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TITRE :Les
"EXPRESSIONS" ET "SOMMES" algébriques. |
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Information « TRAVAUX »
Cliquer sur le mot !. |
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I ) Pré requis:
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►Information
importante :
Dans la plupart des exercices donnés au collège ou lycée , les
membres d’une équation ou inéquation sont
écrites sous forme d’une « somme algébrique
simplifiée » que l’on appelle
« expression algébrique ». Exemple (1)
: -
13 + 4,5 - 12 =
x + 3 - 37 Si
l’on doit résoudre une équation avec des nombres relatifs il faut savoir transformer
les deux membres d’une égalité ou inégalité , pour appliquer
les règles de transformation d’un nouvel « l’équilibre » de cette
égalité ou conserver le sens de
l’inégalité . (suivant les cas) . ces membres étant une expression algébrique , c’est à dire une forme simplifiée d’une somme
algébrique L’ exemple (1)
représente la forme simplifiée : ( - 13) + ( + 4,5) + ( - 12)
= + ( + 3) + ( - 37) Alors résoudre c’est rechercher , pa transformations , de trouver la valeur du nombre
relatif qui se cache dans « x »
( on doit donc rechercher le signe et la valeur absolue du nombre
relatif « x » . . |
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II ) ENVIRONNEMENT
du dossier :
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Objectif précédent : L’opposé |
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Les "EXPRESSIONS" ET
"SOMMES" algébriques.
Chapitres :
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I ) Définitions. INFORMATIONS : Que doit - on Faire : un
Calcul arithmétique ou un
calcul algébrique ? |
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II ) Abus !!! «
3 » n’est pas égal à (+3) . |
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II) Savoir transformer une expression algébrique en somme algébrique . |
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A la fin : Devoir . |
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IV) INFORMATIONS
« formation leçon » :
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TEST |
Travaux auto - formation. |
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Corrigé
des travaux auto - formation. |
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Contrôle
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évaluation
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V )
DEVOIRS ( écrits):
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Devoir Formatif « Contrôle :
savoir » ; ( remédiation) |
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Devoir certificatif : ( remédiation ) |
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remédiation : ces documents peuvent être réutilisés (
tout ou partie) pour conclure une formation .
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Titre |
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N°3 |
I )Préambule « questions de vocabulaire » :
Quand dit-on
que l’on fait
« un calcul
arithmétique » ? ou Quand dit-on que
l’on fait « un calcul algébrique » ?
Dans le premier cas ( dans un calcul arithmétique) le résultat ne peut pas être un nombre
négatif ( c’est donc un résultat
positif) ; dans le second cas ( le
calcul algébrique) le résultat peut -
être un nombre positif ou un nombre
négatif ,( le résultat est donc un nombre dit « relatif »).
On dit souvent de ne pas confondre le signe + de
l’addition avec le signe + du nombre relatif ………..
·
Comment peut -on savoir si
le signe + est le signe de l’addition ( dit aussi « signe opératoire ») ou si
le signe + est le signe qui accompagne une valeur absolue ?
La réponse à cette question est obligatoirement dans l’énoncé de l’exercice.
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Si les nombres appartiennent à l’ensemble |
On fait un calcul dit : |
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I ) |
- des nombres entiers ( N
) |
« calcul arithmétique » ;
pas de difficultés particulières autres celles de savoir effectuer les 4 opérations de bases. |
|
- des nombres décimaux ( D ) |
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II) |
- des nombres entiers relatifs ( Z
) |
« calcul algébrique » , dans ce cas il faudra apprendre toutes les règles de calcul concernant
l’addition , la soustraction ,la multiplication et la division de deux
nombres relatifs de même signe et de signe contraire ; |
|
- des nombres décimaux relatifs ( D ± )
|
► Ainsi , on nous donne
l’énoncé suivant : soit
2 nombres entiers naturel
« 3 et 7 » calculer la somme de ces deux nombres . On conclut facilement que nous devons
faire une simple addition ; l’opération
est : 3 + 7
► Ainsi , on nous donne
l’autre énoncé suivant : soit
2 nombres entiers relatifs positifs dont la valeur absolue est « 3 et 7 »
calculer la somme de ces deux nombres .
