Pré requis:

la multiplication de deux nombres entiers naturels	cliquer ici
la multiplication de deux nombres décimaux positifs:	cliquer ici
Puissance : écriture normalisée et indicée	Cliquer ici

ENVIRONNEMENT du dossier

Index warmaths

Objectif précédent 1°) la multiplication d’un nombre par lui - même

Objectif suivant 1°) le cube d’une nombre 2°) « Carré » d’opérations simples. ( + ; - ; ¸ ; ´ ) 2°) les Identités Remarquables 3°) les puissances Nièmes 4°) RACINE « CARRE » 5°) puissance des nombres relatifs 6°) « puissance de dix ». 7°)éventuellement voir le cas de la puissance de deux nombres positifs ou négatifs.

1°) Tableau 68 2°) table numérique

DOSSIER: PUISSANCE "CARREE"

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité 1°)Applications en sciences 2°) série 2

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

Activité :

Calculer l’aire d’un carré , c’est chercher combien de carré de , par exemple 1 cm de côté ( noté :1 cm²) il y a dans un carré de dimensions connues. Ici le carré mesure 4 cm . L’aire du carré est 4 4 = 16 Soit 16 cm² . On dit que 16 est le « carré » de 4 . On écrit : 4² = 16 ( le « 2 » est en exposant ). On lit : « 4 au carré » ou «  4 puissance 2 » ou «  4 exposant 2 »

Si j’écris : 3,2 ²

il faudra lire suivant « indifféremment » : « trois virgule deux au carré » ; ou « trois virgule deux à la puissance deux » ou ; « trois virgule exposant deux »

Remarque : 3,2 ² est l’ écriture « algébrique » qui correspond à la multiplication : 3,2 x 3,2 (écriture arithmétique)

COURS:

RAPPEL : Puissance d ' un "même" nombre:

Définition :

on appelle "puissance d'un même nombre" , la multiplication d ' un nombre par lui même deux à plusieurs fois .

X = XXX ; X ⁵ = XXXXX ; X ⁸ = XXXXXXXX

Ecriture:

Par convention	Avec un nombre entier positif	Avec un nombre décimal négatif	Un nombre quelconque représenté par « a »
X^0 = 1	(+ 2^0) = 1	(-3,2) ^0 = 1	a ^0 = 1
X^1= X	(+ 2^1 ) = ( + 2 )	(-3,2) ^1 = (-3,2)	a ^1 = a
X ^2 = X X	(+2 ) = ( + 2 ) ( + 2 )	(-3,2) = (-3,2) (-3,2)	a= a a

Calculs :

Dans D^+ ou D^- "au carré"	Résultat du calcul.
(+ 4) (+ 4) = (+ 4)^2 =	(+16)
(+ 5) ( + 5 ) = (+ 5)^2 =	(+25)
(+ 3,2) = (+ 3,2) (+ 3,2) =	(+10,24)
(- 3,2) = (- 3,2) (- 3,2) =	(+10,24)
(-5) ( -5 ) = (- 5)^2 =	(+25)

Remarquer que le carré de deux nombres négatifs est un nombre positif !!!! ( déjà vu dans la multiplication de deux nombres relatifs négatifs)

Les carrés des nombres entiers naturels s ' appellent :les carrés parfaits
Les cubes des nombres entiers naturels s'appellent : les cubes parfaits

Autres exemples :

4 4 = 16 ; "4" est une valeur absolue.	55 = 25 ; "5" est une valeur absolue
(+4) (+4) = (+4)^2 = ( +16)	(-5) ( -5 ) = (-5)^2 = (+25)
"2" est une valeur absolue	"3,2" est une valeur absolue
(+2^0) = 1	(-3,2) ^0 = 1
(+ 2^1 ) = ( + 2 )	(-3,2) ^1 = (-3,2)
(+2 ) = ( + 2 ) ( + 2 ) = (+4)	(-3,2) = (-3,2) (-3,2) = (+10,24 )
(+2)= (+ 2) (+ 2)(+ 2) = (+8 )	(-3,2) = (-3,2) (-3,2) (-3,2)=(-32,768)

REMARQUES IMPORTANTES:

Remarque 1

ATTENTION ! les nombres relatifs de même valeur absolue mais de signe contraire ne sont pas des nombres égaux ; donc le produit de l'un par l'autre ne forme un "carré" .

(-5) et (+5) ne sont pas des nombres égaux :donc (-5) (+5) n ' est pas la multiplication d ' un nombre par lui - même parce que (-5) n'est pas égal à (+5)

Remarque 2

à savoir que "par exemple":

;

4^2 = 16	(+4)^2 = (+16)	- 4 ^2 = - 16	(-4)^2 = (+16)	+ 4^2 = 16
16 Parce que 4 est un N	(+16) Parce que (+4) est un nombre relatif	- 16 Parce que 4 est un N précédé par le signe de la soustraction	(+16) Parce que (-4) est un nombre relatif	16 Parce que 4 est un nombre N précédé par le signe de l ' addition

Recherche du signe du résultat :

a) Cas où « x » est un nombre relatif positif :

Calculs :

« x ^n»	« n »	Calcul :	Conclusion résultat
(+2)^2	Pair	(+4)	>0
(+2)^4	Pair	(+16)	>0

En conclusion : Si « x » est un nombre relatif positif , alors le résultat de xⁿ est positif

b) « x » est un nombre relatif "négatif "

calculs :

« x ^n»	« n »	Calcul :	Conclusion résultat
(-2)^2	pair	(+4)	>0
(-2)4	Pair	(+16)	>0
(-2)^6	Pair

En conclusion : Le signe du résultat de « xⁿ » dépend du signe du nombre relatif mais aussi il dépend de la puissance « n »

si « n » est pair dans xⁿ ; le résultat donné par le calcul de xⁿ est positif.

Cas courants (se souvenir) :

Le carré d'un nombre relatif ( positif ou négatif ) est toujours positif.

Calculs PARTICULIERS :

Attention : La puissance peut agir sur un nombre relatif ou un nombre non relatif :

sur un nombre relatif (-2)	Ou un nombre non relatif  « 2 »
( -2) ^4 est égal à +16	- 2 ^4 est égal à -16
Explication : (-2)^4= +16  la puissance agit sur (-2) Calcul de (-2)^4 = (-2) (-2) (-2)(-2) est bien égal à (+16)	Explication - 2^4 = -16 La puissance agit sur le nombre non relatif : 2 Calcul  : - - 2^4 = -16 ; la puissance agit sur le nombre non relatif. Calcul  : - 2^4= - (2222) ce qui donne -16 = - (2222) ce qui donne -16

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

CONTROLE :

1. Dans un calcul de puissance, de quoi dépend le signe du résultat ?

2. Quel est le signe du résultat d’un « carré » ?
3. A quelle opération correspond l’écriture : 2²

EVALUATION :

Niveau 5 : (minimum)

1°) Compléter le tableau :					TC2		E	T	C
x	8	170	5,5	0,29		92
x^2

Calculer :

( - 2 ) ⁴ =

- 2 ⁴ =

Calcul mental : savoir «  par cœur » les carrés parfaits des nombres de 1 à 13 , et des dizaines et des centaines .

Remplir le tableau suivant : faire les Calculs ( voir les études de fonction )

Pour x =	-1	0	2	3	4	5	6	7
y = x^2 – 4 x + 3