Pré requis:
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Les égalités EG1 |
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Les égalités EG2 |
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Les éléments et ensembles
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DOSSIER : algèbre.
Cours :
LES IDENTITES REMARQUABLES ( I.R.)
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TEST |
Devoir Contrôle |
Interdisciplinarité |
|
Corrigé Contrôle |
Corrigé évaluation |
COURS
Cet
objectif aborde les égalités remarquables
, appelé aussi « identités
remarquables »
Cet objectif à pour but d’apprendre à reconnaître identifier et utiliser des types particuliers
d’égalités en vue de traiter rapidement
l’analyse sur les polynômes du second degré.
Les Identités Remarquables ,du second degré, sont
au nombre de trois:
Elles
traitent les formes :
|
( a + b )
(a + b) qui s’écrit aussi
( a + b )2 ;
(( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 |
Exemples
: ( x +1 ) ( x + 1 ) qui s’écrit
( x + 1 ) 2 ;
( 3x + 2 ) ( 3x + 2 ) qui s’écrit
( 3x + 2 ) 2
|
( a - b )
( a - b ) qui s’écrit aussi ( a - b) 2 ; (( a - b) 2 = a2 – 2ab +
b2 |
Exemples : ( x -1 ) ( x - 1 ) qui s’écrit
( x - 1 ) 2 ; (
3x - 2 ) ( 3x - 2 ) qui s’écrit ( 3x -
2 ) 2
|
la
forme ( a + b ) ( a - b ) qui s’écrit
( a - b ) ( a +b ) ; ( a - b ) ( a +b ) = a2
– b2 |
Exemples
: ( x +1 ) ( x - 1 ) qui s’écrit
aussi ( x -1 ) ( x + 1 ) ;
( 3x + 2 ) ( 3x - 2 ) qui s’écrit aussi
( 3x - 2 ) ( 3x + 2 )
Intérêt de cet objectif:
Quantité ou expression conjuguée :
I )
Pour "Factoriser / Développer ":
Après avoir
reconnu une « forme du second degré », il est possible de passer rapidement d’une forme
factoriser à une forme développer
ou inversement .
II) La forme fondamentale : ( a + b ) ( a - b ) = a2
- b2 est utilisée pour rendre rationnel les dénominateurs
de fractions contenant des radicaux tel que :
ou 
; ou 
ou bien encore
;ou alors 
Quantité ou expression conjuguée :
nous conviendrons
d’appeler l’expression ( a + b ) ( a - b ) ;
« expression conjuguée » :
Une
expression conjuguée est un produit de deux facteurs chacun contenant deux
termes leur premier terme étant identique( a),leur
second terme étant opposé ( « +b » et « -b » ).
Exemples :
par définition nous dirons que les expressions :
et 
sont dites
« conjugués »
par définition nous dirons que les expressions :
et 
sont dites
« conjugués »
par définition nous dirons que les expressions :
et 
sont dites
« conjugués »
par définition nous dirons que les expressions :
et 
sont dites
« conjugués »
par définition nous dirons que les expressions :
et 
sont dites
« conjugués »
il suffit de
faire le produit de ces expressions
conjuguées ,le résultat sera
entier ou décimal (les radicaux auront disparus ........)
nous savons par
ailleurs qu’une fraction reste « équivalente » si l’on multiplie le numérateur et le
dénominateur par un même nombre (ou expression même conjuguée) ,si nous voulons
faire disparaître au dénominateur d’une fraction une expression contenant un
radical il suffira de multiplier le numérateur et le dénominateur par
l’expression conjuguée du dénominateur !
( Voir Objectif :sur les fractions contenants des radicaux ( ?)
à ce jour il n’existe pas encore
en s’appuyant sur les trois modèles suivants :
Développement de ( a +b ) (a + b) soit la forme factorisée (a + b ) 2 ;
Recherche de la forme développée:
( a +b ) (a + b), on met un indice à « a » et
« b »
Ce qui donne :
( a1+b1 ) (
a2 + b2) = ?
se souvenir que (a1 = a2 et
b1 = b2 )
a1
a2 + a1 b2 +
b1 a2 + b1 b2 =
a 2 + ab +ab +b2 (comme ab + ab est
égal à 2ab )
on
peut conclure que :
(a
+ b ) 2 = a2 +2ab +b2
Traduction en langage littéral : Le carré de la somme de deux nombres est égal à la somme des
carrées de ces nombres augmentés de leur double produit.