On conclut facilement que nous devons faire l’addition de
deux nombres relatifs :
L’opération s’ écrira : ( + 3 ) + (+ 7
) =
ou ( + 7 ) + ( + 3 )
=
► Ainsi
, on nous donne l’autre énoncé
suivant : soit 2 nombres entiers relatifs , le premier est positif
sa valeur absolue est « 3 » , le second est
négatif et sa valeur absolue est
« 7 » calculer la somme de ces
deux nombres . On conclut facilement que
nous devons faire l’addition de deux
nombres relatifs :
L’opération s’ écrira : ( + 3 ) + (- 7 )
= ou ( - 7 ) + ( + 3 )
=
En calcul algébrique , les calculs s’effectuent avec uniquement des nombres
relatifs.
Un nombre décimal "non relatif " n’est jamais précédé d’un
signe +;.
En calcul algébrique nous devons toujours obtenir
comme résultat : un nombre relatif.
Attention il est faux de dire que l’ écriture d’un nombre relatif positif peut se simplifier !!!!!! » .
► Les élèves ont appris par définition qu ‘un
nombre entier est un alignement horizontal de chiffres ,
que c’est nombres sont séparés par des points virgules.
Exemples : 3 ; 35 ; 876 ;
1987065 ; …….
► Les élèves ont appris par définition qu ‘un
nombre décimal est un alignement
horizontal de chiffres deux de ses chiffres sont séparés par une virgule , que c’est
nombres sont séparés par des points virgules.
Exemples :
0, 3 ; 35 , 00 ; 8 ,
76 ; 198, 7065 ; …….
►Les élèves ont appris par définition qu ‘un
nombre entier relatif est un alignement
horizontal de chiffres appelé valeur absolue , précédé
par un signe + ou - ,le tout dans deux
parenthèses, que c’est nombres relatifs
sont séparés par des points virgules.
Exemples :
( - 3 ) ; ( + 3)
; ( + 35) ;
( - 876) ; ( +
1987065) ; …….
► Les élèves ont appris par définition qu ‘un
nombre décimal est un alignement
horizontal de chiffres deux de ses chiffres sont séparés par une virgule , que c’est
nombres sont séparés par des points virgules.
Exemples :
( + 0, 3) ; ( - 0,03
) ; ( + 35 , 00 ) ;
( - 8 , 76 ) ;
( + 198, 7065 ) ; …….
Lorsque
nous serons amenés à effectuer des
opérations avec les nombres relatifs , nous devrons retenir et appliquer des « théorèmes » nous devrions transformer les
expressions données dites
« simplifiées par convention » en somme de nombres
relatifs.
On ne peut
pas dire sans précaution
oratoire que « 3 » est
l’écriture simplifiée du nombre
relatif (+ 3) .
Dans un
sens : le
« nombre entier » « 3 » n’ a pas d’égal dans les nombres relatifs :
Dans l’
écriture d’un nombre relatif « 3 » est la valeur absolue des nombres relatifs dits « opposés » : « (+
3 ) » et « ( - 3 ) »
Dans l’autre sens : la valeur absolue « 3 » : D’ailleurs en
algèbre si un nombre relatif
( que nous nommons « x »)
à pour valeur absolue « 3 » nous devons dire que « x » est le représentant
de deux nombres relatifs : x = ( - 3)
ou x = (+3)
II ) il
faut apprendre à effectuer l’
écriture inverse d’une simplification d’un nombre relatif
:
a) le nombre « 3 » nous le transformerons en nombre
relatif « (+3 ) » .
|
Soit le nombre relatif |
a pour forme simplifiée |
Et |
La forme simplifiée |
Devient le nombre relatif |
|
|
( + 3 ) |
3 |
3 |
( + 3 ) |
||
|
( - 3 ) |
- 3 |
- 3 |
( - 3 ) |
||
|
|
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|
b) dans une suite de nombres , le « - 3 » sera mis
« entre parenthèses » ,c’est à
dire ( -3 ) , ensuite ferons précéder ce nombre « entre
parenthèses » par le signe
« + » pour la forme
suivante «……. + ( - 3 ) » , (
nous transformons une soustraction en une addition «…….. + ( - 3
) ».)
