Pré requis:
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Valeur approchée et approximation |
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ENVIRONNEMENT du
dossier:
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Objectif précédent : |
Objectif
suivants : 1°) arrondir « à tant
près » 2°) valeurs approchées
et encadrement |
Liste des cours en
calculs numériques |
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« ORDRE
DE GRANDEUR»
A ) Ordre de grandeur d’un entier naturel
et encadrement ; valeurs approchées , approximation.
B) Ordre de grandeur d’un Nombre décimal
et encadrement.
C) Un ordre de grandeur est
une valeur approchée.
D)
L’ordre de
grandeur d’un résultat ( approche) et exemple : encadrement d’un produit.
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Devoir Contrôle |
Interdisciplinarité |
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Corrigé évaluation |
A ) Ordre de grandeur d’un entier naturel :
a )
On sait que 325 846 est voisin de 300 000 ; que 7247 est
voisin de 7000.
On dit que 325 846 est de l’ordre des centaines de mille ; que 21 675
est de l’ordre des
dizaine de mille et
que 7247 est de l’ordre des mille.
On dit que 300 000 est un ordre
de grandeur de 325 846 , que
20 000 est un ordre de grandeur de
21 675 et que 7000 est un ordre
de grandeur de 7436
Dans le cas de 48 873 , on peut prendre 50 000
comme ordre de grandeur ; ( 48 étant
plus prés de 50 que de 40 )
Un ordre de grandeur est aussi
appelé « arrondi ».
b) l’encadrement : ( double inégalités) ( INFO PLUS +++)
suivant l’ordre choisi ou imposé on peut
encadrer « 325 846 » :
300 000 < 325 846 < 400 000 ;
si
l’on veut être plus précis , on peut
« resserrer » l’encadrement .
comme
320 000 < 325 846 < 330 000 ;
ou comme
325 000 < 325 846 <
326 000
c) « valeur approchée par excès » ou
« valeur approchée par défaut »
prenons par exemple : 300 000 < 325 846
< 400 000 ;
nous dirons :
300 000 est la valeur approchée à 100 000 près par défaut de
325 846.
400 000 est la valeur approchée à 100 000 près par excès de 325 486 .
Au lieu de dire « valeur approchée » on dit aussi «
approximation »
Autres
exemples :
320 000 < 325 846 < 330 000 ; les valeurs approchées sont à
10 000 près.
325 000 < 325 846 <
326 000 ; les valeurs approchées sont à 1 000 près.
Les valeurs approchées peuvent être de plus en plus précises :
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Avec 7437 |
Avec 48 738 |
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7
000 < 7437 < 8 000 7
400 < 7437 < 7 500 7
430 < 7437 < 7 440 7
436 < 7437 < 7 438 |
40
000 < 48 738 < 50 000 48
000 < 48 738 < 49 000 48
700 < 48 738 < 48 800 48
730 < 48 738 < 48 740 48
737 < 48 738 < 48 739 |
B) ORDRE DE GRANDEUR d’un Nombre décimal et encadrement.
Comme
pour les nombres entiers
, on peut donner des encadrements de décimaux.
Exemple : 41 < 41,58 < 42 est un « encadrement » de 41,58
par 42 et 43 .
On dit que l’on a « encadré » 41,58 par les deux nombres
entiers consécutifs
41 est la valeur approchée à 1
près par défaut de 41,58 . ( la valeur approchée
à 1 près par défaut est la partie entière)
43 est la valeur approchée à 1
près par excès de 41,58
Exemples d’ encadrements par des nombres par
des entiers consécutifs. :
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5 < 5,2< 6 |
0 < 0 ,534 < 1 |
19 <19,37< 20 |
0
< 0,07< 1 |
- On peut donner des
encadrements par des des dizaines ; des
centaines consécutives ….etc. :
exemple : 6 000 <
6 237,86 < 7 000
6 000 est la valeur approchée à 1
000 près par défaut de 6 237,86.
7 000 est la valeur approchée à 1 000 près
par excès de 6 237,86
On dit aussi que 6 000 est un ordre de grandeur de 6 237,86 . (on dit
aussi « arrondi »)
Si l’on veut être plus précis , on peut donner
d’autres encadrements :
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6
200 < 6 237,86 < 6 300 |
Valeurs
approchées à 100 près |
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6230
< 6 237,86 < 6 240 |
Valeurs
approchées à 10 près |
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6237 <
6 237,86 < 6238 |
Valeurs
approchées à 1 près |
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On peut donner des encadrement
par des dixièmes consécutifs |
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6237,8
< 6 237,86 < 6237,9 |
Valeurs
approchées à 0,1 près |
-
On peut donner des encadrement par des dixièmes consécutifs , des centièmes , des millièmes consécutifs
…..etc.
Exemple : 0,007 < 0, 00734 < 0,008
Ainsi :
0,007 est la valeur approchée à 0,001 près
par défaut de 0, 00734
0,008 est la valeur
approchée à 0,001 près par excès de 0, 00734
On peut aussi avec :
Plus
de précision :
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0,0073
< 0, 00734 < 0,0074 |
Valeurs
approchées 0,000 1 près |
moins de précision :
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0,01 < 0, 00734 <
0,02 |
Valeurs
approchées 0,01 près |
Autres exemples :
La valeur approchée à 0,01 prés par défaut de 0,8353
est 0,83.
La valeur approchée à 0,01 prés par excès de
5,264 est 0,53 .
