RAPPEL :

un facteur ?

a) Un facteur est un nombre ,ou une lettre, situés à droite et à gauche du signe ( x ; appelé « croix » qui signifie « multiplier »).

Exemples : 2a : « 2 » et « a » sont des facteurs ; on dit aussi : « 2a » est un produit de facteurs.

Un terme ?

Un terme est un nombre , lettre ou produit de facteurs situé à droite ou à gauche d’un signe + ou -

« 2a + B – 3cd + 35 » ; « 2a » ; « +B » ; « - 3 cd » ; « +35 » : sont les termes de l’expression algébrique……..

En conclusion :

les termes sont situés à droite et à gauche du signe opératoire « plus » ou « moins » alors que les facteurs sont situés à droite et à gauche du signe ( x ; appelé « croix » qui signifie « multiplier »).

Vocabulaire: le signe opératoire de la multiplication ,en forme de « croix » , peut se traduire par plusieurs « mots »:

le mot « fois » : ( 3fois 7)

par «  multiplié par » : ( 3 multiplié par 7 )

« fois entre parenthèses » : ( 3 fois entre parenthèses 5 + 2 ; pour 3 ( 5+2)

« facteur de » (3 facteur de 5+2 ; pour  3 ( 5+2) )

CONVENTIONS D’ECRITURE:

Dans les expressions algébriques le signe « multiplier » n ‘ est jamais représenté

On ne trace pas la « croix »  pour éviter toute confusion avec la lettre « x »,qui est couramment utilisée pour représenter «  l’inconnue » .

En l’absence de signe ,il y a toujours « produit » entre:

un nombre et une lettre : 3x ;lire « trois fois ixe »

(le mot « fois » doit être remplacé par «  multiplié par » )

Deux lettres : ab ; lire «  a fois b » ou « a » facteur « b »

Un nombre et une racine: 3 ;lire « 3 fois racine carré de 18 »

Un nombre et une parenthèse : 3 ( 2x + 1) ; lire « 3 fois entre parenthèses 2 ixe plus un » ou aussi « 3 facteur de 2ixe plus un »

les groupes de mots « fois entre parenthèses » et « facteur de » ont la même signification .

Une lettre et une parenthèse: x ( 2x +2)  , lire «  ixe facteur de 2ixe plus 2 »

Entre deux parenthèses : (2x+1)(3x+2) , lire « 2ixe plus un » entre parenthéses facteur de « 3 ixe plus 2 » )

OBJECTIF: FACTDEVE Définition de l’objectif : Savoir factoriser et ou développer des expressions algébriques.

Première partie: Factoriser .

Le mot « factoriser » doit être associer au mot « facteur » (voir objectif EG1 )

Factoriser:

Activité mathématique qui consiste à transformer une somme ( ou expression) algébrique pour la mettre sous la forme « d’un produit de facteurs ».

La factorisation n’est possible que si l’on identifie un « facteur commun » évident ou que l’on découvre aprés avoir fait la décomposition de chaque terme de l’expression. (La factorisation n’est pas toujours possible ou toujours évidente

Procédure permettant de factoriser « une somme » :

Exemple : factoriser 3x+15

a ) Décomposer sous forme de produit chaque terme de l’expression:

3x = 3 fois x

15 = 3 fois 5

b )Identifier dans les termes quel est le chaque facteur commun ou le produit de facteurs communs (on dit aussi de même indice).

Facteur commun = 3

c ) Ecrire le facteur ou le produit de facteurs communs et ouvrir une parenthèse, écrire l’expression donné en remplaçant dans la décomposition de chaque terme le ou les facteurs communs par l’élément neutre « 1 ». Fermer la parenthèse .

3 ( 1 x + 15)

Pour chaque terme (se trouvant dans les parenthèses ) remplacer la décomposition par un nouveau produit.

( 1 x + 15) = ( x + 5 )

puisque : 1 x = x et 15 = 5

d ) Rendre compte :sous forme d’une égalité :

3x + 15 = 3 ( x + 5 )

premier membre : l’expression à factoriser : 3x + 15

deuxième membre : la factorisation terminée.: 3 ( x + 5 )

Conclusion 3x + 15 = 3 ( x + 5 )

Modèle mathématique(à retenir)

ab + ac = a ( 1 b + 1 c )

ab + ac = a ( b + c )

Avant de procéder à la factorisation il faut d’identifier un facteur commun:

(Pour chaque cas , il faut appliquer la procédure vu précédemment)

a) le facteur commun peut être un nombre:

