Pré requis:

Valeur approchée  et approximation

 

La division décimale

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index    warmaths

Objectif précédent   Sphère metallique

1° ) nombre décimal

2°) nombre rationnel

3°) Arrondir  et troncature ;

4°) Ordre de grandeur

INFO   :

1°) Info           

2°) valeurs approchées et encadrement(BEP)

3°) encadrement d’une racine

)puissance « encadrement »

Tableau synoptique   Sphère metallique    

 

Liste des cours sur le calcul numérique

     « ENCADREMENT »

 

1°) Encadrer un nombre 

2°)   Encadrement d’un résultat :  (classe 6ème )

3°) Encadrement du résultat de la division euclidienne et le quotient non exact :

4°) encadrement  et  « irrationnel » ( exemple : racine carré )

5°) Encadrement  d’un rationnel  et division d’un rationnel

Voir encadrement : d’une puissance (hors cours)

6°) Encadrement d’opérations simples

7°) Encadrement : application à un problème simple.

 

 

TEST

           Boule verte

COURS                 Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité

                        Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

COURS

 

Les encadrements sont des doubles inégalités ; Ils ont les mêmes propriétés que les inégalités simples : addition membre à  membre  des encadrements  de même sens…….

Mais , comme pour les inégalités simples , on n’ a pas le droit de les soustraire ni de les diviser . Lorsque l’on veut encadrer une différence «  a - b » , on commence par encadrer (-b)  puis la somme  « a + (-b) , c’est à dire « a - b »

 

De même, pour  encadrer un quotient   , on encadre  puis le produit   , c’est à dire  

D’un encadrement, on peut déduire un autre encadrement en agrandissant celui de départ, jamais en le diminuant.

 

 

 

1°) Encadrer un nombre :

Encadrer un nombre c’est le placer  entre un nombre plus petit que lui  et un autre plus grand que lui .

Exemple :   7 < 7,6 < 8

On dit que 7 est la valeur entière approchée par défaut ; 8 est la  valeur entière approchée par excès.

 

On peut encadrer par deux nombres entiers , ou deux nombres  entiers successifs .

Exemples:

-par deux entiers    73 <  89  < 134

 

73 est plus petit que 89 ;  134 est plus grand que 89

 

- par deux entiers successifs :      88< 89 <90

 

88 est immédiatement plus petit que 89 ; 90  est immédiatement plus grand que 90

 

On peut encadrer par deux nombres décimaux ; par deux nombres décimaux successifs qui n’ont qu’un chiffre après la virgule .

 6,7 < 6,78 < 6,8

 

On dit que 6,7 est la valeur entière approchée à un dixième par défaut ; 6,8 est la  valeur entière approchée à un dixième par excès.

 

 

On peut encadrer par deux nombres décimaux successifs  qui n’ont deux chiffres après la virgule.

 

Exemple : donner la valeur approchée de  3, 872 9 au centième près .

 

Pour le centième près , on prend deux chiffres après la virgule .

                     3 , 87 <  3, 872 9  < 3,88

 

3,87 est la valeur approchée au centième près par défaut ; 3,88 est la valeur approchée au centième près par excès.

 

2°)   Encadrement d’un résultat :  (classe 6ème )

 

Un résultat décimal  est toujours compris entre deux nombres entiers ou deux nombres décimaux .

Nous pouvons donner des encadrements de résultats :

 

Exemples :   0 <  0,63 < 1

                0,6 < 0,63 < 0,7

                0,62 < 0,63 < 0,64

 

3°) Encadrement du résultat de la division euclidienne et le quotient non exact :

Utilité   de l’encadrement du dividende sous la forme :

     

                                           b    q <   a  < b ( q + 1)

 

 

  (utiliser  pour  approcher un nombre dans  les tables de multiplication ) ; en vue de trouver  la valeur du diviseur  en se posant la question :« combien de fois y  a t - il.... « tel nombre »......dans....« tel nombre ».... ? »

 

 

exemple : combien y a t il de fois « 6 » dans « 27 » ?

 D ‘après la table des multiplications  ( fois 6 )   6 fois 5 = 30 ; 6 fois 4 = 24»

 

donc  dans la table  des « 6 » ; 27 est compris entre  24 et 30

 

ce qui se traduit :                                                24  <  27  <  30

 

soit                                                                64. <   27   < 6 5   

      

on retrouve  la forme

 

 

Nous obtenons avec cette relation d’encadrement

 

4°) encadrement  et  « irrationnel » exemple : racine carré )et ( Info plus sur les encadrements de racines)

 

a)   Valeur approchée  et encadrement   d’une racine carrée

Pré requis : arrondir et troncature

Sur la calculatrice , on lit = 2,236 067 978 ….

En général il est inutile de donner toutes les décimales.

Mais on peut affirmer par exemple que :  2,236 <   < 2,237

 

On dit que l’on a un encadrement de  d’amplitude 0,001 .

 

2,236 est une valeur approchée par défaut à  10-3 prés (par excès)de   

 

2,237 est une valeur approchée par excès à  10-3 prés  (par défaut)de

 

 

Plus généralement :

 

Si  a - 10-n  £  x  £   a + 10-n 

On dit que « a » est une valeur approchée de « x » à la précision : 10-n

 

Autres exemples :

 

Encadrement d’amplitude 10-4 de

Calculatrice :

  = 44,69899328

donc  44,6989£  £  44,6990

Encadrement d’amplitude 10-4 de

Calculatrice :

 = 0,234520788

donc : 0,2345£  £  0,2346

 

 

5°) Encadrement et division d’un rationnel

 

Exemple :  x =           

 

 

 

17 , 000000      44

  3   80             

280                      0,38 63 63 63 …             0,386363  < x < 0,386364                                                   

         160

           280               période  « 63 »

             160

               ….

