au même dénominateur  2 fractions  :

                               résultat : le dénominateur commun est  « 40 »   ; 

      

        les deux fractions  équivalentes aux fractions   7 / 10  et  3/ 4  sont   28 / 40  et  30 / 40 

         

-          C 2 ) Réduire au même dénominateur  3  fractions  :

 

                     résultat : le  dénominateur commun  est « 60 » ;

        les trois  fractions  équivalentes aux fractions   7 / 10  et  3/ 4 et 18/30  sont     42 / 60  et  45 / 60  et 36 / 60

 

D) : @ i   L’écriture  décimale  et les puissances de dix :

exemples :

a)  0,045 =    = 45 ´ 10 -3

b)         0,45 =   = 45 ´ 10 -2

E )  :@i L’écriture  décimale  et les  pourcentages :

exemple :             0,145  =    =  14,5 %

 

si la fraction n’est pas « décimale » ,il faudra :

 

E 1 )  : @ i-      ou rendre la fraction irréductible .et continuer les calculs avec cette fraction.

E 2 ) : @  i-       ou  effectuer la division et remplacer la fraction par un nombre décimal « arrondi » à 0, ? ? ?1 prés . On remplace le « ? » par  un ou plusieurs« 0 »

 

F ) : @ i    L’écriture   par la  valeur de la racine

exemples : on remplacera  par  3 ;

                    et  par une valeur approchée  » 3,162 )

 

 

 

i9  

I.3. Priorités opératoires : Recherche d’un résultat numérique .

Déjà vu avec les nombres :  CD info +++

le résultat  peut être recherché soit à partir d’une formule ou d’une chaîne d’opérations possédant ou non des parenthèses.

 

Organigramme concernant l’ordre chronologique des calculs :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Résultat numérique  recherché  à  partir d’un  énoncé et d’une  formule donnée

 

Si les calculs s’effectuent  à partir d’une formule donnée :

 

+Le calcul est direct :

 Il n’y a que des nombres séparés par des signes opératoires dans le deuxième membre , le résultat s’obtient directement ;on remplace chaque  lettre par leur valeur numérique ,ensuite on effectue les calculs .

Exemple :       Calcul d’aire  du trapèze     (à l’aide de la  formule : )

 

Application :  Un trapèze a les dimensions suivantes : B = 12,6 cm ; b = 7,4 cm ; h = 6,8 cm.

 

Calcul de son aire .                   A  =  = 68  cm2

 

 

+Le calcul   est indirect : L’expérience et les connaissances en algèbre sont nécessaires ! ! ! ! ! !

 

 Il y a des nombres dans les deux membres de l’égalité , il y a une lettre dans un des membres , qu’il faut isoler . C’est alors un problème d’algèbre : il faut faire l’inventaire des données numériques , on identifie   ce que l’on cherche   , on transforme  l’égalité  pour isoler l’inconnue , on fait le calcul .

 

Exemple : Trouver la hauteur du trapèze qui à une aire de 50 m2 et dont les bases mesurent 12,6 m et  7,4 m .

Soit la formule :  ; on remplace les lettres par les valeurs données : 

 

On transforme pour obtenir :       h=  == 5 m

 

( info @ + :voir le cours sur « résoudre un problème du premier degré »)


· Résultat  numérique  à rechercher à partir d’une  chaîne d’opérations :

 

 

   Exemple de calculs à effectuer dans une chaîne d’opérations

       

L’expression   contient  des  additions, soustractions ,multiplications ,divisions (ou fractions….) , des puissances , des racines:

Exemple                        9,2 - 42 7 + 2,7 (-6)2  +   -  =

 

 

Procédure

Exemple

1ereEtape

Calculer la racine  au préalable faire le calcul sous la racine au cas où…..

9,2 - 42 7 + 2,7 (-6)2  +     -   20

2emeEtape

Calculer les puissances

9,2 - 16 7 + 2,7 (+36)  +     -   20

3emeEtape

Calculer les divisions

9,2 - 16 7 + 2,7 (+36)  +  5  -   20

4emeEtape

Calculer les multiplications

9,2 - 112   + (+ 97,2 ) +  5  -   20

5emeEtape

Transformer l’expression algébrique en somme algébrique

(+9,2)+( - 112) + (+ 97,2 ) + (+ 5) + ( - 20)

6emeEtape

Calculer la somme des nombres positifs

(+9,2)+ (+ 97,2 ) + (+ 5) = (+(9,2+97,2+5)=  (+ 111,4)

 

