Pré requis:

Les Identités Remarquables
La multiplication

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths

Objectif précédent

1°) Algèbre : résoudre

2°) Le carré d’opérations simples.

3°) le produit et l’élément obsorbant (voir la multiplication des entiers ) .

Objectif suivant :

1°) Les fonctions du second degré

2°) Résoudre l’équation incomplète « ax²+bx=0 »

3°) Résoudre l’équation du second degré : ax² + c = 0

4°) La fonction « ax² »

5°) voir « exclure des valeurs dans un dénominateur »

1°) Sommaire sur les identités remarquables

2°) Algèbre : liste des cours.

DOSSIER :

Résoudre : Les EQUATIONS « PRODUITS » .

· Résolution de la forme :

· Résoudre dans le second degré la forme « ² » .

· Voir exemple :

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS

L’équation produit du second degré est la forme incomplète du trinôme du second degré « ax² + bx + c = 0 »

Avec : b = 0 et c = 0

Reste l’équation « ax² = 0 » ; appelée « équation produit ».

Produit nul :

Dans une multiplication le produit est dit « nul » ( = 0 ) si l’un des facteurs est « nul » ( égal à « 0 ») .

Ce qui se traduit par :

A ´ B = 0 ; si A = 0 ou si B = 0

Activités :

Série 1 :

Déjà vu :	Dans un produit si un facteur est nul le produit est nul.
a fois 0 = 0	Evidemment : 0 fois « quelque chose » = 0
a b = 0	Si a = 0 ou si b = 0
x² = 0 ; (x ´ x = 0)	Alors x = 0

Série 2 : EXERCICES TYPES

On demande de trouver des valeurs de « x » pour que l’égalité soit égale à « 0 ».

Exemple : résoudre

Résolution :

x ( x +2 ) = 0

x₁ ( x₂ +2 ) est égal à 0 si l’un des facteurs ( x₁) et ou (x₂+2) est nul :

« x₁ » est égal à 0 ; si « x » = 0 alors le produit est nul.

«( x₂ +2 ) » = 0 ; si x₂ + 2 = 0 alors le produit est nul ,

On doit résoudre x + 2 = 0 , pour connaître la valeur à donner à « x₂ » pour que l’égalité x + 2 = 0

On neutralise le +2 par -2 ; pour obtenir « « x »seul :

x + 2 + ( -2) = 0 + ( -2) ; ce qui donne x = ( -2)

Conclusion :

le produit x ( x +2 ) est égal à 0 pour x₁ = 0 ou pour « x₂ » = (-2)

Conclusion : x ( x +2 ) = 0 si x = 0 ou si x = -2

II) Résoudre avec les I R c’est rechercher une ou deux valeurs de « x » qui rend « nul » un facteur ; de telle sorte que le produit de facteurs soit nul

EXERCICES TYPES

Résoudre : (x +1 ) (x+1 ) = 0

(x +1 )et (x+1 ) sont des facteurs identiques

Si x +1 = 0 , le produit sera égal à 0

Pour cela il faut résoudre l’équation

X+1 = 0

Donc x = -1

Pour (x +1 ) (x+1 ) = 0

il faut est il suffit que x = -1

Conclusion :si x vaut –1 les facteurs sont nuls

On dira que x = -1 est solution

Ou racine de l’équation

(x +1 ) (x+1 ) = 0

Résoudre : (x -1 ) (x-1 ) = 0

(x -1 )et (x-1 ) sont des facteurs identiques

Si x -1 = 0 , le produit sera égal à 0

Pour cela il faut résoudre l’équation

X -1 = 0

On en déduit que donc x = +1

Pour (x -1 ) (x-1 ) = 0

il faut est il suffit que x = +1

Conclusion :

si x vaut +1 les facteurs sont nuls

On dira que x = +1 est solution

Ou racine de l’équation

(x -1 ) (x-1 ) = 0

Résoudre : (x +1 ) (x-1 )

(x -1 )et (x+1 ) sont des facteurs différents .

Premier facteur :

Si (x –1) = 0 ,

le produit (x -1 ) (x+1 ) sera égal à 0

Pour cela il faut résoudre l’équation

x -1 = 0

On en déduit que donc x = +1

Deuxième facteur :

Si (x +1) = 0 ,

le produit (x -1 ) (x+1 ) sera égal à 0

Pour cela il faut résoudre l’équation

x +1 = 0

On en déduit que donc x = -1

Pour (x -1 ) (x+1 ) = 0

il faut est il suffit que : x = +1 ou x = -1

Conclusion :

> si x vaut +1 le produit de facteurs sera égal à 0

> si x vaut - 1 le produit de facteurs sera égal « aussi » à 0

On dira que x = +1 ; x = -1 sont « solutions » ou « racines de l’équation » (x -1 ) (x+1 ) = 0

RESUME

Cas général : Résoudre ( a + b ) ( c + d ) =0

Si ( a + b ) ( c + d ) =0

Il y aura alors 2 possibilités pour que le produit soit nul :

Pour que le produit soit nul il faut qu’un des facteurs ( a + b ) et ( c + d ) soient nuls :

( a + b ) = 0

( c + d ) = 0

Recherche de la valeur pouvant rendre le facteur ( a + b ) nul :

Si ( a + b ) = 0

En transformant , on en déduit que

a = - b

ainsi :

Si on remplace « a » par « -b »

( -b + b ) ( c + d ) = 0

puisque ( -b + b ) =0

alors le produit 0 ( c + d ) = 0

Recherche de la valeur pouvant rendre le facteur ( c + d ) nul :

Si ( c + d ) = 0

En transformant , on en déduit que

c = - d

ainsi :

Si on remplace « c » par « -d »

( a + b ) ( -d + d ) = 0

puisque ( -d + d ) =0

alors le produit ( a + b ) 0 = 0

On retiendra :

Pour qu’un produit soit nul il suffit qu’un des produits soit nul.

Rappel :

Cas : a x² = 0

L’équation est résolue si :

« a » = 0 ; ou « x » = 0

Cas : x² = 0

Avec a = 1 ; alors x² = 0

X² s’écrit x.x = 0 ; Nous sommes en présence d’une équation produit :

Nous savons que dans un équation produit si un facteur est égal à « 0 » ; le produit est égale à 0

Autre exemple : résoudre :

x ( x -2) = 3 ( x - 2)

x( x -2 ) - 3( x – 2 ) = 0 ;

( x-2)( x-3)=0

si un des facteurs est nul ; le produit est nul : si ( x - 2) = 0 ; sol x = 2 ; si ( x-3)= 0 alors x = 3.

Solutions : « x = 2 ou x = 3 »

Travaux auto formatifs.

CONTROLE :

Complétez la phrase : Pour qu’un produit soit nul il ………………………………………………………….

EVALUATION

Résoudre :

INTERDISCIPLINARITE