Activité vues au collège :

Exemple 1 :  On vous propose de vous montrer comment simplifier la fraction    

Procédure :  Voici comment on peut  faire .

-         On remarque que « 504 » et « 756 » se termine par un multiple de « 2 » , ils sont « pairs ».

Ils sont donc divisibles par  « 2 »   on a alors :

-         On remarque que  « 252 » et « 378 » sont  encore divisible  par  « 2 » ; donc

-        Peut-on encore simplifier  par « 2 » ?  ……NON…

-        Nous allons regarder si les deux nombres « 126 » et « 189 »  sont divisibles par « 3 ».

                Calculons la  somme des chiffres de « 126 »  =   «  1 + 2 + 6 = 9 »  ( « 9 » est divisible par « 3 » donc  « 126 » est divisible par « 3 » )  ;  

                Calculons la  somme des chiffres de « 189 »  =   «  1 + 8 + 9 = 18 »  ( « 18 » est divisible par « 3 » donc  « 189 » est divisible par « 3 » )  ;  

-        « 126 » et « 189 » sont divisibles par « 3 » , on peut donc simplifier la fraction   par « 3 » :   ; on remarque que les termes sont encore multiple de « 3 » ;en conclusion ;  on pouvez simplifier la fraction  par « 9 » :  

Peut-on encore simplifier par « 9 » ou par « 3 » ? ……NON…… ; Peut-on simplifier par « 5 » ? …….NON ……

-        « 14 » et « 21 » ont encore un diviseur commun ( différent de « 1 ») qui est  « 7 » … ; donc  

-        Pratiquement on écrira :  

-        Réponse :  

Simplification d’une fraction:

Par définition :              Simplifier une fraction c’est diviser le numérateur et le dénominateur par une même nombre non nul.

Procédure pour simplifier une fraction:

      I ) Décomposer  les nombres en produit de facteur.

                  Si  « a » (numérateur) et « b » (dénominateur) sont des nombres composés (voir NP3) ,nous pouvons décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers (SOS Cours).(Les facteurs communs sont des diviseurs communs ).

     II)  Supprimer* un facteur commun.

          Il suffit de supprimer, dans la décomposition en produit de facteurs premiers du numérateur et du dénominateur, un  facteur commun ,

     III  ) Recalculer le numérateur et le dénominateur. 

            ensuite de recalculer le nouveau numérateur et dénominateur ,on obtient une nouvelle fraction égale à celle d’origine.

(* « supprimer un facteur commun »:cela revient a neutraliser ce facteur commun en le remplaçant par  1)

Exemple d ‘ Application:          . Simplifier 

Résolution :

 I )on décompose 42 et 105

                                   42 = 2 x 3 x 7

                                   105 = 3 x 5 x 7

ce qui donne:

                     =   =  (nous avons deux solutions de simplification)  

II) On supprime* un facteur commun: 

(* « supprimer un facteur commun »:cela revient a neutraliser ce facteur commun en le remplaçant par  1)

 soit       ===   (ici le facteur commun « choisi »est 3  )     ou            ===      (ici le facteur commun choisi  est  7)

III ) On propose une solution:   ou 

                    Si aucune consigne  n ’apparaît ,  on propose la solution qui nous convient.

 Cas où la  Simplification est  évidente :

                  Certaines simplification peuvent paraître évidentes ,notamment lorsque l’on connaît les caractères de divisibilité.

par exemple  :  simplifier la fraction   ;

          dans ce cas certaines simplifications sont évidentes puisque 12 et 36 sont divisibles par deux  et par trois , deux réponses immédiates sont possibles:

    ;;...d’autres en découlent

 Il en est de même pour  une fraction du type  :   où l’on remarque la simplification évidente  telle  :

Activités :        Simplifier directement les fractions suivantes :