c) si nous avons une suite de nombre séparés par
des signes + ou - ; prenons par exemple les 3 types d’
expressions « 3 +
5 » ; « 3 - 5 » et « - 3 - 5 »
► Exemple 1 : Nous remplacerons l’expression
3 + 5 par la
somme : (+3 )
+ ( + 5 )
► Exemple 2 : La soustraction de deux nombres
entiers (un petit moins un grand
) : 3 - 5 est , par définition « impossible »
, pour qu’un calcul soit possible on transformera cette « soustraction » en une
somme de deux nombres
relatifs : (+ 3 ) + ( -
5 ) ; nous remplacerons l’expression 3
- 5 par la somme : (+3 ) + ( - 5 )
► Exemple 3 :
Et l’écriture - 3 – 5 devient la somme de deux nombres
négatifs ( - 3 ) + ( - 5
)
Autres
rappels de conventions d’écriture :
En arithmétique le symbole opératoire de la
multiplication est la croix de saint André . ( ce signe est appelé : croix de saint André ,
c’est la croix rouge que l’on trouve sur les panneaux
triangulaires de signalisation , ce panneau signale le croissement de deux
routes de même importance)
En algèbre et pour éviter tout risque de confusion
entre la « croix de saint
André » et la lettre « x » utilisée pour
désigner une
« inconnue » , il n’y aura pas de symbole
opératoire pour désigner qu’il faut faire une multiplication .
► Le signe « multiplié » n’existe plus en algèbre :, on
admettra simplement que ce signe
existe !!!!
les principaux exemples
types sont les multiplication suivantes
: ab ; 3x ; 2ab ; 7 xx
…..
« ab » lire a fois b
; « 3x » lire 3 fois ixe ; « 2ab » ;
lire 2 fois a fois b ….. pour « 7
xx » on écrira 7 x²
;
et pour
49 x² on pourrait écrire 7² x²
ou (7x) ²
►Ne pas confondre
« x » et « ´ »
Exemples: la multiplication
du nombre « a » par le nombre « b » ne s’’ écrira
pas « a x b » mais
« ab » :
la multiplication du nombre « 3 » par le nombre
« b » ne s’ écrira pas « 3 x b » mais
« 3b » :
la multiplication du nombre « 2 » par le nombre
« x » ne s’ écrira pas « 2 x x » mais
« 2 x » :
la
« x »
(lire : la croix)
étant réservé a la lettre « x (ixe)»
►Voir le
cas : deux parenthèses
« se tourne le dos » : ( ....... )
(.......... ) ,
Lorsqu’il n’y a pas de signe entre une parenthèse
fermée et une parenthèse ouverte , nous somme en présence d’une multiplication
Exemple 1 : ( 5 ) ( 3) ; lire « 5 fois 3 »
Exemple 2 : ( 2 x + 1) ( 2 + x ) ;
lire : ( 2 x + 1) fois ( 2 +
x )
dans ce cas il faut savoir que les parenthèses sont
séparés par le signe « multiplié » ,par
convention ce signe n’est pas écrit. (toujours pour les mêmes raison que précédemment, ne pas le
confondre avec la lettre « x » appelé « variable ».
Se souvenir :
·
le résultat de l’addition s’appelle « la somme »
·
le résultat de la soustraction s ’appelle « la différence »
·
le résultat de la multiplication s’appelle « le produit »
·
le résultat de la division s’appelle « le quotient ».
|
|
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Commentaire
La forme simplifiée d’une somme algébrique est une expression algébrique.
En algèbre ,il n’est donné à traiter que des expressions algébriques.
|
Définition d’une expression algébrique:
Une expression algébrique est un ensemble de nombres relatifs et de
variables sur lesquels sont indiquées des opérations à effectuer. |
|
Définition d’une variable: Une variable est une lettre ,elle représente généralement ,en
sciences physique ,une quantité qui peut prendre diverses valeurs. |
A retenir :
Toutes les expressions algébriques doivent se transformer en somme algébrique.
