L'addition avec des entiers naturels

Signe : le signe indiquant que l’on doit faire une addition est « + » (attention à ne pas confondre ou écrire cette croix : « » utiliser pour indiquer que l’on doit effectuer une multiplication ).

Résultat de l’addition : le résultat de l’addition est appelé « somme ».

La somme de plusieurs nombres est le nombre d’unités que l’on obtient en réunissant en une seule collection toutes les unités de ces divers nombres.

*Pour trouver la somme de deux nombres , on pose une addition .

L’addition est une opération :

l’opération simple de deux nombres est un calcul qui consiste soit à

Additionner : c à d ajouter des « éléments » à une somme d’éléments existants .

L’addition est l’opération qui consiste à trouver rapidement la somme de plusieurs nombres.

Attention : On ne sait faire que la somme de deux nombres.

Exemple d ‘une suite d’ addition : 3 + 5 + 7 = ? ;(ce calcul n’a pas de résultat immédiat )

procédure :

- prendre les deux premiers nombres et faire leur somme :3 + 5 = 8

- remplacer « 3 + 5 » par « 8 » dans l’opération de départ : ainsi « 3 + 5 + 7 » devient «8 + 7 »

- reste à faire le calcul : 8 + 7 = 15

2^ème solution : on aurait pu débuter par le calcul de 7+3 puis ajouter 5 à 10 = 15

3^ème solution : on aurait pu débuter par le calcul de 7+5 puis ajouter 3 à 12 = 15.

2°) Propriétés de l’addition des entiers naturels :

*Elément neutre : 3 + 0 = 3 ; 0 + 9 = 9 ; (INFO plus +++)

« n » étant un entier naturel quelconque : n + 0 = n ; on dit que « 0 » est « élément neutre» pour l’addition des nombres entiers naturels.

L’élément neutre ne modifie pas le résultat de l’addition ,

A retenir pour le calcul algébrique : « x + 0 = x »

* commutative :

5 + 3 = 8 ; 3 + 5 = 8 ; on constate alors que 5 + 3 = 3 + 5

On ne change pas la somme de deux entiers si l’on permute ces deux nombres. On dit alors que l’addition des entiers naturels est « commutative »

Cette propriété s’appelle la « commutativité » de l’addition des entiers naturels .

3°)ADDITION de deux nombres :

avec des nombres entiers naturels (et des nombres Décimaux)

a) Exemple : addition sans retenue

Combien faut –il payer pour acheter deux articles affiché respectivement :342 € et 136 € ?

Réponse : on fait la somme des deux nombres . On pose « une addition » .


	centaines	dizaines	unités		Colonne des « u » (unités) 2 + 6 = 8 ; on écrit 8 dans la colonne des unités.(en bas) Colonne des « d » (dizaines) : 4 + 3 = 7 ; on écrit 7 dans la colonne des dizaines. (en bas) Colonne des « c » ( centaines) 3 + 1 = 4 ; on écrit 4 dans la colonne des centaines . (en bas)
	c	d	u
	3	4	2	¬ terme
signe ® +	1	3	2	¬ terme
	4	7	8	¬ somme

Il faudra payer 478 € pour acheter ces deux articles .

b) Exemple : addition avec retenue

Un transporteur a parcouru 489 km lundi , 372 km mardi , 695 km mercredi et 50 km jeudi . Quelle distance a – t – il parcourue durant ces quatre jours ?

³4 ¹8 9

+ 3 7 2

+ 6 9 5

+ 5 0

1 6 0 6

Colonne des « u » : 9 + 2 = 11 ; 11+ 5 = 16 ,

j’écris 6 dans la colonne des « u » , je retiens 1 que j’ajoute à la colonne des « d »

Colonne des « d » :

1 + 8 = 9 ; 9 + 7 = 16 ; 16 + 9 = 25 ; 25 + 5 = 30

j’écris 0 dans la colonne des « d » , je retiens 3 que j’ajoute à la colonne des « c ».

colonne des « c » .

3 + 4 = 7 ; 7 + 3 = 10 ; 10 + 6 = 16

j’écris 6 sous la colonne des centaines et je place 1 dans la colonne des mille .

Le transporteur a parcouru 1 606 km en quatre jours .

REMARQUE :

On remarque qu’une addition peut avoir plus de deux termes .

On peut changer l’ordre des termes :342 + 136 = 136 + 342 = 478

On peut grouper des termes pour faire la somme :

9 + 2 + 5 = ( 9 + 2 ) + 5 = 9 + ( 2 + 5 ) = 16

= 11 + 5 = 9 + 7 = 16

c) ADDITION et utilisation du TABLEAU de numération :

remarques : chaque nombre entier à un suivant ; au lieu de dire « nombre entier naturel » on dira «entier ».

Lecture et utilisation du tableau :

par convention :

Les traits verticaux déterminent des « colonnes »,entre deux traits verticaux nous avons une colonne.

les traits horizontaux déterminent des lignes ; entre deux traits horizontaux nous avons une ligne.