EXERCICES
TYPES :
A ) Développer :
( x +1 ) ( x + 1 ) qui
s’écrit ( x + 1 ) 2
on applique : (a + b ) 2 = a2
+2ab +b2
on pose a
= x et b = 1 ;
(x + 1 ) 2 = x2
+2 fois x fois 1 +12
On
calcule pour chaque terme
2
fois x fois 1 = 2 x
12
= 1
conclusion : (x + 1
) 2 = x2 +2 x +1
B)
Développer : ( 3x + 2 ) ( 3x + 2 ) qui s’écrit ( 3x + 2 ) 2
On applique : (a
+ b ) 2 = a2
+ 2ab +b2
On pose a =
3x et b = 2
: (3x + 2 ) 2 = (3x)2
+2 fois 3x fois 2 +22
On calcule pour chaque
terme:
(3x)2 = 9 x2
2 fois 3x fois 2 = 12 x
22 = 4
Conclusion: (3x + 2 ) 2 = 9 x2 + 12 x + 4
Factoriser
: a2 +2ab +b2
Nous
savons que la forme a2 +2ab +b2 est la forme développer
de (a + b ) 2 ; nous pouvons conclure que la forme factoriser
de a2 +2ab +b2 est
(a + b ) 2 .
Exercice type : Factoriser: 9 x2 + 12 x
+ 4
Procédure: (de
factorisation)
a
) On reconnaît un polynôme du second degré
(grâce au « x2 » )
b) Ce polynôme
contient trois termes positifs il pourrait être de la forme a2 +2ab +b2
c)
Nous allons comparer terme à terme ,pour vérifier si ce polynôme peut se mettre sous la forme (a +b)2 ;
dont la forme développée est a2 +2ab +b2
1 ) Est ce que
9 x2 est de la forme a2 ?
9 est le carrée parfait de 3 on peut écrire 9x2 = 32 fois x2 ,
( se souvenir que le carré d’un produit est égale au produit des carrés
(et inversement le produit d’un carré
est égal au carré des produits : 32x2 =( 3x )2 )
on peut conclure que 9x2 est de la forme a2
; soit ( 3x )2
2) Est ce que 12x est de la forme 2 a b ?
on
décompose 12 en produit de facteurs premiers : 12 = 2 fois 2 fois 3 ; donc
12x s’écrit « 2 » fois « 2 »
fois « 3 » fois « x »
on en déduit que « ab » vaut « 2 » fois « 3 » fois
« x »
on sait que « a » vaudrait 3x
; reste la valeur
« 2 » pour
« b »
3) Est ce que « 2 »
convient pour « b »?
On sait que b2 est égale à 4 ,que racine
carrée de 4 vaut 2 ,
« b » à pour
valeur « 2 »
d) Inventaire des
calculs:
puisque a2 = ( 3x )2
que
b = 2 ;donc que b2 =4
que
2ab = 2 fois 3x fois 2 = 12x
e) Conclusion:
9 x2 + 12 x + 4 est de la forme a2 +2ab +b2
; avec a=3x et b=2
donc la forme factorisée de 9x2 +12x +4 = ( a
+ b ) 2
Réponse : la factorisation de
9x2 +12x +4 est (
3x + 2 ) 2
Certains polynômes du
second degré ne peuvent se factoriser avec cette méthode tel :
x2 + x +
1 ; x2+18x+77 ; 2x2+13x+21 ;........................
Nous trouverons une
solution ,quand elle existe , d’opérer une factorisation lorsque nous
aborderons l’objectif traitant de
l’équation du second degré. « EQUA2° »
APPLICATION
Données du problème :
Un rectangle a pour aire
: ........................
Sa longueur est de : x +
Sa largeur est de x
+ ...
Questions :
Calculer « x »
Calculer sa longueur et
sa largeur:
Voir livre :
mathématique; M.Monge et A.Faurel CAP .2 Sections industrielles 1973;page216
TRAVAUX AUTO FORMATIFS.
CONTROLE:
Donner la forme
mathématique du développer du carré d’une somme de deux nombres.
Qu’appelle-t-on « quantité ou expression
conjuguée » ?
Comment reconnaît-on une
expression conjuguée ?
EVALUATION.