Exemples d
’expressions algébriques:
a) construites uniquement avec des nombres:
6 + 10,5 - 15,2 - 13,5 + 3,8 ou
x = -
30,05 + 7 -
11,1 + 1,25 - 18,2
b) Construite avec des chiffres et des lettres (les lettres sont appelées variables )
3x + 5
7 a
x2 - 3 by
(voir
niveau sup. une expression algébrique
est dite « entière » ; rationnelle ; irrationnelle)
|
Définition d’une somme algébrique: Une somme algébrique est
une addition de termes (parenthèses contenant des signes
positifs ou négatifs et des chiffres,
situées à droite et à gauche du signe
opératoire + ) |
· Les termes sont entourés par des parenthèses
,ces parenthèses sont séparés par le signe opératoire +.
·Toutes les expressions algébriques se transforment en somme algébrique.
·Savoir transformer une EXPression en SOMme ALgébrique
·Toute expression algébrique doit se
transformer en somme algébrique .
·Intérêts de posséder ces connaissances :
a) pour pouvoir identifier
« les termes » (voir Obj. EG 1)
b) pour appliquer les règles
concernant les opérations avec des nombres décimaux
|
|
II) transformation d’une suite
expression algébrique en somme algébrique: |
|
A )
Transformation d’une suite d’opérations contenant des additions ou
soustractions de nombres( expression algébrique):
|
Procédure pour transformer une expression en
somme Pour transformer une expression en somme algébrique il faut :
1) mettre le signe + en tête d’expression ;s
’ il est manquant
2) mettre les chiffres (qui
constituent une valeur numérique) et le signe qui le précède ( signe + ou - dans des parenthèses. ( précède veut dire « devant ) 3 )Séparer les parenthèses par le signe
opératoire +
4) rendre compte. |
I ) 8 +3-13 devient (+8) + (+3) +(-13)
II) -5,2 -6
+12 devient (-5,2) + (- 6 ) + (+ 12)
III ) 4 +5 + 3,2 - 8 - 17,2 devient
:
1 ° ) le « quatre » en tête d’expression devient
(+4)
2 °) (+4)....(+5)
....(+3,2).....(-8)...... (-17,2)
3°) (+4)..+..(+5) ..+..(+3,2)..+...(-8)...+...
(-17,2)
l’expression 4 +5 + 3,2 - 8 - 17,2 devient
(+4)+(+5) +(+3,2)+(-8)+(-17,2)
autres exemples :
|
L’expression algébrique
devient : |
La somme algébrique. |
|
4 -5,3 +7 |
( + 4 ) + ( -5,3) + ( +7) |
|
- 6 -7 +
5 |
( -6 ) + ( -7
) + ( +5 ) |
|
2x -
8 |
( + 2x ) +( - 8 ) |
|
-3,5 x +
9 |
( -3,5 x ) + ( + 9 ) |
|
x - 7,6 + 5,3 |
( + x ) + ( - 7,6) + ( + 5,3 ) |
Et encore d’autres exemples :
|
l’expression algébrique |
devient la somme algébrique |
|
« 6 + 10,5 - 15,2 - 13,5 + 3,8 » |
« (+6) + (+10,5) + ( -15,2
) + (-13,5) + (+3,8) » |
|
x = ( -
30,05)+ (+ 7)+(- 11,1)+( +
1,25)+(- 18,2) |
B ) Transformation d’une
suite d’opérations contenant des additions , des soustractions , et des
produits de facteurs (multiplication de
nombres) ; ou divisions
Identifier les multiplications ou
divisions ;et les effectuer ;ensuite
procéder comme ci dessus :
I) 3,1 + 5
7,8 - 9 6,7 ; 3,1 + 39 - 60,3
devient (+3,1) + (+ 39 ) + (- 60,3)
II) - 3,1 +
5,6 / 7- 9 6,7 ; -3,1 + 0,8- 60,3 devient
(-3,1 ) + (+ 39 ) + (- 60,3)
C )Autres cas les nombres sont remplacés
par des lettres :
a- b =
a + ( - b )
a – b c = a + ( - b c
)
a – b ( c + d ) = a + (– b
( c + d ))
D) Transformation
d’expression contenant des « x »
Exemple 1:
L’expression
algébrique 3x + 5 devient la somme algébrique (+3x) + (+5)
Exemple 2:
‘’ ‘’ - 5x2 + 3x -6 devient (-5x2) + (+3x)+(-6)
Exemple 3:
7 a x2 - 3 by devient (+7ax2 ) + ( -3
by)
exemple 4 : 3x -12y + 
-15
devient (+3x) + (-12y) + (+ )
+ (-15)
Remarquer: nous avons tracé des parenthèses et ensuite séparé les
parenthèses par le signe opératoire + ;
ensuite nous avons placé les groupes de lettres et chiffres précédé de
leur signe.(en tête d’expression (voir 3x et
7 ax2) dans les parenthèses.