7emeEtape

Calculer la somme des nombres négatifs

( - 112) +  ( - 20) =( - (112+20)) = (-132)

8emeEtape

Calculer la somme des nombres de signe contraire

(+ 111,4)+ (-132)  = ( - (132- 111,4)) = (-20,6)

9emeEtape

Rendre compte

9,2 - 42 7 + 2,7 (-6)2  +   -  =(-20,6)

 

ACTIVITES :     Calculer  (CORRIGE : CLIQUER ICI )

 

1°)     3 + 5,6 + 8  =

 

2° )   - 5 - 6,3 -7,2 =

 

3° )    -8,3 + 5 - 9 - 13,5 + 7,7 =

 

4°)   15,3 - 4 5,3 + 73 =

 

5°)       3, 5 - 9 : 2 + 49 = 

6°)       -8.4  + 11 +1,2 =

 

7 °)           3, 52- 9 : 2 + 492 = 

8 ° )      -8,42  +  11 + () 21,2  =

9°)    9,2 - 42 7 + 2,7 (-6)2  +   -  =

 

( info + @ : calculs de……)

 

i9   

II.         NOTIONS  sur le CALCUL ALGEBRIQUE et  exemple de résolution de problèmes  à traiter avec l ’ algèbre .

Cd  info plus +++

i Les objectifs  de base en algèbre qu’il faudra atteindre en fin de niveau V sont :

-  savoir effectuer des calculs qui comportent des variables ou des inconnues      ( notées généralement « x » et « y ») ; savoir développer et factoriser des expressions ,

-  savoir mettre un problème en équation et

-  savoir  résoudre des équations ( et système) du premier degré .

 

Ce cours  a pour  but de vous familiariser au vocabulaire qui  sera  utilisé dans les objectifs cités ci - dessus .

 

i9     

II.1. conventions d’écriture

CD info plus ++++

 

i    Dans les expressions algébriques  le signe « multiplié » n’est jamais  représenté.

On n’écrit pas les signes  ´, sauf entre deux nombres  ( pour ne pas confondre   entre  24  et  2 ´ 4  )

Exemples : 

Formule

En omettant les signes ´

L’expression se lit :

2 ´ p ´ R

2p R

2 fois pi fois R

3´x

3x

3 fois ixe

a´b

  ab

a fois b

a´b´c

  abc

  a fois b fois c

3´

3

3  fois racine carré de 18

2 ´ x ´  (  1 - x )

2  x (  1 - x )

2 fois x facteur de 1-x

3 ´ ( 2´ x + 1)

3 ( 2x + 1)

3 facteur de 2 ixe plus un

 x ´ (  2´x +2 )  

x (  2x +2 )  

ixe facteur  de  2ixe plus 2 

(2´x +1)´(3´x + 2)

(2x+1)  (3x+2)

2ixe plus un entre parenthèses  facteur de 3 ixe plus 2.

 

iremarque :  les groupes de mots  « fois  entre parenthèses » et « facteur de » ont la même signification .

 

êATTENTION au risque d’erreur : ne pas confondre ce qui est dit et de ce qui est écrit :

 

Exemple 1   :              a +b²  est différent de l’écriture  ( a + b ) ²  

  

3 + 5 ²   = 3 + 25    = 28   ¹  (3+5)²   = 64

 

 

Exemple 2 :               a - b²  est différent de l’écriture  ( a -  b ) ²   ;

3 - 5²  =  3  - 25  =    -  23      ¹    ( 3  -5 )²    =    4

 

A retenir :

Quand on multiplie un nombre par une lettre ou une parenthèse, on n’écrit pas le signe ´


 

i9  

II.2       PRIORITES

Info plus +

 

Calculs  @ : tous les calculs  peuvent se décomposer en multiplications , divisions , additions ou soustraction de monômes ( un monôme est une expression algébrique  qui ne contient ni signe + ni signe - , c’est un produit de coefficient et de lettre (s))

 

Exemples de monômes :  3x ;  2,5 x²  ;  

 

 

On décompose  en produit de facteurs et l’on « regroupe » 

On regroupe  les termes de même degré

Multiplication de deux monômes

Addition ou soustraction de deux monômes  de même degré

Exemple 1 :

5 x²  2x  =  52x  x  x  = 10 x3

Exemple 2

                      - 3 x 3  2 x²    =  -  3 x xx2x x 

       = - 6 2 x 5

=  - 12 x 5

Exemple 3

5 x²  - 2 x²   =  3 x²

Exemple 4

4 x²  - 3 x² =    1 x²  =   

 