 

 

 

 0,386363   est la valeur approchée à 10-6 prés par défaut de « x »

     0,386364 est la valeur approchée à     10-6 prés par excès de « x » 

 

d’où l ‘encadrement du résultat de la division :

                           0,386363  <  < 0,386364

 

6°) encadrement  d’opérations : de nombres « encadrés »  ( niveau seconde)

 

Application : Deux nombres « x » et « y » vérifient       2 £  x £  3     et  5 £  y £  6   

 

 On veut en déduire un encadrement des nombres suivants par des nombres décimaux ayant au plus un chiffre après la virgule :

 

- x

x + y

;  x y

y - x

 

2 £  x £  3      et   5 £  y £  6   

 

 

         

Réponses :

 

2 ; x et 3 sont positif

         

             4£  £  9    

 

            £   £   

or   1,4  <  et    < 1,8

 

 

donc        1,4 £   £  1,8

 

 

 

-x

       - 2  ³ - x   ³ - 3

 

Donc    - 3 £ - x £ - 2

 

 

2 ; x et 3 sont non nuls et de même signe

 

 

or 1/2 = 0,5   et 1/ 3 = 0,3

 

 

 

 

 

 

x+ y

 

 

Donc :

 (2+5) £  x + y £ (3+6)

     7 £  x + y £   9

 

x y

 

 

;x ; 3 ; 5 ; y ; 6 étant positifs.

 

       10 £ x y £ 18

 

 

y - x

 

 

Donc

2    £ y - x  £   4

 

 

 

Les six membres étant positifs

 

 

 

or 5 / 3 >  1 , 6  et  6/2 = 3

 

donc :

 

 

 

7°) Problème d’application :

 

Une unité de longueur  étant fixée , soit P le périmètre d’un rectangle de côtés l et L.

1°) Exprimer  « P » en fonction de « l » et  « L » ; en déduire l =  P/ 2 - L

2°) On sait que   L vaut 3,2 à 0,1 près et que P vaut 8,4 à 0,1 prés.

a)    Ecrire  un encadrement de L et un encadrement de P

b)   Déterminer alors un encadrement de « l » par des nombres décimaux  n’ayant qu’un seul chiffre après la virgule.

 

Solution :

1°) On a  P = 2 l + 2 L = 2 ( l + L) , il en résulte  que

si         P = 2 ( l +L)  alors    P/ 2 = L + l     soit   P/2 - L = l

  donc                                     l = P/2 - L

 

2°) a) la phrase «  L vaut  3,2 à 0,1 prés » signifie :    3,2 - 0,1 £  L £  3,2 + 0,1

 

c’est à dire :     3,1 £  L £  3,3

 

de même on a :  8,4 - 0,1 £  P  £  8,4 + 0,1  soit      8, 3  £  P  £  8,5

 

c)    comme  l = P/2 - L  , encadrons successivement  P/2 ; - L ; P/2 + (-L)

 

On a    8, 3  £  P  £  8,5  donc  4,15  £  P  £  4,25           ( 1)

 

 3,1 £  L £  3,3    donc     - 3,1 ³  -  L  ³ -  3,3    c’est à dire :   - 3,3 £  - L £  -  3,1  (2)

 

On additionne  membre à membre  les encadrements  ( 1) et (2)

 

                                    4,15 + ( -3,3)   £  P/2 + ( -L) £  4,25  + ( -3,1)

                                                               0, 85  £  l  £ 1,15

 

Cet encadrement de « l » ne répond pas à la question , les nombres 0,85 et 1,15 ayant deux chiffres après la virgule.

Mais on a :   0,8 < 0,85  et  1,15 < 1,2  d’où  

             

 0,8 < 0,85  £    l    £   1,15 < 1,2 

 

et par suite  0,8 < l < 1,2  , encadrement de « l » qui répond à la question.

 

 


 

 

 

 

Travaux auto formatifs.

 

CONTROLE :Préparation

1 )Que veut dire « encadrement »  ?

Voir dictionnaire

 

 

 

EVALUATION à préparer

 

 

 1°)  Définissez le rationnel suivant , à partir de son développement

 

 2°) Deux nombres « x » et « y » vérifient       2 £  x £  3     et  5 £  y £  6   

 On veut en déduire un encadrement des nombres suivants par des nombres décimaux ayant au plus un chiffre après la virgule :

 

- x

x + y

;  x y

y - x

 

Problème d’application :

 

Une unité de longueur  étant fixée , soit P le périmètre d’un rectangle de côtés l et L.

1°) Exprimer  « P » en fonction de « l » et  « L » ; en déduire l =  P/ 2 - L

2°) On sait que   L vaut 3,2 à 0,1 près et que P vaut 8,4 à 0,1 prés.

d)   Ecrire  un encadrement de L et un encadrement de P

e)    Déterminer alors un encadrement de « l » par des nombres décimaux  n’ayant qu’un seul chiffre après la virgule.

 

 

 

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