5 x + 15 = donne 5 ( x + 3 )

b) le facteur commun peut être une lettre

3x ² +x = ,donne x ( 3 x + 1 )

c) Ce peut être un produit de facteurs:

9x² -3x = 3 x ( 3 x -1)

d ) Le facteur commun peut être «le groupe de termes  entre parenthése »

(x-1) ² - (x- 1) = (x-1 ) [ (x-1) - 1 ]

FACTORISATION d ’ un polynôme du second degré : (forme ax² +bx +c)

(contenant au plus trois termes dont un terme du second degré )

Exemple :x² + 2x -3

nous remarquerons que le dernier terme ne contient pas de facteur commun;

La factorisation de cette forme fera appelle à des connaissances contenues dans les deux objectifs suivants :

Objectif : Identrem (sur les identités dit aussi « égalités » remarquables)

Objectif : Secdegré ( factorisation des polynômes du second degré)

CONTROLE:

1°) Quel est le signe opératoire qui n ’apparaît pas dans une expression algébrique ?

2°) Comment reconnaît - on un facteur ?

3 °)Que peut-être « un facteur » ?

4°) Traduire en langage littéral:

3

3x

ab

x²y

3(2x+1)

2(x-3)

x(x+1)

(a+b)² = (a+b) (a+b)

(a-b)(a-b) = (a-b)²

(a+b)(a-b) = a² - b²

Donner la procédure qui d’opérer une factorisation :

EVALUATION:

Factoriser les expressions suivantes:

5 + 35 =

5 +25 =

2x + 6 =6x + 3 =

3x +5x =

11x -8x =

Remarque : il faut se souvenir qu ‘ une « puissance » est une écriture « condensée » de la multiplication , dit aussi « produit de facteurs communs .

x² + x =

x³ +x² =

3x² + 6=

2 x² +2² =

3 x (x + 2 ) + x ( x + 2 ) =

(x+1) (2x+3) + (x + 1 ) ( 5 x +7 ) =

( x - 1 ) ² + ( x- 1 ) ( x + 3 ) =

DEVELOPPER:

« Développer »  est une activité mathématique qui a pour but de transformer un « produit » en « somme  algébrique » .

Condition minimum pour réaliser un développement :

Avoir un produit de deux facteurs dont un facteur étant un nombre ou une lettre ,le second facteur étant composé d’une « somme » de deux ou plusieurs termes.

Modèle mathématique : a ( b + c ) ou a ( b - c )

Exemples: 2 ( x + 3 ) ; x ( 2x - 5 ) ; a ( b + c - d ) ; autres exemples: 3x ( 7 x -12 ) ; x² ( x - 3 )

Procédure de développement:

Exemple : a ( b + c )

a ) Multiplier le premier terme du deuxième facteur par le premier facteur.

a fois b = ab

b ) Multiplier le deuxième terme du deuxième facteur par le premier facteur.

a fois c = ac

c ) Rendre compte:

le premier membre étant le produit de facteurs ,le deuxième membre étant composé des deux termes calculés précédemment.

Conclusion : a ( b + c ) = ab + ac

A RETENIR

Traduction mathématique:

a ( b + c ) = a b + a c

On dit aussi :

que « développer » c’est «  distribuer le facteur simple sur les termes contenus dans la parenthèse »

Applications:

Enoncé: Développer (on dit aussi « effectuer » )

Exemple : 2 ( x + 3 ) = ?

on calcule :

a) 2 fois x = 2x et

b ) 2 fois 3 = 6

c) Conclusion:

2 ( x + 3 ) = 2x + 6

Exemple N°2 : 3x ( 7 x -12 ) = ?

a) 3x₁ fois 7x₂ = 3 fois x₁ fois 7 fois x₂

= 3 x₁ 7 x₂

= 3 7 x₁ x₂

= 21 x²

= 21 x²

b) 3 x fois -12 = 3 x -12

=3 -12 x

= -36 x

c) Conclusion:

3x ( 7 x -12 ) = 21 x² - 36

Autres cas rencontrés :

Le premier facteur contient deux termes

Nous avons un produit de facteurs ,chaque facteur étant une somme de deux (ou plusieurs) termes.

Modèle mathématique : du type ( a + b ) ( c + d ) = ?

