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Notion sur les opérations en arithmétique

 

 

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L’ addition

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La multiplication dans N

Tableau   Sphère metallique     20

>  Activités sur la multiplication avec des nombres entiers

 

DOSSIER: LA MULTIPLICATION

1.     Idée de la multiplication .

2.   DEFINITION GENERALE 

3.   La table de Pythagore

4.   PRATIQUE DE LA MULTIPLICATION :  ( 5 cas)

5.      PREUVE de la multiplication :

 

 

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité

                        Boule verte

 

Corrigé Contrôle  

Corrigé évaluation  

 

 

   

 

 

 

COURS:

 

 

 

Idée de la multiplication :

 

Je voudrais compter le nombre de pommiers d’un verger composé de 7 rangées de 10 arbres chacune :

1re solution : je pourrais  simplement les compter un par un 

2e solution : je puis dire une rangée  à 10 arbres ; deux rangées en auront 10 +10 ; trois , 10 + 10 +10 et ainsi de suite ; c’est aussi une addition .

3e je puis dire également : 7 fois 10 font  70 .

L’addition ainsi abrégée s’ appelle  «  multiplication »

 

  

Le nombre 10 que je répète 7 fois  s’appelle « multiplicande »

Le nombre qui m’indique combien de fois je dois le répéter est le « multiplicateur ».

Le nombre « 70 » qui donne la quantité d’arbres s’appelle « produit »

 

Le multiplicande et le multiplicateur sont les « facteurs » du produit.

 

DEFINITION GENERALE :

 

 

La multiplication est une opération par laquelle , étant donnés deux nombres , l’un appelé « multiplicande » et l’autre « multiplicateur » , on en cherche un troisième appelé « produit » qui soit au multiplicande ce que le multiplicateur est à l’unité .

 

Remarques :

I )  d’après cette définition la multiplication équivaut à une addition d’autant de fois le multiplicande qu’il y a d’unités dans le multiplicateur .

 

II) le produit n’est pas nécessairement plus grand que le multiplicande. Il sera plus grand si le multiplicateur est plus grand que l’uni ( > 1  et plus petit si le multiplicateur est une fraction ordinaire ou décimale ( < 1) .

 

III) On répète la quantité indiquée par le multiplicande , le produit est donc de même  nature que lui et le multiplicateur est toujours considéré comme abstrait .

 

                Le produit a parfois une signification  concrète  différente de celle de chacun des facteurs . Cela se  présente , en particulier , dans le calcul des « aires » et des « volumes » ; dans l’évaluation de certaines grandeurs électriques

 

 

a)   Ainsi pour obtenir l’aire d’un rectangle de 5 m de long sur 4 m de large ; on l’ exprime   par le produit :

   5 ( mètres)   4 (  mètres) = 20 mètres carrées

 

b)  La  « puissance » d’un appareil  électrique ;  d’intensité     de  5 ampères et de « tension » 220 volts égale :

 

  5 ( ampères)  220 ( volts)  =  1100 watts

 

remarque : il convient dans tous les cas d’indiquer correctement les opérations .

Ainsi on n’écrira pas  5 m2     4 =  20 m2

 

Mais :   5 m  4m = 20 m2

 Ou   1 m2   5  4 =  20 m2

 

LA TABLE DE PYTHAGORE :

 

Pour multiplier un nombre par un autre nombre , il faut savoir de mémoire la table de multiplication. Cette table , dite de  « Pythagore » , renferme les produits de deux quelconques des neuf premiers nombres .

 

 

PRATIQUE DE LA MULTIPLICATION :  ( 5 cas)

 

Cas 1 : le multiplicateur a un seul chiffre : il suffit de multiplier chaque chiffre du multiplicande par celui du multiplicateur en commençant par la droite et de porter toujours la retenue à la colonne suivante .

 

Cas 2 : Le  multiplicande  et le multiplicateur ont plusieurs chiffres . On fait autant de produits partiels qu’il y a de chiffres au multiplicateur ; on place les  uns sous les autres les produits partiels obtenus en ayant soin d’écrire chaque fois le premier chiffre du nouveau  produit sous le chiffre correspondant du multiplicateur . Le produit des dizaines par les unités  donne en effet des dizaines qu’il faut placer sous les dizaines ; le produit des unités par les centaines donne des centaines qu’il faut de même mettre sous les centaines , etc.

 

Cas  3e Le multiplicande et le multiplicateur sont terminés par un ou par  plusieurs zéros .  

On fait la multiplication sans tenir compte de ces chiffres , puis on place à la droite du produit autant de « zéros » qu’en ont les deux facteurs réunis .

 

Cas 4e  : le multiplicateur a un ou plusieurs zéros entre ses chiffres . Au lieu de multiplier par zéro tous les chiffres du multiplicande , on se contente d’écrire un zéro sous le zéro du multiplicateur et on passe à la multiplication par le chiffre suivant ;

 

Cas 5e : L’un des facteurs ou tous les deux sont des nombres décimaux .