C) Un ordre de grandeur est une valeur
approchée.
Mais très souvent , on choisit pour ordre de
grandeur d’un nombre , un arrondi dans lequel tous les chiffres sont nuls sauf un .
Exemples :
Pour
« 527 , 357 » on prendra « 500 » comme ordre de
grandeur .
Pour
« 0,0063 » on prendra
« 0,006 »
Pour
« 633,42 » on prendra
« 600 »
Pour
« 52 , 376 » on prendra « 52 »
Pour « 0,041 » on prendra « 0,04 »
Si le nombre est plus près de sa valeur approchée par excès , on choisira cette valeur.
Exemples :
Pour
« 4 986 , 78 » on prendra « 5
000 »
Pour
« 1, 87 » on prendra « 2 »
Pour
« 0,00783 » on prendra « 0,008 »
Vocabulaire : TRONCATURE ( @ En PLUS +++)
Les valeurs approchées par
défauts sont aussi appelées « Troncatures »
Exemples de troncatures :
Soit le nombre 524, 367 :
les nombres
« 524 » ;
« 524,3 » ; « 524,36 » sont ses valeurs
approchées par défaut .
D) L’ordre de grandeur d’un résultat.( approche)
L’ordre de grandeur d’un résultat s’obtient en remplaçant les nombres par des nombres voisins avec lesquels le calcul est simplifié .
Quelle que soit l’opération que l’on a à effectuer , il est toujours
bon de s’assurer que
l’ordre de grandeur du résultat est cohérent .
Exemples : si l’on a à effectuer 123 fois 58 , on sait à
l’avance que le résultat est voisin de 120 fois 60 soit 7200 ; ( NB :
le résultat exact est de 7134)
si l’on a à effectuer 18 fois 58 , on sait à l’avance que le résultat
est voisin de 20 fois 60 soit 1200 ; ( NB : le résultat exact est de
………)
Exemple : ORDRE DE GRANDEUR D’UN PRODUIT
A)
Encadrement d’un
produit :
Soit le
produit : 357 
8651
a) Encadrement des facteurs :
300
< 357 < 400
et 8000 < 8651 < 9 000
b) On peut dire que le produit 357 8651 :
est supérieur à 300 8000 et est inférieur à 400 9000
c) C’est à dire : 300 8000 < 357 8651 < 400 9000
2 400 000 < 357 8651 < 3 600 000
d) on peut
donner un ordre de grandeur « 357 8651 » proche de la moyenne des extrêmes ( 2 400 000 + 3 600 000) :
2 ; ce qui donne environ 3 000 000
B) On peut sans faire un encadrement
, uniquement en considérant un ordre de grandeur de chaque facteur
,donner un ordre de grandeur de certains produits.
Exemples :
a) 384 21 ; ordre de grandeur 400
fois 20 = 8 000 ; soit 8
suivi de 3 zéros
b) 38 427 2 132 ; ordre de grandeur 40 000 fois 2000= 8 0 000 000 ;soit 8 suivi de 7 zéros
c) 123 345 3 046= ? ordre de grandeur 123 000 fois 3000= 369 000 000 ; soit 369 suivi de 6 zéros .
d) 497 9 953
= ? ordre de grandeur 500 fois 10 000 = soit 5 suivi de 6 zéros soit 5 000 000
TRAVAUX AUTO - FORMATIFS
1 ) Que veut dire « ordre de grandeur » ?
EVALUATION à préparer
1°) Donner
les encadrements des nombres par des entiers consécutifs. :
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…..< 5,2 < … |
< 0,534 <. |
..< 19,37 < … |
< 0,07 < |
2°) Voici un encadrement de 537,264 par des entiers consécutifs :
537 <
537,264 < 538
Que dire de 537 et 538 ?
537
.
538
.
Que dire de 530 ?
Que dire de 500 ?
Que dire de 600
Compléter :
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A 100 près |
< 537,264 < |
|
A 0,1 près |
< 537,264 < |
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A 0,01 |
< 537,264 < |
3°) Encadrer :
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10,75 à 0,1 près |
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152,3 à 10 près |
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74,04 à 1 près |
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28,7074 à 0,001 près |
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CORRIGE
1°) Donner les
encadrements des nombres par des entiers consécutifs. :
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…5..< 5,2 < …6. |
0 < 0,534 <.1 |
19..< 19,37 < 20… |
0 < 0,07 < 1 |
2°) Voici un encadrement de 537,264 par des entiers consécutifs :
537 <
537,264 < 538
Que dire de 537 et 538 ?
539
est la valeur approchée à 1
près par défaut de 537,264.
540
est la valeur approchée à 1
près par excès de 537,264.
Que dire de 530 ?
530 est la valeur approchée à 10
près par défaut de 537,264.
Que dire de 500 ?
500 est la valeur approchée à 100 près
par défaut de 537,264.
Que dire de 600
600 est la valeur approchée à 1
près par excès de 537,264.
Compléter :
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530< 537,264 < …… |
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A 100 près |
< 537,264 < |
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A 0,1 près |
537,2< 537,264 < |
|
A 0,01 |
< 537,264 < |
3°) Encadrer :
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10,75 à 0,1 près |
10,7 < 10,75 < 10,8 |
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152,3
à 10 près |
150 < 152,3 < 160 |
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74,04 à 1 près |
74 < 74,04 < 75 |
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28,7074 à 0,001 près |
28,707 < 28,7074 < 28,708 |