· Développements et factorisations @

 

+ Développement @

 

Définition : Une expression algébrique est développée si elle est écrite sous la forme  d’une somme de monômes 

 

Les deux   modèles mathématiques de base du développement sont :  k ( a + b )  et  k ( a - b )

Exemples :

 

Expressions algébriques de la forme :

Forme non développée

Forme développée

k ( a + b )

k  a +   k  b

3  ( x  +  5   )

3x + 15

3  ( 2x  +  5   )

6x + 15

3  ( x  -  5   )

3x - 15

3  ( 2x  -  5   )

6x - 15

 

Applications :

 

Forme

Application numérique

Application algébrique :

 

k ( a + b) 

 

 

a)    3  ( 2  +  5   )  =   3  ( 7 )  =  3 ´  7  = 21

 

b)   3  ( 2  +  5   )  = 3 ´  2  + 3 ´  5 =  6 +  15  = 21

 

 

a) 3  ( x  +  5   ) = 3 ´ x  + 3 ´  5  =  3x + 15

 

b)   3  ( 2x  +  5   ) = 3 ´2 ´ x  + 3 ´  5  =  6x + 15

k ( a -  b )

a)    3  ( 5 - 2   )  =   3  ( 3 )  =  3 ´  3  = 9

 

* b)   3  (5  -  2   )  = 3 ´  5  -  3 ´  2  =  15 - 6   = 9

a)  3  ( x  -  5   ) = 3 x  - 3 ´  5  =  3x - 15

 

b ) 3  ( 2x  -  5   ) = 3 ´2 ´ x  - 3 ´  5  =  6x - 15

*  exemple de développement  d’une somme de nombres relatifs :

   3  [   (+5 ) + (  -  2   ) ]    = 3    (+5 ) +   3  (  -  2   )    =  ( +15  )  +  ( - 6 )    = ( + 9 )

 

Activités :

Développer

 

2  ( x  +  3     ; 7  ( x  -  5   ) ; 3  ( 4x  +  2,1   ) ;  5  ( 3x  - 3,2   ) ; x ( x  +  1   ) ; x ( 2x  +  1   ) ; 2x ( 2x  +  1  

 

 

+Suite : Développer , réduire, ordonner  @ :

 

Définition : Une expression algébrique  est développée, réduite et ordonnée  si elle est la somme de monômes ,de puissances différentes ,ordonnée par puissances décroissantes.

 

Ordonner :

 

Exemple d’expression algébrique  ordonnée :                                 A =  7 x² - 3 x + 1

 

Exemple de l’expression algébrique  ci dessus  non- ordonnée :      A = - 3 x  + 1 +  7 x²

 

 

Réduire :  réduire c’est regrouper  des termes de même degré ( ou de même puissance) :

Exemples : 

Expression « non » réduite :

Expression réduite .

      5 + 3

  8

      7 - 4

3

    x  +   x

 2x

      2x + x

 3 x

   3x +  2 x

 5 x

x ² +   x ²

  2 x ²

3 x  +   x

 4 x ²

Remarque : on ne peut pas réduire  les expressions ci dessous !

 

Mais on peut « factoriser » ! ! ! !à condition de savoir  identifier le « facteur commun » qui est contenu dans chaque terme  .  ( info plus +++)

         x   ²  +  x       ( = x  x + 1 x )

  =  x ( x  + 1 )     « x »  est le facteur commun

        3   +   3 x     [ =  ( 3 ´ 1   +  3 ´ x ) ]

  =  3 ( 1 +  x )     « 3 »  est le facteur commun

        3  +   x         ( il n’y a rien à modifier)

 

 

Factoriser :

 Une expression algébrique est factorisée  si elle est écrite   sous la forme d’un produit :

 

 A = (  2x + 1 )²  ou   B = 3  ( x + 4 ) ( 3x - 1)   ou   C = ( x + 1 ) ( x - 1 )

 

Pour savoir factoriser il faut savoir identifier les termes  qui contiennent un facteur commun . ( info plus +++)

On dit aussi  que pour  « factoriser » il faut savoir identifier  dans les termes de l’expression algébrique  le  (ou les )  facteur commun .

 

 i Pour factoriser  ou développer  on utilise  les égalités :

                                                                                  k ( a + b ) = k a + k b

                                                                                  ( a + b ) (  c + d ) =  a c + ad + b c + bd

                                                                                  ou les Identités Remarquables .

 

INFO ++ les I . R .