Trois autres cas sont couramment rencontrés;

Un des facteurs contient un signe opératoire « moins » , tel que :

(a +b ) ( c- d)= ? ; ou ( a - b ) ( c + d )= ? ;

Les deux facteurs ont un signe opératoire « moins » : ( a - b ) ( c - d ) = ?

dans ces trois modèles ,se souvenir ,pour les applications que a - b = a + opp.b ;

c - d = c + opp.d

Exemples:

a) ( x + 3) ( x - 1) devient ( x + 3) ( x + (- 1))

b) ( x - 3) ( x - 1) devient ( x + (-3)) ( x + (- 1))

Procédure de développement : du type ( a + b ) ( c + d )

a ) Multiplier au premier terme du premier facteur le premier terme du deuxième facteur:

a fois c = ac

b) Multiplier au premier terme du premier facteur le deuxième terme du deuxième facteur:

a fois d = ad

c) Multiplier au deuxième terme du premier facteur le premier terme du deuxième facteur:

b fois c = bc

d) Multiplier au premier terme du premier facteur le premier terme du deuxième facteur:

b fois d = bd

e) Rendre compte:

conclusion: ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd

Remarque : Dans les applications on peut souvent regrouper les produits ad et bc .

Applications:

nous traitons les cas courants :

Premier cas :

(x +3) ( 2x +7) = ?

a ) x fois 2x = 2 x²

b ) x fois 7 = 7x

c ) 3 fois 2x = 6x

d ) 3 fois 7 = 21

Conclusion :

(x +3) ( 2x +7) = 2 x² + 7x + 6x +21

nous pouvons regrouper les termes en x ( ce qui correspond à une factorisation de 7x + 6x qui est égal à 13x)

donc : (x +3) ( 2x +7) = 2 x² + 13x +21

Deuxième cas :

Développer et regrouper les termes de même degré:

(x +3) ( 2x -7) = ?

On transforme : (x +3) ( 2x -7) = (x +3) ( 2x + (-7))

a) x fois 2x = 2x²

b) x fois (-7) = -7 x

c) 3 fois 2x = 6x

d) 3 fois (-7) = -21

Conclusion:

(x +3) ( 2x -7) = 2x² -7x +6x -21 (nous regroupons les termes de même degré : -7x + 6x est égal à -x )

(x +3) ( 2x -7) = 2x² -x -21

Troisième cas :

(x -3) ( 2x -7) = (x +( - 3)) ( 2x + (-7)) =

a) x fois 2x = 2x²

b) x fois ( -7) = -7 x

c) (-3) fois 2x = - 6 x

d ) (-3) fois (-7) = +21

Conclusion:

(x +3) ( 2x -7) = 2x² - 7 x - 6 x + 21

(nous regroupons les termes de même degré ; -7x plus-6x est égal à -13x )

(x +3) ( 2x -7) = 2x² - 13 x +21

PUISSANCE « 2 »  D ’ UNE ADDITION ; ou D’UNE SOUSTRACTION

LES CAS SUIVANTS FONT L ‘ OBJET D’UN TRAVAIL PARTICULIER:

Les facteurs contiennent des termes identiques:

(a + b)² = (a + b) (a + b) = ?

(a - b)² = (a - b) (a - b) = ?

Les facteurs sont identiques ,le signe séparant les termes sont opposés:

(a + b) (a - b) =(a + b) (a - b) = ?

Se sont des cas remarquables et « à remarquer » ,que l’on doit connaître pour effectuer rapidement un développement ou une factorisation.

De nombreux exercices en mathématique font appel à ces savoirs:

(Voir objectif : identrem )

Voir + : PUISSANCE « 3 » ; d’une addition ou d’une soustraction.

CONTROLE:

1° ) Que signifie: Développer ?

2° ) Donner la condition minimum per mettant de faire un développement.

3° ) Donner le modèle mathématique représentant ce minimum.

4 ° )Donner le modèle mathématique sur le développement de ( a + b ) ( c + d )

EVALUATION :

1° ) Développer les expressions suivantes :

a) 9 ( 3 + 5 ) =

b) 3 ( 4 -2x ) =

c) 4 (3x - 5 ) =

d) x (2y - 5x ) =

2) ) Développer les expressions suivantes et simplifier si possible :

a) ( x +1 ) ( x -2 ) =

b) ( x +5 ) ( 3x -2 ) =

c) ( -4x +3 ) ( 5 x - 6 ) =

d) ( x +5 ) ( x + 5 ) =

e) ( x -5 ) ( x - 5 ) =

f) ( x +5 ) ( x - 5 ) =

g) ( 2x +3 )² =

h) ( -3x +1 ) ² =

j) ( a + b )² =

k) ( a - b )² =

m) ( a + b ) ( a - b ) =