Pré requis:

Objectifs les égalités : vocabulaire 1EG1
égalités les égalités : vocabulaire 2 EG2
Expression algébrique (niveau 2)

ENVIRONNEMENT du dossier :

INDEX warmaths

Objectif précédent 2°) Première approche : niveau V

Objectif suivant : « factoriser »

Tableau 315 Liste des cours d’algèbre.

DEVELOPPER – REDUIRE.

Préalable : Conventions d’écriture et rappels.

Partie 1 : Développer .( voir « distributivité »)

Partie 2 : Développer – réduire et ordonnée.

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

CONVENTIONS D’ECRITURE: Dans les expressions algébriques le signe « multiplier » n ‘ est jamais représenté On ne trace pas la « croix »  pour éviter toute confusion avec la lettre « x »,qui est couramment utilisée pour représenter «  l’inconnue » . En l’absence de signe ,il y a toujours « produit » entre: ► un nombre et une lettre : 3 x ; il faut lire « trois fois ixe » ; (le mot « fois » doit être remplacé par «  multiplié par » )  ► deux lettres : ab ; ………………lire «  a fois b » ou « a » facteur « b » ► un nombre et une racine: 3 ;lire « 3 fois racine carré de 18 » ► un nombre et une parenthèse : 3 ( 2x + 1) ; lire « 3 fois entre parenthèses 2 ixe plus un » ou aussi « 3 facteur de 2ixe plus un » les groupes de mots « fois entre parenthèses » et « facteur de » ont la même signification . ► une lettre et une parenthèse: x ( 2x +2)  , lire «  ixe facteur de 2ixe plus 2 » ► entre deux parenthèses : (2x+1)(3x+2) , lire « 2ixe plus un » entre parenthèses facteur de « 3 ixe plus 2 » )
Autres Rappels: « Terme » : les termes sont situés à droite et à gauche du signe opératoire « plus » dans la somme algébrique De quoi se compose un facteur ? ( un « terme ») : Un facteur (ou un terme) est un nombre ,ou une lettre, ou l’ensemble des termes d’une parenthèse. Différence entre un terme et un facteur: les termes sont situés à droite et à gauche du signe opératoire « plus » (l’opération soustraction se transforme ….,les facteurs sont situés à droite et à gauche du signe ( x ; appelé « croix » qui signifie « multiplier »). Termes semblables: On appelle "termes semblables" d'un polynôme des termes qui ne diffèrent que par les coefficients. Ainsi l' expression 8a^2 +3bc + 5d^2 - 4a^2 est un polynôme .( 8a^2 , -4 a^2 sont des termes semblables.) Vocabulaire: le signe opératoire de la multiplication ,en forme de « croix » , peut se traduire par plusieurs « mots »: - le mot « fois » ( 3fois 7) - par «  multiplié par » ( 3 multiplié par 7 ) - « fois entre parenthèses »  ( 3 fois entre parenthèses 5 + 2 ; pour 3 ( 5+2) ) - « facteur de » (3 facteur de 5+2 ; pour  3 ( 5+2) )
Partie 1 : « Développer » (distributivité)
DEVELOPPER: « Développer »  est une activité mathématique qui a pour but de transformer un « produit » en « somme  algébrique » . Condition minimum pour réaliser un développement: Avoir un produit de deux facteurs dont un facteur étant un nombre ou une lettre ,le second facteur étant composé d’une « somme » de deux ou plusieurs termes. Modèle mathématique : a ( b + c ) ou a ( b - c )
Exemples: ; autres exemples Procédure de développement: Exemple : a ) Multiplier le premier terme du deuxième facteur par le premier facteur. b ) Multiplier le deuxième terme du deuxième facteur par le premier facteur. c ) Rendre compte: Le premier membre étant le produit de facteurs ,le deuxième membre étant composé des deux termes calculés précédemment. Conclusion : .
A RETENIR Traduction mathématique
On dit aussi : que « développer » c’est «  distribuer le facteur simple sur les termes contenus dans la parenthèse »
Activités : (Applications ) :
Enoncé: Développer (on dit aussi « effectuer » ) Exemple 1 : ? on calcule : ; Exemple N°2 : ? a) b)
Autres cas rencontrés : le premier facteur contient deux termes Nous avons un produit de facteurs ,chaque facteur étant une somme de deux (ou plusieurs) termes. Modèle mathématique : du type Trois autres cas sont couramment rencontrés; Un des facteurs contient un signe opératoire « moins » , tel que : ; ou ( a - b ) ( c + d )= ? ; Les deux facteurs ont un signe opératoire « moins » : dans ces trois modèles ,se souvenir ,pour les applications que : Exemples: a) evient b) devient Procédure de développement : du type ( a + b ) ( c + d ) a ) Multiplier au premier terme du premier facteur le premier terme du deuxième facteur: b) Multiplier au premier terme du premier facteur le deuxième terme du deuxième facteur: c) Multiplier au deuxième terme du premier facteur le premier terme du deuxième facteur: d) Multiplier au premier terme du premier facteur le premier terme du deuxième facteur: e) Rendre compte: conclusion: Remarque : Dans les applications on peut souvent regrouper les produits et . Applications: nous traitons les cas courants :
Premier cas : a ) b ) c ) d ) Conclusion : nous pouvons regrouper les termes en ( ce qui correspond à une factorisation de qui est égal à ) donc :
Deuxième cas : Développer et regrouper les termes de même degré: On transforme : a) b) c) d) Conclusion: (nous regroupons les termes de même degré : est égal à )
Troisième cas : ( a) b) c) d ) Conclusion: (nous regroupons les termes de même degré ; -7x plus-6x est égal à -13x )
LES CAS SUIVANTS FONT L ‘ OBJET D’UN TRAVAIL PARTICULIER: PUISSANCE « 2 »  D ’ UNE ADDITION « »  ; ou D’UNE SOUSTRACTION « » Cas : Les facteurs contiennent des termes identiques: autre cas : Les facteurs sont identiques , le signe séparant les termes sont opposés: Ce sont des cas « remarquables » et « à remarquer » ,que l’on doit connaître , reconnaître , pour effectuer rapidement un développement ou une factorisation. Nous en avons besoin pour traiter une partie du « second degré » De nombreux exercices en mathématique font appel à ces savoirs: (Voir objectif : identités remarquables ) Voir + : PUISSANCE « 3 » ; d’une addition ou d’une soustraction.
Partie 2 : Développer – réduire et ordonnée.
Définition : Une expression algébrique est développée, réduite et ordonnée si elle est la somme de monômes , de puissances différentes ,ordonnée par puissances décroissantes. Ordonner : Exemple d’expression algébrique ordonnée Exemple de l’expression algébrique ci dessus non- ordonnée : Réduire : réduire c’est regrouper des termes de même degré ( ou de même puissance) : Exemple :
Expression « non » réduite :	Expression réduite .
Remarque : on ne peut pas réduire les expressions ci dessous !
	Mais on peut factoriser ! ! ! !si l’on sait identifier le facteur commun . ( info plus +++)
Factoriser : Une expression algébrique est factorisée si elle est écrite sous la forme d’un produit : ou Pour savoir « factoriser » il faut savoir identifier les termes qui contiennent un facteur commun .
i Pour factoriser ou développer on utilise les égalités : ou les identités remarquables .
Application : On donne : DEVELOPPER Une expression algébrique est développée si elle est écrite sous la forme d'une somme de monômes: devient REDUIRE Une expression algébrique développée est réduite si elle est une somme de monômes de puissances différentes : devient ORDONNER Une expression algébrique développée est réduite et ordonnée si elle est une somme de monômes de puissances différentes et si les monômes sont ordonnés par puissances décroissantes : devient qui devient
RAPPEL : Ce cours « développer » n’a de sens que si l’on transforme les expressions algébriques en sommes algébriques .
Ainsi l’écriture  : est une expression algébrique pour identifier les termes il faut faire la transformation	Et l’écriture est appelée « la somme algébrique » représentante de l’expression