I
)Développer:
(3x+1) 2 =
( x +1 ) 2 =
(x +3 )2
(x +
)2=
(x +1) =
II
) Factoriser: x2 +12x +36 ;
16x2 + 4x + 9 ;
III ) Que faut-il ajouter aux expressions
suivantes pour les transformer en carré d’une somme ?:
a2
+ b 2 ; 9a2 + b2 ;a2 +2ab ; 4a2 +4ab
; 10ab +b2 ; a2
+9b2
III) Donner trois exemples d’expression conjuguée.(dont
une ,au moins, contient au deuxième
terme une racine carrée)
IV) Développement de ( a - b ) (a - b)
soit la forme
factorisée (a - b ) 2
(voir page 7 objectif : FACDEVE)
soit la forme factorisée (a + b ) 2 ;
Recherche de la forme développée:
( a -b ) (a -b) , on met un indice à « a » et
« b »
ce qui donne :
( a1 - b1 ) ( a2
- b2) = ? se souvenir que (a1
= a2 et b1 = b2
)
on transforme les soustractions en additions .
(se souvenir qu une
soustraction se transforme en addition à
condition de respecter la régle : on ajoute au premier nombre l’opposé du
second )
( a - b ) (
a - b )
= ( a1 + (-b1
)) ( a2 + (- b2))
Développement
:
( a - b ) ( a - b )
= a1 a2 +
a1 (-b2) +
(- b1) a2 + (- b1)(- b2 )
On effectue le calcul
pour chaque terme (avant de regrouper )
(voir objectif sur les
décimaux relatifs: Obj: D....)
a1
a2 = a a =
a2
a1
(-b2) = ( - ab )
(-
b1) a2 = - ba =
(-ab )
(- b1)(- b2 ) = + b b
= = (+ b2 )
on réécrit l’égalité: ( a - b ) (
a - b ) = a2 + (- ab ) +
(-ab) + (+ b2)
comme :
(- ab ) + (-ab) donne 2 (- ab )
soit – 2ab
( a - b ) ( a - b )
= a2 + 2 (- ab ) + (+
b2)
ON RETIENDRA :
( a
- b ) (a -b) = a2 - 2
ab + b2
Traduction
en langage littéral :
Le carré de la différence de deux nombres est égal à la somme des carrés
de ces nombres diminuée de leur double produit.
( a - b ) (a - b)
= a2 + b2-
2 ab
EXERCICES
TYPES :
Pour chaque exercice ,il
y a deux solutions:
Première solution
on
applique directement : (a - b ) 2
= a2 -2ab +b2 ; on pose a = x et b = 1
;
Deuxième
solution:
On transforme (a - b ) 2 en (a
+ (- b) ) 2 ; Dans ce cas on pose a = x et (- b) =
(-1 )
et
l’on développe ................
Dans les exemples qui suivent la première solution
sera retenue:
A )
Développer : ( x -1 ) ( x - 1
) qui s’écrit ( x - 1 ) 2
on
applique : (a - b ) 2 = a2 -2ab +b2
(x - 1 ) 2 = x2
- 2 fois x fois 1 + 12
On calcule pour chaque
terme
2 fois x fois 1 = 2 x
12 = 1
(x - 1 ) 2 = x2
-2 x +1
B) Développer : ( 3x - 2 ) ( 3x - 2 ) qui
s’écrit ( 3x - 2 ) 2
on
applique : (a - b ) 2 = a2 - 2ab +b2 ; On pose a
= 3x et b = 2
donc : ( 3x - 2 ) 2 = (
3x )2 - 2 fois « 3x » fois 2 +22
On calcule pour chaque
terme: a2 = (3x)2 = 9 x2 ; 2ab
= 2 fois 3x fois 2 = 12 x ;
b2 = 22 = 4
Conclusion: (3x - 2 ) 2
= 9 x2 -12 x + 4
Factoriser : a2 -2ab +b2 : Nous savons que la forme a2-2ab
+b2 est la forme développer de
(a - b ) 2 ; nous
pouvons conclure que la forme factoriser de
a2 -2ab +b2
est (a - b ) 2 .
Exercice type : Factoriser: 9 x2 - 12 x
+ 4
Procédure: (de factorisation)
a )On reconnaît un polynôme du second degré (grâce au « x2 » )
b) On remarque que ce polynôme
contient trois termes ,dont un terme (en « x » de degré 1 )
, « négatif », il pourrait
être de la forme a2 -2ab
+b2
c) Nous allons comparer terme à
terme ,pour vérifier si ce polynôme peut
se mettre sous la forme (a-b)2
; dont la forme développée est a2 -2ab +b2
1 )
Est ce que 9 x2 est de la forme a2 ?