On remarque l’absence de signe, le signe + avait été supprimé ,par
convention, lorsque la somme algébrique a été transformée en expression
algébrique.
Dans
l’expression algébrique les signes
« + » et « - » ne sont pas des signes opératoires
mais des signes de nombres relatifs;
|
|
III ) SIMPLIFICATION
D’UNE SOMME ALGEBRIQUE EN EXPRESSION ALGEBRIQUE. |
|
Un nombre relatif est
appelé "nombre algébrique " en
algèbre.
A) SIMPLIFICATION D’UN NOMBRE
RELATIF :
Positif : ( +3) Je peux
simplifier un nombre relatif positif ,pour cela il suffit de supprimer les
parenthèses et le signe + se trouvant
entre les parenthèses
Donc
( +3) devient "simplifié" 3 ;
mais attention danger !il faut savoir faire l' inverse..
Négatif : ( -3) Je peux simplifier un nombre relatif
négatif ,pour cela il suffit de
supprimer les parenthèses et conserver le signe - se
trouvant entre les parenthèses
Donc
( -3) devient "simplifié" -3
; mais attention danger !il faut savoir faire l' inverse. .SOS cours
B) SIMPLIFICATION D’UNE SOMME ALGEBRIQUE EN
EXPRESSION ALGEBRIQUE :
Je peux simplifier une
somme algébrique ,pour cela il suffit de supprimer les
parenthèses et les signes + se trouvant
entre les parenthèses et en tte d’expression. ( mais attention danger
il faut savoir faire l ' inverse .
Remarque importante:
la soustraction n’existe pas en
calcul algébrique (voir l’objectif concernant la soustraction de deux nombres
relatifs),cela permettant de comprendre pourquoi en
algèbre on parle de « somme algébrique ».
|
La somme algébrique après simplification devient : |
L’expression algébrique. |
|
( + 4 ) + ( -5,3) + ( +7) |
4 -5,3 +7 |
|
( -6 ) + ( -7 ) + ( +5 ) |
-6 -7 +5 |
|
( + 2x ) +( - 8 ) |
2x - 8 ; |
|
( -3,5 x ) + ( + 9 ) |
-3,5 x + 9 |
|
( + x ) + ( - 7,6) + ( +
5,3 ) |
x - 7,6 + 5,3 |
INTERDISCIPLINARITE :mettre en équation un problème de vie quotidienne (vu en arithmétique) et pour la résolution voir « équation du premier degré :
problèmes d’algèbre»
|
1°) Simon possède 220 billes , réparties
dans 5 petits sacs. Si l’on ajoutait 7 billes au premier sac , 3 au deuxième et qu’on retranchât 3 billes du quatrième et 9 du cinquième , les cinq
sacs renfermeraient le même nombre de billes. Calculer le contenu de chaque sac . |
|
|
2° Trois chasseurs
conviennent de se partager également le gibier qu’ils tueront. A la fin de la
journée , ils n’ont tué qu’un perdreau et un lièvre.
Le premier prend le perdreau ; le second
prend le lièvre et donne 30 F. au premier et 150 F. au troisième .De cette façon les parts sont égales. A quels prix ont été estimés le perdreau et
le lièvre ? |
§ |
|
3° ) On coupe un fil de fer de 45 m en 2 parties de
manière que l’une ait 9 m de plus que l’autre. Trouver la longueur de chaque
partie. |
§ |
|
4°) J’ai 17 objets dans mes
deux mains .
Combien ai- je dans chaque main , s’il y en a 5 de
plus dans la main gauche ? |
§ |
|
5°) Deux paniers contiennent 180 pommes , il
y an a 20 de plus dans le premier. Quel est le
contenu de chaque panier ? |
§ |
|
6°) Caroline partage 54 euros entre Lucile et Claire ,
de manière que Lucile ait le double de Claire. Quelle est la somme d’argent
que recevra chacune ? |
§ |
|
7°) Alexandre fait deux tas avec ses 35 billes. Le second est 4 fois plus
gros que le premier. Combien chaque tas compte-t-il de billes ? |
§ |
|
Leçon |
Titre |
|
N° |
TRAVAUX d
’ AUTO - FORMATION sur Les "EXPRESSIONS" ET
"SOMMES" algébriques. |
*1°) Donnez la définition d’une expression
algébrique.
