		Travaux auto formatifs .pour devenir devoir formatif.
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COURS:

Lien en l’addition et la multiplication :

4 + 4 = 8 on transformera cette addition en multiplication 4 x 2 = 8

4 + 4 + 4 = 12 on transformera cette addition en multiplication 4 x 3 = 12

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28 on transformera cette addition en multiplication 4 x 7 = 28

Dans le dernier exemple , il est plus simple d’écrire sous forme de multiplication l’addition de 7 nombres identiques.

Ainsi 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 x 7 = 28

Il est indispensable , avant de progresser dans ce cours , @ de revoir , ou d ‘apprendre ou réapprendre les tables de multiplications apprissent en primaire ( la table de « 1 » à « 9 » .

1°) Définition de l ‘ opération « multiplication »:

La multiplication est une opération qui associe deux nombres ; en vue d ’ en obtenir un troisième. ( ce troisième nombre est un résultat de calcul appelé « produit » ) .

Exemple de multiplication de deux entiers : 74 = 28 ; 28 est appelé le produit de 7 par 4 ; « 7 » et « 4 » sont les facteurs du produit .

L’ opération correspondante s’appelle la multiplication de deux entiers

D’autres mots sont directement associés à la multiplication : « multiplicande » ; « multiplicateur » ; « produit » ; « facteur » ;

a) MULTIPLICANDE ; MULTIPLICATEUR ; FACTEUR :

L ’ un des nombres s ‘appelle : « multiplicande »,l ‘autre nombre « multiplicateur » ; les deux nombres (situés à la droite et à la gauche du signe multiplier) s’appelle : « facteur »

Le premier nombre nommé est le nombre « multiplié » il s’appelle « multiplicande ».

Le deuxième nombre est celui qui multiplie le multiplicande ; il s ’ appelle le « multiplicateur ».

b) PRODUIT :

Le résultat de la multiplication s ’ appelle : « produit ».

En RESUME :

multiplicande multiplicateur = produit

multiplicande	multiplicateur	égal	produit
5	8	=	40
8	5	=	40

La multiplication se substitue à une suite additions d ’ un même nombre (multiplicande) dont la répétition est donné par la valeur du multiplicateur.

c) Exemple :

j ’ achète 3 paquets de 4 plaques de chocolat de 100 grammes ; combien ai - je de plaques ?

solution 1 : par addition : j’ai 4 + 4 + 4 = 8 +4 = 12 plaques

solution 2 : par la multiplication : j ‘ai 3 4 = 12 ( d’après les tables)

2°) Propriétés de la multiplication des entiers naturels :

* a) L ‘ élément neutre de la multiplication :

Elément neutre : 71 = 7 ; 1 4 = 4 ; On dit que : L ’ élément neutre de la multiplication est « 1 »

parce que « 1» fois « quelque chose » égal « quelque chose » ;

soit 1n =n
exemples:
soit 15 =	5
soit 1x =	x
soit 1a =	a

en généralisant : « n » étant un entier naturel quelconque n1 = 1 n = n

On dit que « 1 » est l’élément neutre pour la multiplication des nombres entiers naturels

b) L ’ élément absorbant de la multiplication :

Elément absorbant :

3 0 = 0 ; 5 0 = 0 en généralisant : « n » étant un entier naturel quelconque n0 = 0 n = 0

Si dans un produit , l’un des facteurs est nul , alors le produit est lui même nul.

On dit que « 0 » est l’élément absorbant pour la multiplication des nombres entiers naturels.

A retenir : pour effectuer des transformation de formules ou pour résoudre des équations .

On dit que : L ’ élément absorbant de la multiplication est « 0 » ; parce que « 0 » fois « quelque chose » égal « 0 » ; soit 0n = 0

soit 0n = 0

soit 05 = 0

soit 0x = 0

soit 0a = 0

c) La Commutativité :

74 = 28 ; 4 7 = 28 ; on constate que 74 = 4 7

si l’on choisit d’ autres entiers , on fera la même constatation.

On ne change pas le produit de deux entiers si l’on permute ces deux nombres ( facteurs) .

On dit alors que la multiplication des entiers naturels est commutative. Cette propriété s ‘ appelle la commutativité de la multiplication.