L’ alignement horizontal des chiffres : 18403850739 rangé dans le tableau suivant :

Classe des milliards			classe des millions			classe des milles				classe des unités
centaines	dizaines	unités	centaines	dizaines	unités	centaines	dizaines	unités	centaines		dizaines	unités
	1	8	4	0	3	8	5	0	7		3	9

devient le nombre entier : 18 403 350 739 (remarquer l’espace entre chaque classe),et il se lit : dix huit milliards quatre cent trois millions huit cent cinquante mille sept cent trente neuf .

exemple : opération de l’ addition à partir du tableau de numération :

Procédure : (exemple :1536 + 237 = ? )

- Tracer le tableau de numération des nombres entiers (peut se faire mentalement )

- première ligne : Placer le premier nombre dans le tableau (d’abord le premier chiffre dans la colonne d’unités des unités ) (exemple 1536 )

- deuxième ligne : Placer le deuxième nombre (237) sous le premier nombre en respectant l ‘ordre de numération)

- troisième ligne : faire l’addition colonne par colonne en commençant par la colonne de droite (colonne des unités d ’ unités)

Remarque : lorsque le nombre de l ‘ addition par colonne est plus élévé que 9 ;( 6+7=13)

placer le premier chiffre du calcul dans la colonne correspondante , et rajouter « 1 » dans la colonne suivante (de gauche) et ainsi de suite à chaque fois que cela se présente.

Classe des milliards

classe des millions

classe des milles

classe des unités

centaines

dizaines

unités

centaines

dizaines

unités

centaines

dizaines

unités

centaines

dizaines

unités

(6+7=13)

4°) Ordre de grandeur d’une somme :

Toutes les fois que l’on doit faire une opération il faut estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat afin d’éviter de grossières erreurs lorsque l’on donnera le résultat.

Cette démarche est importante lorsque l’on prend la calculatrice , l’erreur de manipulation étant fréquente il faut ou vérifier (refaire le calcul) ou estimer le résultat que l’on devrait trouver.

Exemple d’erreur : en additionnant 54 347 et 3473 on a trouvé 88040 ; on va montrer que sans faire le calcul ,que ce résultat est faux .

54 347 est voisin de 54 000 ; 3 473 est voisin de 3 000

Donc la somme sera voisine de 54 000 + 3 000 = 57 000 et ne peut être égal à 88040 .

Pour être plus précis , on peut dire que :

54 000 < 54 347 < 55 000

et 3 000 < 3 473 < 4 000

Donc 54 347 + 3473 est supérieur à 57 000 et inférieur à 59 000

Donc l’ordre de grandeur est :

57 000 < 54 347 + 3473 < 59 000

Contrôle : Calcul de l’addition : 54 347 + 3473 = 57 820

On constate que 57 000 < 57 820 < 59 000

5°) CHAINE d’additions sans ou avec parenthèses :

a) Groupement de termes :

Cas 1

Cas 2

(25 + 17 ) + 32

= 42 + 32

= 74

25 + ( 17 + 32 )

= 25 + 49

= 74

On trouve le même résultat dans les deux cas .

On peut donc écrire : (25 + 17 ) + 32 = 25 + ( 17 + 32 )

La place des parenthèses n’est pas importante dans une chaîne d’additions.

On peut recommencer avec n’importe quels entiers , on constatera toujours que la somme ne change pas si l’on place indifféremment les parenthèses.

On dit alors que l’addition des entiers naturels est une opération « associative » . Cette propriété s’appelle l’ « associativité » de l’addition .

Activité : calculer 15 + 54 + 18 + 6 de 3 façons différentes en plaçant des parenthèses

( 15 + 54 ) + 18 + 6 =

15 + 54 +( 18 + 6 ) =

( ( 15 + 54 ) + 18 ) + 6 =

· Pour calculer une somme , il est possible d’utiliser à la fois la commutativité et l’associativité afin de regrouper des termes de la somme est un nombre se terminant par zéro .

Exemple :

15 + 54 + 18 + 6 = ( 54 + 6 ) + 15 + 18 ;

(remarque 18 = 15 +3)

= ( 54 + 6 ) + (15 +15 ) +3

= 60 + 30 + 3

= 93

Activité 2 : On peut trouver beaucoup de manières possibles d’écrire 15 sous forme d’une somme de trois nombres entiers distincts choisis parmi les nombres 1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7 ;8 ;9 Exemple : 15 = 2 + 5 + 8

L’addition étant commutative ; 2 + 5 + 8 est la même solution que 8 + 5 +2

En résumé :

1°) L’expression ne contient que des « additions »:

exemple : « 8 + 56 + 12 + 965 »

procédure: il faut faire la somme des nombres

Procédure :

exemple : « 8 + 56 + 12 + 965 »

Il suffit de faire la somme des nombres dans l’ordre proposé ; bien qu’il n’y a pas de priorité !