II.3  LES  IDENTITES REMARQUABLES

Les IR et le calcul mental..

2°)Les I R et le second degré .

 

Pour informations : les I.R. sont des « outils mathématiques » , elles  se présentent sous  « 3 formes  » , elles sont utilisées  soit pour donner une forme factorisée ou inversement  donner une forme développée d’une expression algébrique du « second degré » .

 

Modèles théoriques :

( le deuxième membre est obtenu après avoir développé , et réduit et ordonné  le développement .) 

Applications  ( exemples) : où il faut successivement :  développer , réduire  et ordonner

1ère forme :

La forme   ( a + b )2   qui s’écrit   aussi ( a + b ) (a + b) donne l’égalité de la forme :

 ( a + b )2   =  a2  + 2ab + b2  

 

a) ainsi ( x + 1 ) 2  qui  s’écrit  ( x +1 ) ( x + 1 ) donne  l’égalité :

          (x + 1 ) 2   =  x2 + 2 x +1

 

b) et  ( 3x + 2 ) 2  s’écrit ( 3x + 2 ) ( 3x + 2 ) donne l’égalité :

 (3x + 2 ) 2   =  (3x)2 +2 fois 3x fois 2  +22

                            =   9 x²   +  12 x +   4

 

2ème forme :

La forme   ( a - b )2   qui s’écrit   aussi ( a - b ) (a - b ) donne l’égalité de la forme :

 ( a - b) 2   =   a2  2ab +  b2

 

a)  ainsi : ( x - 1 ) 2  s’écrit  ( x - 1 ) ( x - 1 )  :pour donner l’égalité :   

         (x - 1 ) 2   =  x2 - 2 x +1

 

b)  et  ( 3x - 2 ) 2  s’écrit ( 3x - 2 ) ( 3x - 2 )  et donne l’égalité suivante :

 (3x - 2 ) 2     =  (3x)2 -2 fois 3x fois 2  + 22

                            =   9 x²   -  12 x +   4

 

3ème forme :

*La forme   ( a + b ) ( a - b )  qui s’écrit  ( a - b ) ( a +b ) donne l’égalité de la forme :

 ( a - b ) ( a +b )    = a2  b2

a)     ainsi

       ( 3x + 2 )  ( 3x - 2 ) =  ( 3x )2 - 22  = 9x² - 4

  

   b)    (x - 1 ) 2   =  x2 -1

 

·        les égalités en caractère gras seront à retenir et utilisées dans le cadre du calcul mental .

·        exemples :  ( 101) ²   (  = 100 + 1 ) ²;  49 ²  ( = 50 - 1 ) ² ; ………

 

 

i9  

III. EXEMPLE DE CALCULS

:Les chaînes d’opérations , priorités . :Exercices (suite).

 

iPour effectuer  une opération (calcul) il faut deux nombres. Lorsqu’il y a plus de deux nombres, il y a au moins deux opérations à effectuer, il y a  souvent une opération  à faire avant l’autre, on dit que la première opération à priorité sur la seconde opération.

 

 

Les 3 principales priorités sont :

 

+Si il y a des parenthèses :on effectue en premier les calculs entre ces parenthèses.

Exemple : 2 ( L + l )  =     ; on calcule d’abord  la somme :  L + l   puis on multiplie par  cette somme  par 2  .

Tout comme il est possible de développer : 2 ( L + l )  =  2 L  +  2 l

 

+Une puissance à priorité sur la multiplication.

 

Exemple :    3,14 R²   : on calcule d’abord  R² ;puis on multiplie le résultat par 3,14 .

 

+La multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction.

 

Exemple :   3  + 4 l   ; on calcule 4 fois « l »  puis on ajoute  « 3 »

 

 

A )  Exemple d’utilisation d’une formule

 

On donne les dimensions du trapèze B = 8   ; b =  5   et h =  4 ( les unités sont des , par exemple, cm)

On veut connaître son aire .

