COURS

L’appareil   utilisé pour faire penser à  l’égalité   est   la balance Roberval. 

L’aiguille est à zéro ; Les plateaux sont équilibrés.

La balance est en équilibre lorsque « Ce qu ‘il a sur le plateau de droite est égal à ce qu’il y a sur la plateau de gauche. »

A PROPOS Du  mot  « TRADUIRE » en langage littéral , ou traduire en langage symbolique mathématique :

Tout ce qui est « exprimé »  peut être traduit  dans différentes formes .( écrite , orale , ou objet « fabriqué »  ( manufacturé , peinture , sculpture )   ces traductions visent à transmettre des informations .

          En mathématique , en cours magistral ,  on passe facilement d’un langage oral au langage écrit .

 Ce langage graphique « écrit » utilise  deux autres  formes d’écriture  complémentaires  ( le dessin codifié et des  « signes » ou de  « symboles » ) :

                           - dessin :  pour éviter l’écriture de textes trop longs; il est utilisé « le dessin », on parle souvent de « représentations graphiques ».

Les connaissances de bases en géométrie sont importantes ,elles codifient  les points et leur position ; les traits  et leurs positions ; …..

Toutes les écritures utilisent des symboles :

                         Comme dans la langue écrite  pour communiquer ( en français par exemple ) on utilise  des signes que l’on nomme  «  Les alphabets » :   utilisation de l’alphabet  (grec , latine ) en complément de notre langue « locale » («le  français » pour les français  , «l’ anglais »  pour les anglais , «le  chinois » pour les gens de ce pays )

                           Il en est de même en mathématiques :

 On apprend d’ abord à connaître , reconnaître , dessiner  et nommer les  signes  numériques (les chiffres), et opératoires …. ( signes tels que   : ; + ; / ; ….)

   Pour communiquer  en mathématique , il est très souvent demandé de passer d’une forme d’expression  à une autre.

Exemple : on écrit « parallèle » on dessine « // » qui signifie  « parallèle ».

IL faut donc savoir  passer d’un  langage littéral  à  un langage mathématique         et vis et  versa :

               On considérera que ce qui  est traduit en langage littéral  est ce qui peut s’écrire avec des mots (des lettres ou des noms).

               On considérera que ce qui  est traduit en langage mathématique   est ce qui peut s’écrire avec des symboles mathématiques (lettres , signes ;chiffres ;......).

           Dans tous les cas il faut savoir décrypter et traduire et passer d’une forme à l’autre.

           On peut passer successivement d’un modèle à l’autre :

 Couramment  dans un problème mathématique  doit savoir passer   d’une équation , à un tableau numérique , à une représentation graphique dans un repère et vis versa .

  Parfois le problème est posé à partir d’un texte ,  d’une équation ;  d’ un tableau numérique ou  avec une représentation graphique dans un repère. Il faut souvent savoir passer de l’un à l’autre , parce qu’il faut répondre aux questions posées.

 «     s’appelle une égalité. 

Elle exprime que ce qui est de part et d’autre du signe « = » est  de la même valeur.

En effet : on calcule «  » , on trouve «  » ; puis on calcule     «  » , on trouve «  »

On dira que  «  1 » est « une phrase mathématique » ; et cette phrase est   « vraie ».

 Le verbe de cette phrase est le signe « = » qui se lit « égale » ou « est égal à.. »

On retiendra :

Une égalité est une phrase mathématique qui se présente sous la forme « a = b »  ou « A = B » dans laquelle « A » et « B » représente le même objet mathématique .

Remarques :

·      Quand on écrit  « A = B » ,on sous entend que cette phrase est « vraie ».

·      Si la phrase « A = B » n’est pas vraie , on écrit : «  A  B » .

·      «  A  B » .se lit «  A n’est pas égal à B »   ou  «  A est différent de B »

Vocabulaire :

Dans toutes les égalités :

-          ce qui s’écrit à gauche du signe « = »égal s’appelle « le membre de gauche » ou « premier membre »

-          ce qui s’écrit à droite  du signe égal « = »s’appelle « le membre de droite  » ou « deuxième  membre »

Propriété 1 :

« a » et « b » représente le même nombre , On peut écrire indifféremment les égalités  «  »  ou  «  »

Propriété 2 :

 désignant des nombres ;

Si  ,  alors  et « c » représentent le même nombre ; on peut dons écrire  « ».