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

CONTROLE:

1° ) Que signifie: Développer ?

2° ) Donner la condition minimum permettant de faire un développement.

3° ) Donner le modèle mathématique représentant ce minimum.

4 ° )Donner le modèle mathématique sur le développement de ( a + b ) ( c + d )

EVALUATION :

I ) Développer les expressions suivantes :
Série 1	résultat
9 ( 3 + 5 ) = (pour cet exercice uniquement ne pas effectuer les calculs!!)
3 ( x + 2 ) =
3 ( x – 2 ) =
3 ( 4 -2x ) =
4 (3x - 5 ) =
Série 2
3 x ( x + 2 ) =
3 x ( x – 2 ) =
Série 3
3 x ( 2 x + 2 ) =
3 x ( 4 x – 2 ) =
x (2y - 5x ) =
Série 4
2 ( 1 +2x )
a( 2 + b )
a(1-d)
3b(2 +1 )
3 ( x -y )
b (a^2 + c )
a (a b + c^2f)
2 xy ( x - 2y)
( x+1) [(x-3) + ( x-2 )]

II ) Développer les expressions suivantes et réduire et ordonner quand cela est possible : Nota pour « réduire » il faut avoir fait « factoriser »,il vous faudra reprendre ce travail qu’après avoir traité cet objectif !

Série 2	développer	Réduire	Ordonner
( x +1 ) ( x -2 ) =
x +5 ) ( 3x -2 ) =
( -4x +3 ) ( 5 x - 6 ) =

Série 3	développer	Réduire	Ordonner
( x +5 ) ( x + 5 ) =
( x -5 ) ( x - 5 ) =
( x +5 ) ( x - 5 ) =

Série 4	développer	Réduire	Ordonner
( 2x +3 )^2 =	Voir les I.R.
( -3x +1 ) ^2 =	Voir les I.R.

Série 5	développer	Réduire	Ordonner
( a + b )^2 =	Voir les I.R.
( a - b )^2 =	Voir les I.R.
( a + b ) ( a - b ) =	Voir les I.R.

Développer , réduire , ordonner

A = (x +5 ) ( 2 x – 1 ) – 3 (2x – 5 )

INTERDISCIPLINARITE

Géométrie

Calculer l'aire d'une surface	Longueur	largeur
Rectangle	L = x +a	l = x - b