On  connaît  la formule : A =

¬ On remplace les lettres par leurs valeurs : A =

­ On calcule dans les parenthèses : A = 

® Puis on calcule  (13)4 = 4 ( 13) = 4 13  = 52 ainsi :  A =

 

¯ On divise :  52 :2 ainsi  A = 26

 

°On conclue : l’aire du trapèze est de 26 cm²

 

B )  Exemples de calculs : ou il faut remplacer les lettres par des valeurs numériques et calculer :

 

N°1 ) Soit l’expression littérale :

  4a + 5 b – 2c

 

Calculer sa valeur numérique :

 

 

« a »

« b »

« c »

Transformation de l’expression

Résultat

1°)

3

8

5

43 + 5 8 – 25 =

42

2°)

4,3

9,25

1,5

44,3 + 59,25 – 21,5 =

    17,2 + 46,25 - 3

60,45

3°)

-4

+6

-8

4(-4) + 5 (+6)  – 2(-8)=

-16 + 30 – (-16) =-16 +30 + (+16)

( +30)

 

N°2 :Soit l’expression littérale :

  4a² + 5 b ´ 2c

 

Calculer sa valeur numérique :

 

 

« a »

« b »

« c »

Transformation de l’expression

Résultat

1°)

3

8

5

43² + 5 8  25 = 36 + 400

436

2°)

4,3

9,25

1,5

44,3² + 59,25  21,5 =

     73,96 +        

212,71

3°)

-4

+6

-8

4(-4)² + 5 (+6) 2(-8)=

 64 + ( - 480 ) =

- 416

 

N°3 :Soit l’expression littérale :

  4a + ( 5 b – 2c )²

 

Calculer sa valeur numérique :

 

 

« a »

« b »

« c »

Transformation de l’expression

Résultat

1°)

3

8

5

43 + ( 5 8 – 25) ² =

912

2°)

4,3

9,25

1,5

44,3 + ( 59,25 – 21,5)² =

    17,2 + 612,5625

629,5625

3°)

-4

+6

-8

4(-4) + (5 (+6)  – 2(-8))²=

 - 16  + 2116  =

2100

 

N° 4 :Soit l’expression littérale :

  4a + ( 5 b – 2c )²

Calculer sa valeur numérique :

 

« a »

« b »

« c »

Transformation de l’expression

Résultat

1°)

3

8

5

43 + ( 5 8 – 25) ² =

912

2°)

4,3

9,25

1,5

44,3 + ( 59,25 – 21,5)² =

    17,2 + 612,5625

629,5625

3°)

-4

+6

-8

4(-4) + (5 (+6)  – 2(-8))²=

 - 16  + 2116  =

2100

 

N°5  :Soit l’expression littérale :

   +  5    (2 c ) ²

Calculer sa valeur numérique :

 

« a »

« b »

« c »

Transformation de l’expression

Résultat

1°)

3

8

5

+  5 4 –  ( 10 ) ² = 2  + 20 - 100 =

                                        = 2  - 80

=  2 ( - 40 + )

2°)

-4

+6

-8

  +  5 fois    (2 -8 ) ² : résultat  terminal impossible

 Le calcul n’est pas possible pour

 

CONSEILS :

Après une première lecture : il faut prendre les travaux auto formatifs, et travailler chapitre par chapitre.

Surtout , allez au « corriger » pour vérifier vos réponses.

Si le devoir « contrôle » paraît long, passer le en plusieurs fois.

Leçon

Titre

N°7

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur

 

 

TRAVAUX  N°7  d ’ AUTO - FORMATION : CONTROLE

 

 

1°) Compléter la phrase suivante :

Pour calculer la valeur numérique d’une expression littérale , on remplace …………………………….. qui   lui sont  attribuées  (données) .

2°)  A quel calcul  correspond les formules  suivantes :

 

Formules

Permet de calculer :

A  = c²

 

P =4c

 

P = 2pR

 

A = p     avec (p »  3,14 )

 

 

P = 2 ( L + l )

 

A = L l

 

A =

 

 

I .                     CALCULS NUMERIQUES  

 

Compléter  la phrase : un calcul numérique comporte  une ou plusieurs étapes qui , à chaque fois  sont :

I.1. CONVENTIONS   D’ECRITURE

CD info plus ++++

 

1°)  On n’écrit jamais deux signes qui se suivent ……………………. .

2°)  Au lieu d’écrire    3 ´ 3  , on écrit   ……………. ;

3°) Au lieu d’écrire    3´ 3´ 3 s’écrit  ………………..

4°)   Le trait de fraction signifie ………………… du ………………………………………. et tout se passe comme si le numérateur et le dénominateur étaient entre parenthèses.

 

I.2.  Principales règles de transformations de l’écriture  des nombres 

Transformer les écritures suivantes :

 

  3²  signifie ………………… ;   comme  33   signifie  ……………………

%Ï Le trait de fraction signifie une division :  = …………. ;  = ………… ;   = ……..

                      réduire au même  dénominateur commun ………………………………… 

                 résultat : dénominateur commun  ……………………………………….