 On fait la multiplication comme s’il s’agissait de nombres entiers , puis on sépare par une virgule sur la droite  autant de chiffres décimaux que les deux facteurs réunis en comptent .

 

Remarques :

 

1°)  le produit de zéro par un chiffre  quelconque est toujours « zéro ». En effet multiplier « 0 » par 3 ; par exemple , équivaut à 0+0+0 = 0 . De même multiplier par zéro équivaut à ne pas le prendre  et par conséquent le produit est encore « zéro ».    Le zéro est appelé « élément absorbant »

 

2°) On peut intervertit les facteurs  sans altérer le produit .

 

Au lieu de compter 7 rangées de 10 arbres , je puis compter 10 rangées de 7 arbres et la quantité est la même ; puis que dans les deux cas tous les arbres ont été comptés .

 

PREUVE de la multiplication :

 

Pour se rendre compte si une multiplication est exacte :

1°) on peut répéter l’opération  en intervertissant les facteurs , le résultat doit être le même.

2°) utiliser la calculatrice .

3°) On peut faire la preuve par « neuf » .

4°)  On peut diviser  le produit par l’un des facteurs et l’on doit trouver l’autre .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS : la multiplication .  ( avec des nombres entiers)

 

 


CONTROLE

 

 

1.    Que signifie le symbole :

 

2.    Comment appelle - t on les nombres situés à droite et à gauche du signe 

 

 

3.    Que pouvez-vous dire sur ce qu ‘est un multiplicande et un multiplicateur ?

 

4.    Donner la disposition pratique de la multiplication .

 

 

 

 

 

 

 

 

 


EVALUATION :

 

EXERCICES à  faire sur feuille ; la  vérification se fera ensuite à la calculatrice.

 

I )  Effectuer les multiplications  suivantes :

 

 

 

 

 

 

 

 

a

16 8 =

c

756 =

d

45 7  =

e

830 9 =

f

256 27 = 

g

485 58  =

h

849 95  =

i

358 24 =

j

1 694 58  =

k

3 27443  =

l

2 38039  =

m

8 76473 =

n

76 465932 =

p

46 178375  =

q

76 548654 =

r

56 381784 =

 

II )  Calculer:

 

 

 

 

 

a

425 4 =

b

237  5 =

c

807 46 =

d

198 27 =

e

9 087 97 =

f

2 783 64 =

g

54 639499 =

h

98 569 531 =

 

III  ) Calculer:

 

 

 

 

 

a

8317 =

b

217 4 =

c

573 81 =

d

78297 =

e

6 781  21 =

f

147018 =

g

20 682 702 =

h

80 987 614 =

 

IV )  Calculer

 

 

 

                                                     

a

630 3 =

b

427  6 =

c

632 19 =

d

942 72 =

e

4 29127 =

f

5 431 86 =

g

56 045 792 =

h

59 234 321 =

 

 

INTERDISCIPLINARITE:

 

Classe CM

 

a) Exemple : dans une semaine , il y a 7 jours . Combien y a-t-il de jours dans 4 semaines ; dans 6 semaines ; dans 8 semaines ?

Pour 4 semaines : 7 + 7 + 7 + 7 = 28 ; soit  28 jours

pour 6 semaines : 42 jours

Pour 8 semaines : 56 jours

1.     

 

b) Un jardinier achète 9 plants de rosiers à 13 €  pièces et trois sapins à 97 € .Quel est le montant de sa dépense ?

2.     

 

c) Pour sa classe , un instituteur commande 25 livres à 57 € , 20 cahiers de travaux dirigés à 19 euros et un guide du maître à 89 €. Quel est le coût de sa commande ?

3.     

 

d) Une pommeraie compte 135 arbres . Cette année , le propriétaire estime la production de chaque pommier à 125 kg. Quelle  masse de fruits produira le verger ?

4.     

 

e) Un ouvrier gagne  7325 € par mois. Combien gagnera-t-il en un an si le mois d’août lui est payé double ?

5.     

f)Une femme de ménage payée 43 € de l’heure travaille 8 heures par jour et 5 jours par semaine. Que peut-on calculer ?

6.     

 

g) Un coureur de fond prépare son plan d’entraînement annuel : lundi : 10 km , mardi : 20 km ;mercredi : 10 km ; jeudi : 15 km ; vendredi : repos ; samedi : 25 km ; dimanche : repos. Quelle distance , en km , parcourra-t-il dans son année s’il reste au repos quatre semaines ?

7.     

 

h) Une famille de 5 personnes part aux sports d’hiver pour une semaine. Elle dépense 115 € par personne et par jour pour l’hôtel, 70 € de forfaits de ski de fond par personne pour la semaine et 800 € de frais e transport. A combien lui revient ce séjour à la montagne ?

8.     

 

 

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