CONVENTION D’ECRITURE :
Dans l’expression
(a - b ) 2 ; 9 x2 est de la forme « a2 »
est non de la forme « b2 » ; parce que « le terme en
« x » de chaque facteur est « en tête » , donc suivi du
signe « - »
On utilisera
toujours cette écriture (x - b ) 2 au lieu de
(a - x ) 2 )
9 est le carrée parfait de 3 on peut écrire 9x2 = 32 fois x2 ,
( se souvenir que le carré d’un
produit est égale au produit des carrés (et inversement le produit d’un carré est égal au carré des
produits : 32x2 =(
3x )2 )
on peut conclure que 9x2 est de la forme a2
; soit ( 3x )2
2
) Est ce que 12x est de la forme 2 a b ?
on
décompose 12 en produit de facteurs premiers : 12 = 2 fois 2 fois 3 ; donc 12x s’écrit « 2 » fois « 2 » fois « 3 » fois
« x »
on en déduit que « ab » vaut « 2 » fois « 3 » fois
« x »
on sait que « a » vaudrait 3x
; il reste
la valeur « 2 » pour « b »
3 )
Est ce que « 2 » convient pour « b »?
On sait que
b2 est égale à 4 ,que racine carrée de 4 vaut 2 , donc « b » à pour valeur « 2 »
d) Inventaire des
calculs:
puisque a2 = ( 3x )2 ; que
b = 2 ;donc que b2 =4 ;
que 2ab = 2 fois 3x fois 2 = 12x
e) Conclusion:
9 x2- 12 x + 4 est de la forme a2 -2ab +b2 ; avec a = 3x et b = 2 ; donc la forme factorisée de 9x2 -12x +4 = ( a
-b )2
Réponse la factorisation de 9x2
-12x +4 est ( 3
x - 2 ) 2
Certains polynômes du
second degré ne peuvent se factoriser de façon « directe » tel :
x2 - x +
1 ; x2-18x+77 ; 2x2-13x+21 ;........................
Nous trouverons une
solution ,quand elle existe , d’opérer une factorisation lorsque nous
aborderons l’objectif traitant de
l’équation du second degré. « EQUA2° »
APPLICATION
Données
du problème :
Un retangle a pour aire
: ........................
Sa longueur est de : x +
Sa largeur est de x
+ ...
Questions :
Calculer « x »
Calculer sa longueur et
sa largeur:
TRAVAUX AUTO FORMATIFS.
CONTROLE:
Donner la forme
mathématique du développer du carré d’une différence de deux nombres.
EVALUATION.
I )
Développer:
(3x-1) 2 =
( x-1 ) 2 =
(x -3 )2 =
(x -)2=
(x
-1) =
II
) Factoriser:
x2 - 12x
+36 ; 16x2 - 4x + 9 ;
III
) Que faut-il ajouter aux expressions
suivantes pour les transformer en carré d’une différence ?:
a2
+ b 2 ; 9a2 + b2 ;a2 - 2ab ; 4a2 - 4ab
; -10ab +b2 ; a2
+9b2
Développement
de ( a + b ) (a - b)
soit la forme
factorisée a2 - b 2
(voir page 7 objectif : FACDEVE)
Recherche de la forme
développée:
( a + b ) (a - b) , on met un indice à « a » et
« b »
ce qui donne :
( a1 + b1 ) ( a2
- b2) = ? se souvenir que (a1
= a2 et b1 = b2
)
on transforme les soustractions en additions .
(se souvenir qu une
soustraction se transforme en addition à
condition de respecter la régle : on ajoute au premier nombre l’opposé du
second )
( a + b ) (
a - b )
= ( a1 + b1
) ( a2 + (- b2))
Développement
:
( a1 + b1
) ( a2 + (- b2)) =
a1 a2 + a1 (-b2) +
b1 a2 + b1(-
b2 )
On
effectue le calcul pour chaque terme
(avant de regrouper )
(voir objectif sur les
décimaux relatifs: Obj: D....)
se souvenir que
(a1 = a2 et
b1 = b2 )
a1
a2 = a a =
a2
a1
(-b2) = ( - a1b2 ) = - ab
b1
a2 = ba
= ab
b1
(- b2 ) = - b1 b2 = - b
b =- b2
on
réécrit l’égalité:
( a + b ) ( a - b ) =
a2 + (- ab ) + ab + (- b2)
( a+ b ) ( a - b ) = a2 + 0+ (- b2)
( a+ b ) ( a - b )
= a2 - b2
ON
RETIENDRA :
( a
+b ) (a -b) = a2 - b2
Traduction en langage littéral :
Le produit de la somme de deux nombres par la différence de ces deux nombres est égal à la différence des
carrés de ces nombres .
EXERCICES TYPES :
Pour chaque exercice ,il
y a deux solutions :
Première solution : on
applique directement : ( a +b ) (a -b)
= a2 - b2 ; on pose a = x et b = 1
;
Deuxième
solution : On transforme
( a + b ) ( a - b ) en (
a1 + b1 ) ( a2
+ (- b2))
Dans ce cas on pose a = x et (- b) =
(-1 ) et l’on développe ................