%Ï écrire sous forme décimale :

  = ……………

 

  = ………………..

 

45 ´ 10 -3   = ……………

45 ´ 10 -2  = …………………

%Ï écrire  14,5 %  sous forme de fraction =  ……………et sous forme décimale =…….:

 

rendre la fraction irréductible . : =      

   effectuer la division   2  ¸  3  et remplacer la fraction par un nombre décimal « arrondi » à 0, 01 prés .    2 / 3  =

%Ï Donner la  valeur de la racine : à 0,01 prés .

        =

          =

I.3. Priorités opératoires

 Déjà vu avec les nombres :  CD info +++

 Compléter l’organigramme suivant avec les mots : Additions ou soustractions,  Multiplications ou divisions ,  Puissances et racines , Ensuite, effectuer le calcul de la gauche vers la droite à égalités de priorités

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


2°) Calcul à la lecture  d’un  énoncé et d’une  formule donnée

 

Si les calculs s’effectuent  à partir d’une formule donnée :

 

a) A quelle   condition dit-on que le  calcul est direct ? 

 

b) Quand dit - on que le calcul   est indirect ? que faut - il faire ?:

 

Evaluation :

Application 1 :  Calcul d’aire  du trapèze ( formule : )

Un trapèze a les dimensions suivantes : B = 12,6 cm ; b = 7,4 cm ; h = 6,8 cm.

 

Calcul de son aire .                   

 

 

 

 

Application 2 :  Trouver la hauteur du trapèze qui à une aire de 50 m2 et dont les bases mesurent 12,6 m et  7,4 m .

Soit la formule :  ;

 

 

Contrôle : On donne une chaîne de nombres  contenant  les opérations suivantes :  des  additions, soustractions ,multiplications ,divisions (ou fractions….) , des puissances , des racines.

Donnez la procédure ( en 9 étapes maximales) à appliquer pour parvenir au résultat.

Par l’exemple  suivant                    9,2 - 42 7 + 2,7 (-6)2  +   -  =

 

Série  :     Calculer 

 

Faire les calculs suivants en indiquant les étapes intermédiaires:

 

1°) il n'y a que des additions :

 

     3 + 5,6 + 8  =

2° ) il n'y a que des soustractions :

 

- 5 - 6,3 -7,2 =

 

3° ) il n'y a que des additions et des soustractions :

-8,3 + 5 - 9 - 13,5 + 7,7 =

 

4°) il n'y a que des additions; des soustractions ;des multiplications :

15,3 - 4 5,3 + 73 =

 

5°) il n'y a que des additions; des soustractions ;des multiplications  et des division (ou fractions)

3, 5 - 9 : 2 + 49 = 

 

6°)  -8.4  + 11 +1,2 =

 

7°) il n'y a que des  additions, soustractions ,multiplications ,divisions , des puissances .

3, 52- 9 : 2 + 492 = 

 

8° )   -8,42  +  11 + () 21,2  =

 

 

 

 

9°)Que   des  additions, soustractions ,multiplications ,divisions , des puissances et  des racines  .

 

9,2 - 42 7 + 2,7 (-6)2  +   -  =

 

 

II.        NOTIONS  sur le CALCUL ALGEBRIQUE et  exemple de résolution de problèmes  en algèbre

Cd  info plus +++

 

 

II.1. conventions d’écriture

CD info plus ++++

1°)   Compléter la phrase :

Dans les expressions algébriques  le signe « ………………… » n’est jamais  représenté.

 

2°) écrire  les formules ( 1 )  en utilisant la convention précédente .

Formules ( 1 )

Ecritures normalisée .

2 ´ p ´ R

 

3´x

 

a´b

 

a´b´c

 

3´

 

 ´ x ´  (  1 - x )

 

3 ´ ( 2´ x + 1)

 

 x ´ (  2´x +2 )  

 

(2´x +1)´(3´x + 2)

 

 

3 °):  remplacer  le groupe de mots  « fois  entre parenthèses »  par un mot qui  ( synonyme ) a la même signification : « ………………… »

4°)  traduire  «  a » plus « b » au carré : …………………

5°) traduire   « a » plus « b » entre parenthèses  , au carré . : ……………..  

6°)  traduire  «  a » moins  « b » au carré : ……………….

7°) traduire   « a » moins « b » entre parenthèses , au carré . : ………………

 

8°) Calculer  et commenter :

3 + 5 ² = ………………………….

 (3+5)² = …………………………..

conclusion :   3 + 5 ² est ……………… de (¹)   (3+5)²

9°) Calculer  et commenter :

3 - 5² = -……………..