Quand  ; on écrit parfois , par convention, «  »

Exercice : Dans un devoir , un élève a écrit  «  8  5 = 40 +7 =  47 »

Expliquer (oralement ) pourquoi c’est faux et donner une bonne écriture.

  Le signe de reconnaissance de l’égalité est  le symbole  :          «         »

Ce qui est incontestable : ce qu’il y a « à droite » du signe est égale à ce qu’il y a « à gauche » du signe égal .

     En sciences : l’égalité est représentée (symbolisé)   par la  balance de Roberval . Après l’, équilibrage des plateaux   ( les plateaux sont horizontaux , l’aiguille réglée au « zéro ») la balance Roberval est l’image type de l’égalité dans un partage.

On dit que  , ce qu’il y a sur le plateau de gauche est égal en masse à ce qu’il y a sur le plateau de droite.

 Construction de ce symbole de l’égalité :  le symbole de l’égalité est  le tracé de deux traits forts ,parallèles ,et parallèle a la ligne d’écriture, d’environ 3 mm de longueur.

C’est le signe le plus utilisé !

Quand ce n’est pas égal : on dit « inégal »  le symbole est :¹ ; c’est ensuite que l’on peut effectuer un  classement , en ordre. ! ! !, alors que l’ on a pas trouvé l’égalité .

Attention : les expressions algébriques sont des simplifications ( écriture simplifiée ) des sommes algébriques ; il est donc impératif de savoir transformer les expressions algébriques en somme algébrique avant de rechercher  à identifier , les termes .

Souvenir :   On a apprit en calcul numérique qu’une addition contient des termes ; que les deux termes d’une fractions sont appelés  l’un «numérateur » l’autre « dénominateur ».

Ici : Nous sommes en algèbre : nous devons nous souvenir que par définition : le terme est le produit de un ou plusieurs facteurs.  

En algèbre :  une suite de termes  constitue ce que l’on appelle :  une expression algébrique.

Règle d’or à appliquer :

 Toutes les expressions algébriques sont les simplifications d’une somme algébrique. (@) ; pour identifier sans erreurs « les termes » il faut savoir transformer chaque expression algébrique en somme algébrique .

     Dans une expression algébrique :   On appelle « terme   »  un nombre  (précédé ou non d’un signe opératoire )

                      (exemples :  ….)   , ou un nombre associé à une ou plusieurs  lettres (avec ou sans exposant) 

                      ( exemples :     ² ;… ² …)  , ou une ou des lettres  (  ² ;  ² ; … ;  - x ; - a x² ….)    ;

Mais pour les identifier sans erreur   on transformera toutes les  « expressions algébriques » en « sommes algébriques .», tous les termes sont alors contenus dans des parenthèses , on dit que chaque terme est  situé à gauche  ou  et à droite du signe  opératoire   + ; dans la somme algébrique.

On dit aussi :on appelle « terme algébrique » une expression formée d’une ou plusieurs lettres , ayant ou non un coefficient , et qui ne sont séparées par aucun signe + ou - ; le signe + ou – précédent ( devant )cette expression appartient au terme.

Exemples  de  termes algébriques « simplifiés »  :   ; 6 ² ; 

Que l’on devrait  écrire : 

  4 s’écrit   (+4)   ; + 5  s’écrit   ( +5)   ; - 7 s’écrit  ( -7)  ; 3a  s’écrit  ( +3a) ;  4,5   s’écrit ( + 4,5 ) ;   s’ écrit   et  6 ²  s’écrit ( + 6²) ; 

    mais aussi ………………. ( +3 ) ; ( +5  ) ;  ( +4²) ;   ( - 3 ) ; ( - 5 ) ;  ( - 4²)   sont des termes . »  écrits non simplifiés