Rendre compte

Résultat : = 1041

2°) L’expression ne contient que des « additions » et des parenthèses

On doit retenir que les parenthèses indiquent que l’on doit effectuer en priorité les calculs figurant à l’intérieur .

Ainsi , le calcul 17 + ( 13 + 8 ) s’effectue de la manière suivante :

17 + ( 13 + 8 ) = 17 + 21 = 38

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.
	CONTROLE :

1 ) Tracer le tableau de numération des nombres entiers :

2 )Comment appelle - t on le résultat de l ’ addition ?

3 ) donner la procédure concernant la disposition des nombres et l ’ exécution de l’addition.

4) Quel est l’élément neutre de l ’ addition ?

EVALUATION :

Effectuer les opérations suivantes (après les avoir posées); éventuellement se servir du tableau du numération pour aligner verticalement les chiffres )

Opération:	Ordre de grandeur	Résultat
3+5 =
6+7 =
15+4 =
18+7 =
68 +9 =
75+22 =
86+62 =
154+25=
186+35 =
867+428 =
1968+589=
2648+3851 =
9536+8504 =
12 368 +45 897=
1235 +5698+428 =
958 423 + 56 923

2°) Un des nombres suivants est égal à 7432 + 56 308 . Trouver le sans faire l’addition ; barrer les autres .

12 840 ; 62 740 ; 63 740 ; 135 740

3°) Sans faire l’addition , déterminer mentalement un ordre de grandeur de :

31 682 + 58 437 + 17 053 + 84 879

INTERDISCIPLINARITE

Niveau 1

Dans une boite je mets 2 gâteaux , puis un gâteau , puis encore deux. Combien y aura t il de gâteaux en tout dans la boite ?

Dans une cabane ,il y avait 4 lapins. Vous en ajoutez encore un autre. Combien y a t -il de lapin maintenant ?

J'avais 10 francs .Papa et maman me donne chacun 5 francs . Combien ai - je de francs en tout ?

Au RESTAURANT :Le client demande l'addition , c'est à dire le total de tout ce qu'il a dépensé .

Niveau VI bis – primaire

1° ) Maman achète chez le boucher un rôti de veau à 56 € , 4 escalopes pour 48 € et un gigot d’agneau à 108 €. Combien a -t –elle dépensé ?

2°) Au cours de la première semaine , les coureurs du Tour de France ont effectué 6 étapes successives 30 km , 215 km , 183 km , 295 km ; 189 km et 264 km . Quelle distance ont – ils parcourue lors de cette première semaine ?

3°) Une annonce publicitaire pour une chaîne hi-fi propose le paiement de celle – ci en 3 fois : 1800 €F à la commande , 1500 € à la livraison , 1000 € un moi plus tard . Quel est le prix de cette chaîne hi- fi ?

4°) Monsieur Durand achète une voiture valant 72 50 €. Il commande , en plus , une option de 1713 €F et demande que son véhicule soit équipé d’un autoradio à 1875 € . Calculer le prix total de la voiture .

5°) Lors d’un jeu télévisé , un candidat à gagné un voyage aux Antilles , un magnétoscope et un appareil photo , qui valent respectivement 16 80 € ,167 € et 452 € . Quelle est la valeur totale de ses lots ?

6°) Avant de partir en vacances , madame Warmé remet sa voiture en état et note ses dépenses : essuie – glace : 75 € ; pneus : 578 € , plaquettes de frein : 147 € , huile : 48 € . Quel est le prix de revient de la révision de son véhicule ?

7°) Une épreuve de triathlon propose les prix suivants : pour les hommes : 1^er : 13 00 € , 2^e : 650 € , 3^e : 300 € , 4^e :100 € , 5^e : 1 00 € . pour les femmes : 1^er : 9 00 € , 2^e : 5 00 € , 3^e : 300 €. Quelle est la valeur total des prix distribués ?

8°) Monsieur Dequin donne à ses enfants leur argent de poche : 10 € à Claire , autant à Caroline et pour Dominique 15 € de plus qu’aux deux filles .Quelle somme reçoit Dominique ? Combien Monsieur Dequin a – t- il distribué ?

9°) Un coureur à pied prépare sa semaine d’entraînement de la manière suivante : lundi 15 km , mardi : 3 km de plus que la veille ,mercredi : autant que les deux jours précédents réunis , jeudi : repos , vendredi : 10 km , samedi : repos , dimanche : compétition de 25 km . Quelle distance aura – t – il parcourue dans la semaine ?

10°) Afin de faire un cadeau à un camarade alité , 5 enfants décident de mettre en commun le contenu de leur tirelire . Marc possède 37 € , Marion 8 € de plus , Corinne autant que Marion , Lucie 3 € de plus que Marc , et Hélène autant que Marc et Lucie. Ils souhaitent offrir à leur ami un beau livre d’une valeur de 250 € . Cet achat sera – t – il possible ?

Niveau plus +++ (arithmétique)