Dans les exemples qui suivent la première solution
sera retenue:
A )
Développer : ( x +1 ) ( x - 1 )
on applique : ( a +b ) (a
-b) =
a2 - b2
Exemple : (x +1 ) (x - 1
) =
x2 - 12
On calcule pour chaque
terme : a 2 =x fois x
= x2 et
b 2 =12 = 1
Donc : (x - 1 ) 2 = x2
-1
B) Développer : ( 3x + 2 ) ( 3x - 2 ) ; on applique : ( a +b ) (a -b) = a2 - b2
On pose a = 3x
et b = 2 ; : ( 3x + 2 ) ( 3x - 2 ) =
( 3x )2 - 22
On calcule pour chaque
terme: a2 = (3x)2 = 9 x2
et b2 = 22
= 4
Conclusion: ( 3x + 2 ) ( 3x - 2 ) = 9 x2 -4
Factoriser : a2 - b2
Nous savons que la forme a2-b2 est la forme
développer de (a + b ) (a - b ) ; nous pouvons conclure que la forme
factoriser de a2 -b2 est
(a + b ) (a - b ).
Exercice
type : Factoriser 9 x2 - 4
Procédure: (de factorisation)
a
) On reconnaît un polynôme du second degré
(grâce au « x2 » )
b)
On remarque que ce polynôme contient
deux termes ,dont pas de
terme « x » de degré 1
mais un terme
« négatif », il pourrait
être de la forme a2 -b2
c)
Nous allons comparer terme à terme ,pour vérifier si ce polynôme peut se mettre sous la forme ( a+b)(a-b); dont la
forme développée est a2 -b2
1 )
Est ce que 9 x2 est de la forme a2 ?
CONVENTION D’ECRITURE :
Dans
l’expression (a - b ) 2 ; 9 x2 est de la forme « a2 »
est non de la forme « b2 » ; parce que « le
terme en « x » de chaque facteur est « en tête » , donc
suivi du signe « - »
On
utilisera toujours cette écriture (x+ b ) ( x - b ) au lieu de (a + x ) ( a -x )
9 est le carrée parfait de 3 on peut écrire 9x2 = 32 fois x2 ,
(
se souvenir que le carré d’un produit est égale au produit des carrés (et
inversement le produit d’un carré est
égal au carré des produits : 32x2 =( 3x )2 )
on peut conclure que 9x2 est de la forme a2
; soit ( 3x )2
3) Est ce que
« 2 » convient pour
« b » ?
On sait que
b2 est égale à 4 ,que racine carrée de 4 vaut 2 , donc « b » à pour valeur « 2 »
d) Inventaire des
calculs: puisque a2 = ( 3x )2 ; que
b = 2 ;donc que b2 =4
e) Conclusion:
9 x2 - 4 est de la forme a2 -b2 ; avec a=3x et b=2 ; donc
la forme factorisée de 9x2
-4 =
( 3x+ 2) ( 3x- 2)
Réponse : la factorisation de 9x2 -4 est (
3x+ 2) ( 3x- 2)
Certains polynômes du
second degré ne peuvent se factoriser de façon « directe » tel :
x2 + 1 ; x2-77 ; 2x2-21 ;........................
Nous trouverons une
solution ,quand elle existe , d’opérer une factorisation lorsque nous
aborderons l’objectif traitant de
l’équation du second degré. « EQUA2° »
APPLICATION :
Données
du problème :
Un rectangle a pour aire
: ........................
Sa longueur est de : x +
Sa largeur est de x
+ ...
Questions :
Calculer « x »
Calculer sa longueur et
sa largeur:
Donner la forme
mathématique du développer d ‘une somme de deux nombres par la différence de
ces deux nombres.
I )
Développer:
(3x+1)(3x-1) =
( x+1 )( x-1 ) =
(x +3 )(x -3 ) =
(x +)(x - ) =
(x +1) (x -1) =
II ) Factoriser:
x2-36 ;
16x2 -9 ;
III ) Que faut-il ajouter
aux expressions suivantes pour les transformer en carré d’une différence ?:
a2
+ b 2 ; 9a2 - b2 ; 4a2 - 4b2 ;; a2
- b 2 ; a2 -9b2
DEVOIR BILAN:
Factoriser les
expressions suivantes:
(il est nullement
question ici de chercher à résoudre une équation ,ni même d’étudier une
fonction ;il est simplement demandé de trouver une nouvelle forme d’écriture
mathématique)