3°) ORDRE DE GRANDEUR D’UN PRODUIT : ( SOS rappel cours sur l’ordre de grandeur)

A) Encadrement d’un produit :

Soit le produit : 357 8651

a) Encadrement des facteurs :

300 < 357 < 400 et 8000 < 8651 < 9 000

b) On peut dire que le produit 357 8651 :

est supérieur à 300 8000 et est inférieur à 400 9000

c) C’est à dire : 300 8000 < 357 8651 < 400 9000

2 400 000 < 357 8651 < 3 600 000

d) on peut donner un ordre de grandeur « 357 8651 » proche de la moyenne des extrêmes ( 2 400 000 + 3 600 000) : 2 ; ce qui donne environ 3 000 000

B) On peut sans faire un encadrement , uniquement en considérant un ordre de grandeur de chaque facteur ,donner un ordre de grandeur de certains produits.

Exemples :

a) 384 21 ; ordre de grandeur 400 fois 20 = 8 000 ; soit 8 suivi de 3 zéros

b) 38 427 2 132 ; ordre de grandeur 40 000 fois 2000= 8 0 000 000 ;soit 8 suivi de 7 zéros

c) 123 345 3 046= ? ordre de grandeur 123 000 fois 3000= 369 000 000 ; soit 369 suivi de 6 zéros .

d) 497 9 953 = ? ordre de grandeur 500 fois 10 000 = soit 5 suivi de 6 zéros soit 5 000 000

4°) GROUPEMENT DE FACTEURS : et « Associativité »

Soit : 12 5 10

Cas 1

Cas 2

( 12 5 ) 10

= 60 10

= 600

12 ( 5 10 )

= 12 50

= 600

On trouve le même résultat dans les deux cas ; on peut donc écrire que :

( 12 5 ) 10 = 12 ( 5 10 )

On peut donc déclarer que dans une chaîne de multiplications la place des parenthèses n’a pas d’importance.

Activité : A = 12 5 10 3

Placer des parenthèses et faire le calcul ; on trouvera toujours le même résultat :

A = 12 (5 10 3) = (12 5 10) 3 = (12 5) (10 3)

On dit que la multiplication des entiers est une opération « associative ». Cette opération est appelée l’ « associativité » de la multiplication .

Permutation des facteurs :

Ainsi si l’on fait chaque calcul : 3 fois 72 fois 5 =1080 ; 3 72 5 = 1080 ; 5 72 3 = 1080 ; 72 3 5 = 1080 ; 1080 ; …….= 1080

L’ordre des facteurs ne changent le résultat final

Ainsi dans une chaîne de multiplications on fera les calculs dans l’ordre en partant de la gauche , simplement , pour éviter un oubli d’un facteur .

Etude particulière L cette étude est utilisée pour démontrer qu’une fraction est représentante ou non d’un nombre décimal)

Décomposition de 10 ; 100 ; 1000 en un produit de facteurs entiers :

1. 10 = 2 5

2. 100 = 1010 = ( 2 5 ) ( 2 5 ) ; c’est à dire 100 = 2 5 2 5

en regroupant de divers façons ces 4 facteurs , on peut trouver d’autres manières d’écrire 100 sous forme d’un produit de deux entiers naturels.

Exemple : 100 = 2 2 5 5 = 4 2 5

INFO ++++: lorsque vous aurez vu l’écriture sous forme de puissance : 100 peut s’ écrire aussi 2² 5²

· 1000 =101010 = ( 2 5 ) ( 2 5 ) ( 2 5 )

c’est à dire 1 000 = 2 5 2 5 2 5

on peut grouper ces 6 facteurs de façon différentes :

1 000 = ( 2 2 ) (2 5 ) (5 5) ; ……….. ;

1 000 = 2 2 2 5 5 5

INFO ++++: lorsque vous aurez vu l’écriture sous forme de puissance : 1000 peut s’ écrire aussi 2³ 5³

Remarque sur les regroupements de facteurs :

Pour calculer un produit , il est possible d’utiliser à la fois la commutativité et associativité afin de regrouper les facteurs dont le produit est un nombre se terminant par zéro . (On utilise les groupements étudiés précédemment ) ;

Exemple : B = 4 6 3 5 2 5 2

B = (4 5 ) ( 3 5) ( 2 5 2) = 20 1550 = 205015=10015=1500

Disposition pratique de la multiplication :

multiplicande

multiplicateur

= « produit »

5°) Pratique de la multiplication :

A ) Le multiplicateur est à « un chiffre » :

I ) Première approche : exemple : 476 5 =

Voir Objectif : Numération :

le 6 représente : 6 unités ; le 7 représente 7 dizaines ; le 4 représente 4 centaines

Donc le nombre 476 se décompose sous forme d ‘ additions : 400 + 70 + 6

donc Multiplier 476 par 5 : revient à faire les opérations suivantes :

On décompose 476 en additions 400 + 70 +6

On multiplie chaque terme par « 5 » : (400 5) + ( 70 5) + (6 5) =

Un terme est un nombre situé à droite ou à gauche du signe "+"

On effectue les Calculs :

400 5 = 2000

70 5 = 350

6 5 = 30

On additionne 2 000 + 350 + 30 pour obtenir = 2 380

Donc on peut écrire que 476 5 = 2 380

II ) Deuxième approche

Il suffit de multiplier chaque chiffre du multiplicande par celui du multiplicateur en commençant par la droite et de « porter » la retenue à la colonne suivante.

