Pré requis:
|
|
|
|
Les racines
cubiques des cubes parfaits |
|
|
Encadrement
d’un résultat :division euclidienne |
|
Index |
Voir pré requis Lecture complémentaire : les
inégalités (définition et théorème) |
DOSSIER : RACINE et ENCADREMENT d’une
et 
|
TEST |
COURS |
|
COURS :
ENCADREMENT D’UN RESULTAT:
On utilise souvent
la calculatrice pour obtenir la racine carrée ou la racine cubique d’un nombre « à
virgule ».
Il est souvent
conseillé ; nécessaire et préférable d ‘ avoir une
estimation du résultat ; ou
d’encadrer le résultat que l’on devrait trouver ,afin d’éviter de donner
des erreurs de manipulation .
I) Convention de symbolisation et
d ’écriture:
Rappel :
Encadrement d’ un nombre décimal « x ».par deux nombres entiers
consécutifs :
a) Si « x »
est un nombre à virgule, on appellera
« n » la partie
entière de « x »:
exemple:
si x = 76,25 , alors 76 est la partie entière de x ,on l’appelle n;
n=76
b ) Si n
= 76 , alors on dira que n+1 = 76+1
; donc n+1 =77
c) on remarque que si n=76 ; x=76,25 ; n+1 = 77 ,on
peut écrire que l’encadrement de x
est::
n
< x <
n+1 on peut écrire aussi
sous cette forme n1 <
x 1 < (n+1)1
Le
«n » représente la partie entière
du nombre décimal « x »
traduction : le nombre x est compris entre n (sa partie entière) et n+1
(sa partie entière plus un)
A)
Encadrement de 
par deux nombres entiers consécutifs :
n < < (n+1)
Le
«n » représente la partie entière
de la valeur de la racine carrée du nombre « x »
Exemples:
|
si x = |
|
n = |
n+1 |
|
7,26 |
2,6944387 |
2 |
2+1=3 |
|
15,65 |
3,9560081 |
3 |
3+1
= 4 |
|
842,5 |
29,25851 |
29 |
30 |
|
19684,54 |
140,3016 |
140 |
141 |
par conséquence:
en conclusion :
|
n |
< |
(n+1) |
|
2 |
|
3 |
|
3 |
|
4 |
|
29 |
|
30 |
|
140 |
|
141 |
analyse
du résultat: on
peut dire que la racine carrée 7,26 est compris entre 2 et 3
B ) Encadrement de 
par deux nombres entiers consécutifs:
|
si x = |
|
n = |
n+1 |
|
7,26 |
|
1 |
2 |
|
15,65 |
|
2 |
3 |
|
842,5 |
|
9 |
10 |
|
19684,54 |
|
17 |
28 |
conclusion : n
< < (n+1)
Le «n » représente la partie
entière de la valeur de la racine
cubique du nombre « x »
|
n = |
< |
|
< |
n+1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
9 |
|
|
|
10 |
|
17 |
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
analyse du résultat: on peut dire que
la racine cubique de 7,26 est
compris entre 1 et 2
C ) FORME GENERALE:
Encadrement de la racine
nième 
par deux nombres entiers consécutifs
n
< < (n+1)
Avec : Le « n » représente la partie
entière de la valeur de la racine
nième du nombre « x »
Travaux auto formatifs :
I) Donner la
signification des relations mathématiques suivantes:
1°) n <
x < n+1 ; que représente
« n » ?
2° ) n
< 
< (n+1) ; que représente
« n » ?:
3°) n
< < (n+1):. ; que représente
« n »
II) Donner la signification
de la relation mathématique: n
< < (n+1)
I) Encadrement de « x » par
l’utilisation des nombres entiers consécutifs .
: (compléter
le tableau )
|
N |
x |
(n+1) |
|
|
3,2 |
|
|
|
8,57 |
|
|
|
19,3 |
|
|
|
76,25 |
|
|
|
85,63 |
|
II) Encadrement de « »
par deux
nombres entiers consécutifs .
(compléter
le tableau )
|
n |
|
n+1 |
|
|
4,84 |
|
|
|
174,24 |
|
|
|
1024,6401 |
|
|
|
3588,01 |
|
|
|
15200,424 |
|
III
) faire
l’ encadrement de par deux nombres entiers consécutifs
(compléter le tableau )
|
N |
Calculez |
n+1 |
|
|
753,571 |
|
|
|
3652,264 |
|
|
|
59364,642 |
|
|
|
194104,54 |
|
|
|
711882,75 |
|
IV ) Encadrement de par deux nombres entiers consécutifs:
Donner le résultat sous la forme: n < < n +1
ou n est un entier naturel et X un nombre (entier
ou décimal )
|
: n |
< |
|
< |
n
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