( 3  -5 )²    =  ……………

conclusion :   3 -  5 ²  est ……………… de (¹) ( 3 - 5 )²

10 ° ) Quand on multiplie un nombre par une lettre ou une parenthèse, on n’écrit pas le signe :  ´

 

II.2       PRIORITES

1°) compléter la phrase :

tous les calculs (résultats)  peuvent se décomposer en ……………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………….

2°) regrouper les facteurs :

a):      5 x²  2x  = 

b)       -3 x 3  2 x²  = 

3°) regrouper les termes :

a)      5 x²  - 2 x²   = 

b)     4 x²  - 3 x² =  

· Développements et factorisations

 

a) Développement : compléter la définition

 

Définition : Une expression algébrique est développée si elle est écrite sous la forme  ……………………. de monômes .

b) Quels sont les deux   modèles mathématiques de base du développement ?

 

Exercices : donner la forme développer des expressions suivantes .

 

 

Forme non développée

Forme développée

k ( a + b )

 

3  ( x  +  5   )

 

3  ( 2x  +  5   )

 

k ( a - b )

 

3  ( x  -  5   )

 

3  ( 2x  -  5   )

 

3  [   (+5 ) + (  -  2   ) ]

 

Suite Activités :

 

2  ( x  +  3  

 

7  ( x  -  5  

 

3  ( 4x  +  2,1  

 

5  ( 3x  - 3,2  

 

x ( x  +  1  

 

x ( 2x  +  1  

 

2x ( 2x  +  1  

 

 

+Suite : Développer , réduire, ordonner :

compléter la phrase suivante :

Définition : Une expression algébrique  est développée, réduite et ordonnée  si elle est ……………………………………………………………………………………………………

 

Exercice :

Voici 3 expressions ; laquelle est ordonnée ?

A = - 3 x  + 1 +  7 x²

A =  +1   - 3 x   +  7 x²

A =  7 x² - 3 x + 1

 

 

Réduire :

Que signifie «  réduire » ?

Exercices :  réduire les expression suivantes .

Expression « non » réduite :

Expression réduite .

      5 + 3

 

      7 - 4

 

    x  +   x

 

      2x + x

 

   3x +  2 x

 

x ² +   x ²

 

3 x ² +  

 

 Factoriser :

 Quand dit - t - on qu’une  expression algébrique est factorisée ?

 

         Que faut - il identifier  dans les termes d’une expression algébrique avant de factoriser ?

 

 

Exercices : Factoriser les expressions suivantes :

      x   ²  +  x    ( = x  x + 1 x )

 

       3   +   3 x     [ =  ( 3 ´ 1   +  3 ´ x ) ]

 

        3  +   x        ( il n’y a rien à modifier)

 

 

Les I.R.   Donner les trois formes des égalités concernant les Identités remarquables :

 

Exercices : En vous aidant de ces égalités ; appliquez les aux exercices suivants :

(x - 1 ) 2   = 

 

 

(3x - 2 ) 2   =

 

 

(3x + 2 ) 2   = 

 

 

(x - 1 ) 2  =

 

 

( 3x + 2 )  ( 3x - 2 ) = 

 

 

(x + 1 ) 2   = 

 

 

 

 

 

 

 

 

III . EXEMPLES DE CALCULS

 CD info plus : Les chaînes d’opérations , priorités .

 

1°)  Citer les trois grandes priorités :

 

EVALUATION

 

Calculer :

3  + 5 ²       =

 

( 3 +5 )²        =

 

3  -5²            =

 

( 3  -5 )²       =

 

Réponses :  28 ; 64 ;-23 ;4

Série 1 :

 

B )  Exemples de calculs : ou il faut remplacer les lettres par des valeurs numériques et calculer :

N°1 ) Soit l’expression littérale :

  4a + 5 b – 2c

Calculer sa valeur numérique :

 

« a »

« b »

« c »

Transformation de l’expression

Résultat

1°)

3

8

5

 

 

2°)

4,3

9,25

1,5

 

 

3°)

-4

+6

-8

 

 

 

 

 

 

N°2 :Soit l’expression littérale :

  4a² + 5 b ´ 2c

Calculer sa valeur numérique :

 

« a »

« b »

« c »

Transformation de l’expression

Résultat

1°)

3

8

5

 

 

2°)

4,3

9,25

1,5

 

 

3°)

-4

+6

-8

 

 

 

N°3 :Soit l’expression littérale :