1 7 2 8

= 6 9 1 2

Description du calcul :

On fait : 4 8 = 32 ; je pose le 2 et je retiens « 3 »

je calcule 4 2= 8 (+3) = 1 1

je pose « 1 » et je retiens « 1 »

je calcule 4 7 = 28 (+1) = 29 je pose 9 et je retiens 2

je calcule 4 1 =4 ( +2) =6

B ) Le multiplicande et le multiplicateur ont plusieurs chiffres :

Procédure :

I ) Choisir le multiplicande et le multiplicateur .

dans le couple de nombres donnés ; prendre comme « multiplicande » le nombre qui contient le plus de chiffres

exemples : à multiplier	le multiplicande sera :	le multiplicateur sera :
(456 ;23)	456	23
( 4526 ; 80056 )	80056	4526
( 52 ; 235 )	235	52

Lorsque le choix du dividende et du diviseur est fixé , effectuer le calcul.

II ) Effectuer les calculs : (456 fois 23)

Première méthode de calcul :

a ) Décomposer le multiplicateur (23 ) : sous forme d’addition

unités d’unité ( 3 )+ dizaines ( 20)+ centaines +..... ;

b ) Faire les calculs partiels

456 20 = ................... 9 120

456 3 = .................... 1 368

c ) Additionner les calculs partiels : 9 120 + 1 368 =........................10 488

e ) Compte rendu : 456 23 = 10 488

Deuxième méthode de calcul:

a) Poser la multiplication :

multiplicande

multiplicateur

b ) application :

4 5 6

2 3

ligne de calcul partiel d ‘ unités d’unités (1)

ligne de calcul partiel de dizaines d’ unités (2)

ligne d ‘addition des calculs partiels (3)

..........................ligne (3)=(1)+(2)

4 5 6

2 3

(1) 1 3 6 8

(2) 9 1 2 0

(3) 1 0 4 8 8

ligne (3)=(1)+(2)

Remarque : il y a autant de lignes de calculs partiels que de chiffres qui composent le multiplicateur.

Autre EXEMPLE : faire la multiplication des deux nombres suivants : (4 526 ; 80 056 )

a) Poser la multiplication :

choisir pour multiplicande : 80 056

choisir pour multiplicateur : 4 526

8 0 0 5 6

4 5 2 6

(1) 4 8 0 3 3 6

(2) 1 6 0 1 1 2 0

(3) 4 0 0 2 8 0 0 0

(4) 3 2 0 2 2 4 0 0 0

3 6 2 3 3 3 4 5 6

b) compter combien il y a de chiffres derrières la virgule ; totaliser le nombre de chiffres des deux nombres ( ici : 2+1 ; soit trois chiffres après la virgule ) ; et puis placer la virgule à gauche du rang donné par le nombre (3)

c) Rendre compte : 3 6 2 3 3 3 4 5 6

MULTIPLICATION NIVEAU II : CALCUL ALGEBRIQUE

Pour en savoir plus : conventions d’écriture

La multiplication

La multiplication est une opération qui associe deux nombres ; le premier est appelé « multiplicande » le second se nomme « multiplicateur » ; le résultat de la multiplication s ‘appelle « produit ».

Le multiplicande et le multiplicateur porte le nom de « facteur » .

Signe de la multiplication : « » ,oralement on dit « fois.... »

Ce signe ;pour des raisons de risque d’erreurs , disparaît lorsque l’on multiplie un nombre à une lettre (représentant un nombre » ou deux lettres consécutives .

Exemples courants :

« 2 x » lire deux fois « ixe » ;

dans : 2x ; « 2 » et « x » sont des « facteurs »

« xy » lire « ixe » fois « i grec »

dans : « xy » ; « x » et « y » sont aussi appelés des facteurs.