  Commentaire:   Une somme algébrique n’est qu’une suite  d’additions  de termes  positifs ou négatifs ; on dit aussi  que Dans la somme algébrique le signe de l’addition ( + )  séparent des « termes »  

Exemple 1  :

  soit l’expression algébrique : ²  ;              devient la somme algébrique ² ) ;   ….

           qui comprend les trois termes : ²  ) ;   ( constat : les 3 termes sont positifs) 

Exemple 2  :  

 soit l’expression algébrique : - 3  +5 -  4²  ;              devient la somme algébrique ( -3 ) + ( +5 ) +   ( - 4²) ;     qui comprend les trois termes : ( - 3) ; ( +5 ) ;  ( - 4²) ; 

 ( on trouve : un terme est positif , les 2 autres sont négatifs) 

Exemple 3  :  

 soit l’expression algébrique : - 3  - 5 -  4²  ;              devient la somme algébrique ( -3 ) + ( - 5  ) +   ( - 4²) ;     qui comprend les trois termes : ( - 3) ; ( - 5 ) ;  ( - 4²) ;

( constat :on trouve   les 3 termes sont négatifs ) 

Attention : par définition ,le signe de la soustraction ne peut pas séparer  les termes ; puisque nous devons transformer  les expressions algébrique en une somme algébrique pour identifier les termes.

impératif ! :     toute expression numérique ou algébrique doit être transformée en « somme algébrique ».avant de nommer les termes.

Exemples :

Définition :

les nombres ou lettres situés  à gauche   et   ou    à droite du signe « multiplier » s’appellent  des  « facteurs ».

Attention : par convention et  pour ne pas confondre la lettre « x »  et le signe « x » (multiplier ) , en algèbre le signe « multiplier » n’est pas dessiné ,

38 est un nombre

ab  est la multiplication   « a fois b »

38a  est la multiplication : 38 fois a

2a est la multiplication « 2 fois a »

2x  est la multiplication :2 fois ixe

2ab  est la double multiplication : 2 fois « a » fois « b »

*Dans le cas de la division (ou fraction) il faudra « passer » par  la « multiplication par l’inverse »

     exemple    devient   ;        soit  « x » multiplié par  1/3

   Un terme est composé de un ou plusieurs facteurs 

        exemple:  soit l’expression     

qui devient la somme algébrique : 

                                            est un terme composé des  facteurs 

   est un terme composé  des facteurs  

                                        est ,à la fois, un terme et un facteur 

                                            est , à la fois ,un terme et un facteur    

On admettra  que tout nombre ou lettre isolé  (exemple     sont des termes et deviennent des facteurs si on les multiplie par

On considérera que ce qui  traduit en langage littéral  est ce qui peut s’écrire avec des mots (des lettres ou des noms) ou qui  peut se dire oralement.

           Dans tous les cas il faut savoir décrypter ,traduire soit une forme soit sous  une autre.

(littérale ou mathématique).

II)Passage de la forme mathématique  en langage littéral:

forme mathématique:                                                   forme  littérale:

              ( on dit)                 

pour utiliser le mot « terme » il faut transformer l’expression en somme algébrique.

ainsi on pourra lire :

Il faut au minimum  deux termes ,et il peut y avoir un ou plusieurs  facteurs communs).

          Si dans deux termes  , nous  avons des facteurs identiques nous dirons que les termes on des « facteurs communs ».

REMARQUE : Les facteurs  d’une décomposition sont « indicés » pour permettre de les identifier .

*Savoir rechercher les facteurs communs à deux ou plusieurs termes est indispensable pour savoir  « factoriser ,développer », calculer un PGCD ; rendre irréductible une fraction.

Il faut au minimum  deux termes pour rechercher un facteur commun  ( à ces deux termes)

Exemples:    Recherche des facteurs communs

Pour rechercher des facteurs communs dans une expression algébrique ; il faut :

 transformer l’expression algébrique en somme algébrique ensuite identifier les termes , dans les termes il faut décomposer les termes en produit de facteurs ( les indicer) ,et identifier les facteurs communs de même indice .

(voir le tableau ci dessous)