2° ) Donner la définition de « variable »
*3° ) Donner la définition
de « somme algébrique ».
4° ) Quelle relation y a t - il entre
« somme algébrique » et « expression algébrique »?
*5° ) Pour faire du calcul
algébrique ,que doit-on faire de l’expression algébrique ?
*6°) Donner la procédure permettant de transformer
une expression algébrique en somme algébrique.
TRAVAUX N°
d ‘ AUTO - FORMATION EVALUATION
I ) Remettre sous forme relative les
nombre suivants:
|
Exercices |
Réponses |
|
|
3 |
|
|
|
-5,6 |
|
|
|
II ) Transformer toutes les expressions suivantes en somme algébrique et
calculer |
Réponses |
|
|
9 + 5 |
|
|
|
-9 - 7 |
|
|
|
5,7 - 17,4 |
|
|
|
8 + 5 - 15,7 |
|
|
|
+5 +16,3 +
34 - 78 - |
|
|
|
9 |
|
|
|
8 - 4 |
|
|
|
- 9 - 6 |
|
|
|
- 8 |
|
|
|
1,3 / 2 + 7 - 15 |
|
|
Aucun calcul n ' est demandé : Pour faire les calculs il faut avoir fait le module sur les décimaux relatifs :
Transformer les "expressions algébriques" en "sommes
algébriques"
(on
dirait aussi "écris chaque écriture de manière qu'il n'y ait que des
additions)
|
Série 1 |
|
|
|
Exercices |
Votre
résultat: |
|
|
3 - 7 |
|
|
|
3 - 2 |
|
|
|
- 2 - 3 - 5 |
|
|
|
Série 2 |
|
|
|
Exercices |
Votre
résultat: |
|
|
8 - 5 - 11+ 41 |
|
|
|
25 - 7 - 3 -
9 |
|
|
|
Série 3 |
|
|
|
Exercices |
Votre
résultat: |
|
|
2 - 6 + 7 - 4 |
|
|
|
- 7 - 2 + 58 - 23 - 8 |
|
|
|
Série 4 |
|
|
|
Exercices |
Votre
résultat: |
|
|
- 1 - 2 + 3
= |
|
|
|
- 1 + 2 -
3 = |
|
|
|
-1 - 2 -
3 = |
|
|
|
Série 5 |
|
|
|
Exercices |
Votre
résultat: |
|
|
A = - 7 + 2 – 5 – 11 + 3 - 7 |
|
|
|
B = 7,3 -
2,3 - 5,6 - 7,2 + 12 + 15,7 |
|
|
|
C = 7 +
5 – 3 – 9 – 8 + 15+ 3 - 2 |
|
|
|
Evaluation N°2 : Devoir en plus !
plus ! |
|
DEVOIR
Devoir : Répondre sur une
feuille aux questions du contrôle et
faire les exercices
CONTROLE:
*1°) Donnez
la définition d’une expression algébrique.
*3° )Donner la définition de « somme
algébrique ».
*5° )Pour faire du calcul algébrique ,que
doit-on faire de l’expression algébrique ?
*6°) Donner la procédure permettant de transformer une expression
algébrique en somme algébrique.
EVALUATION N°1:
NIVEAU I
I ) Remettre sous forme d’un nombre
relatif les nombre suivants:
|
Exercices |
Réponses |
|
|
3 |
|
|
|
-5,6 |
|
|
|
II ) Transformer toutes les expressions suivantes en somme algébrique et
calculer |
Réponses |
|
|
9 + 5 |
|
|
|
-9 - 7 |
|
|
|
5,7 - 17,4 |
|
|
|
8 + 5 - 15,7 |
|
|
|
9 |
|
|
|
8 - 4 |
|
|
|
- 9 - 6 |
|
|
|
- 8 |
|
|
|
1,3 / 2 + 7 - 15 |
|
|