« 3 ( x + 1) » : lire « trois » facteur de « x + 1 »

« ( x+1) (x+3) » : lire « ( x+1) » facteur de « ( x + 3 ) »

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE

Que signifie le symbole :

Comment appelle - t on les nombres situés à droite et à gauche du signe

Que pouvez vous dire sur ce qu ‘est un multiplicande et un multiplicateur ?

Donner la disposition pratique de la multiplication .

EVALUATION :

1°) Donner l’encadrement du produit suivant :

357 8651

2° ) Uniquement en considérant un ordre de grandeur de chaque facteur ,donner un ordre de grandeur des produits suivants .

a) 384 21 ;

b) 38 427 2 132 ;

c) 123 345 3 046

d) 497 9 953 =

3°) Dans chacune des lignes suivantes , une égalité est vraie , les autres fausses.

Sans effectuer , la multiplication , trouver la bonne égalité et l’encadrer .

a)	43 54 = 9 322	43 54 = 2 322	43 54 = 20 322
b)	2300 470 = 1 081 000	2300 470 = 108 100	2300 470 = 181 000
c)	825 224 = 18 480	825 224 = 848 000	825 224 = 184 800

4°) Pour calculer un produit , regrouper les facteurs dont le produit est un nombre se terminant par zéro .

B = 4 6 3 5 2 5 2

C = 2 4 3 5 2 5 7

D = 4 6 8 5 2 5 7 125

EXERCICES à faire sur feuille ; la vérification se fera ensuite à la calculatrice.

I ) Effectuer les multiplications suivantes :


a	16 8 =	c	756 =	d	45 7 =	e	830 9 =
f	256 27 =	g	485 58 =	h	849 95 =	i	358 24 =
j	1 694 58 =	k	3 27443 =	l	2 38039 =	m	8 76473 =
n	76 465932 =	p	46 178375 =	q	76 548654 =	r	56 381784 =

II ) Calculer:


a	425 4 =	b	237 5 =
c	807 46 =	d	198 27 =
e	9 087 97 =	f	2 783 64 =
g	54 639499 =	h	98 569 531 =

III ) Calculer:


a	8317 =	b	217 4 =
c	573 81 =	d	78297 =
e	6 781 21 =	f	147018 =
g	20 682 702 =	h	80 987 614 =

IV ) Calculer


a	630 3 =	b	427 6 =
c	632 19 =	d	942 72 =
e	4 29127 =	f	5 431 86 =
g	56 045 792 =	h	59 234 321 =

INTERDISCIPLINARITE:

Classe CM
Exemple : Dans une semaine , il y a 7 jours . Combien y a-t-il de jours dans 4 semaines ; dans 6 semaines ; dans 8 semaines ? Pour 4 semaines : 7 + 7 + 7 + 7 = 28 ; soit 28 jours pour 6 semaines : 42 jours Pour 8 semaines : 56 jours
Un jardinier achète 9 plants de rosiers à 13 F pièces et trois sapins à 97 F .Quel est le montant de sa dépense ?
Pour sa classe , un instituteur commande 25 livres à 57 F , 20 cahiers de travaux dirigés à 19 francs et un guide du maître à 89 F. Quel est le coût de sa commande ?
Une pommeraie compte 135 arbres . Cette année , le propriétaire estime la production de chaque pommier à 125 kg. Quelle masse de fruits produira le verger ?
Un ouvrier gagne 7325 F par mois. Combien gagnera-t-il en un an si le mois d’août lui est payé double ?
Une femme de ménage payée 7 € de l’heure travaille 8 heures par jour et 5 jours par semaine. Que peut-on calculer ?
Un coureur de fond prépare son plan d’entraînement annuel : lundi : 10 km , mardi : 20 km ;mercredi : 10 km ; jeudi : 15 km ; vendredi : repos ; samedi : 25 km ; dimanche : repos. Quelle distance , en km , parcourra-t-il dans son année s’il reste au repos quatre semaines ?
Une famille de 5 personnes part aux sports d’hiver pour une semaine. Elle dépense 115 € par personne et par jour pour l’hôtel, 70 € de forfaits de ski de fond par personne pour la semaine et 800 € de frais e transport. A combien lui revient ce séjour à la montagne ?

Suite :

N°1 : On veut numéroter les pages d’un cahier ayant 136 pages .

a) combien de chiffres devra – t- on écrire en tout ?

b)Combien de fois écrira- t- on le chiffre 1 ?

N°2 : On veut planter des arbres fruitiers dans un jardin.

Pour cela on achète 5 pommiers à 15 € l’un ; 3 poiriers à 13 € l’un ; 2 pruniers à 18 € l’un et 4 cerisiers à 21 € . Quelle est la dépense ?