  4a + ( 5 b – 2c )²

Calculer sa valeur numérique :

 

« a »

« b »

« c »

Transformation de l’expression

Résultat

1°)

3

8

5

 

 

2°)

4,3

9,25

1,5

 

 

3°)

-4

+6

-8

 

 

 

N°4 :Soit l’expression littérale :

   +  5    (2 c ) ²

Calculer sa valeur numérique :

 

« a »

« b »

« c »

Transformation de l’expression

Résultat

1°)

3

8

5

 

 

2°)

-4

+6

-8

 

 

SERIE  2 :

 

N°1 :Soit l’expression littérale :

  7a + 8,5 b

Calculer sa valeur numérique :

 

« a »

« b »

Transformation de l’expression

Résultat

1°)

6

2

 

 

2°)

( + 6)

( +2)

 

 

3°)

( +6 )

( - 2 )

 

 

4°)

( - 6 )

( - 2)

 

 

5°)

( - 6 )

( + 2)

 

 

 

N°2 :Soit l’expression littérale :

  5a - 10 b

Calculer sa valeur numérique :

 

« a »

« b »

Transformation de l’expression

Résultat

1°)

6

2

 

 

2°)

( + 6)

( +2)

 

 

3°)

( +6 )

( - 2 )

 

 

4°)

( - 6 )

( - 2)

 

 

5°)

( - 6 )

( + 2)

 

 

 

N°3 :Soit l’expression littérale :

  2 m  5 n

Calculer sa valeur numérique :

 

« a »

« b »

Transformation de l’expression

Résultat

1°)

15,5

2,6

 

 

2°)

( + 5)

( + 3)

 

 

3°)

( +6,1 )

( - 2,3 )

 

 

4°)

( - 0,6 )

( - 0,2)

 

 

 

N°4 :Soit l’expression littérale :

   + 11,5

Calculer sa valeur numérique :

 

« x »

 

Transformation de l’expression

Résultat

1°)

6

 

 

 

2°)

( + 9)

 

 

 

3°)

( -3)

 

 

 

 

N°5 :Soit l’expression littérale :

  4a + 5 b – 2c

Calculer sa valeur numérique :

 

« a »

« b »

« c »

Transformation de l’expression

Résultat

1°)

3

8

5

 

 

2°)

4,3

9,25

1,5

 

 

3°)

-4

+6

-8

 

 

SERIE 3

Formules :

Calculs :

Si pb : voir « résoudre une équation.

A  = c²

c =  5,6  , calculer A = 

A = 121 ; calculer c =

 

P =4c

C =  60 ; calculer P=

 

P = 51,6 ; calculer c =

 

P = 2pR

(p »  3,14 )

R = 2,5 ; calculer P=

 

P = 47,1 ; calculer R =

 

A = p     avec

(p »  3,14 )

R = 3 ; calculer A =

 

A = 100,48  calculer R = 

 

B = 4 ; b = 3 ; h = 2,5

Calculer l’Aire =

 

P = 2 ( L + l )

L = 12 ; l = 5,6

Calculer P =

 

A = L l

L = 12 ; l = 5,6 ; calculer A =

 

A =

B = 4 ; b = 3 

calculer A =

 

 

Cliquer ici : Corrigé de ci dessous 

 

 


SERIE 4 : 

Pour travailler la leçon sur le « repérage » il est conseillé de savoir faire les calculs ci-dessous :

LES FONCTIONS : ( pré requis )

A partir des explications précédentes   remplir les  tableau x   suivants : Ces calculs suivants seront   réutilisés pour  faire la représentation graphique de chaque  fonction.

 

 

1°) Compléter le tableau  pour f1(x) =  2,5 x  , et placer ces points dans le repère cartésien .

x

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

f1(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°) Compléter le tableau suivant: 

f2(x)  =  x - 1

x

0

0,2

0,5

0,8

1

2

3

4

5

f2(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3°) soit l’équation   f3(x) = -2x  + 0,5   ,  Compléter le tableau suivant:

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f3(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4°) Compléter le tableau  pour   f 4(x) =  0,5x  

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f 4(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5°)  Dans le même repère  faire le tracé des  fonctions   f1 = y1    ; f2= y2 ;       f3= y3  et y4 = f4, , telles que f1(x) =  x2    f2(x)  = 3 x2  ,   f3(x) = - 2x2     et    f 4(x)   = 0,5 x2  +1

Au préalable compléter le tableau suivant:

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f1(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f3(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 4(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Interdisciplinarité

 

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