Pré requis:

Info sur "décomposition d'un nombre entier"
PUISSANCE 1 nomenclature
"Décomposition" d' un nombre
Nombre entier  ; produit
facteurs   ; premier
DIVISION EUCLIDIENNE

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index  warmaths	Objectif précédent : 1°)Le nombre premier     2°) liste des nombres premiers	Objectifs suivants	Tableau        31 Les nombres premiers (présentation)   Voir : liste des cours de calcul numérique
		1°) Rendre une fraction irréductible 2°)Calcul du   PGCD
		3°) Calcul du  PPCM

 

DOSSIER:  

Décomposer un nombre (entier naturel ) en produit de facteurs premiers

 

TEST

COURS

Contrôle

évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

 

WAR MATH : N°31 Rappels :

 

 

DECOMPOSITION  d ’ un nombre entier sous la forme d' un produit de facteurs premiers

 

INFOS : OBJECTIF: Savoir écrire un nombre composé sous forme de produit de facteurs premiers

 

 

RAPPEL:

         a) Revoir la liste des nombres premiers  de 0 à 99.

         b)  Le produit est le résultat de la multiplication.

         c)  On appelle "facteur" le nombre ou lettre situé a droite et à gauche du signe  "multiplié".

         d) Voir l’Objectif : Puissance1

           Le produit d'un même nombre s'appelle  "puissance"

 

    

 TEST RAPPEL

 

   a)    Citer les nombres premiers compris entre 0 et 50

   b)    Qu'appelle-t-on  "produit" ?

   c)    Qu'appelle-t-on   "facteur"

   d)    Ecrire sous forme de puissance:

           22=          ;   333=                               ;  777777 =  ;

 

 

ATTENTION ,c'est exceptionnellement  et pour les besoins de l’exercice ,que le signe  " x"  représente le signe multiplié.

 

           aaaa  =                            bbbbb =

 

           aabb=                          aaabbbbb=

  

           2aa=               22 aa =           222aa=                  222aaa =

 

 

 

INFORMATION COURS:

 

 

A savoir :

 

         Tout nombre entier naturel ,non premier ,supérieur à 1 peut-être décomposé en produit de facteurs premiers.

 

Procédure (Mode opératoire )permettant d 'effectuer une décomposition  d' un nombre en produit de facteurs premiers

 

 

Ordre	Exemples: Avec « 420 » ; « 123 » et « 539 »
1°)Diviser le nombre (donné) par son plus petit diviseur premier; (Pour trouver le plus petit diviseur premier on essaie la division avec  2 ;3; 5; 7;11; 13 ; .....jusqu'à ce que dans la division euclidienne "r"  égal 0) on obtient alors un "quotient 1"	« 420 »  se divise par 2 (plus petit diviseur premier)  (quotient 1=210) ainsi :   420 =  210 x 2   « 123 »    se divise par 3  « (plus petit diviseur premier); (quotient1 =41)   « 539 »    se divise par 7 (plus petit diviseur premier)  ; (quotient1 =77)
2°) (on prend le quotient1 obtenu dans la division précédente)          On divise le quotient précédent par son plus petit diviseur premier   (on essaie  avec   2;3;5;7;...., jusqu'à ce que l'on obtienne  le reste égal 0 dans la division euclidienne)	Pour « 420 »      ; quotient1 = 210 (:2 ) ;On obtient le quotient2 =105 Ainsi  420 =  2 x 2 x 105   Pour  « 123 »      ; quotient 1= 41 Pour    « 539 »      ; quotient1 = 77
3°)Si le quotient n'est pas encore premier ,on continu à diviser   on divise le  quotient obtenu précédemment par un autre nombre premier ,ainsi de suite jusqu'à ce que le quotient devienne premier.	Pour « 420 »    105 on ne peut le diviser par « 2 »     le  quotient2 =105 ;…est divisible par 3 on  obtient le quotient : quotient3 = 35 Ainsi  420 =  2 x 2 x 3 x 35
Idem ;……….idem …….	quotient3 = 35 ;……(se divise par 5) quotient 4  = 7 420 =  2 x 2 x 3 x 5 x 7
4°) on termine la décomposition en divisant  le dernier quotient  "premier " par lui-même.	Le quotient 4  = 7  ; se divise par le dernier diviseur premier "7"   Ainsi  420 =  2 x 2 x 3 x 5 x 7x 1
5°) le dernier quotient est égal à "1"	Quotient 5 = 1
6°)Rendre compte Lon prend tous les diviseurs premiers !	Pour conclure :   420 =  2 2 3 5 7   « 2 2 3 5 7 »   est la décomposition du nombre « 420 » , écrit sous forme d’un produit de nombres premiers.

         

 

 

 

 

 

Disposition pratique de calcul : dans un cadre de (5 cm sur 5cm ) séparer verticalement dans le milieu pour obtenir 2 colonnes .

dans la colonne de gauche

            nous y inscrirons le nombre donné à décomposer et dessous  nous inscrirons successivement les quotients obtenus par calcul (ceux ci sont par ordre décroissant).

 

Colonne de droite : lieu des diviseurs premiers, classer par ordre décroissant.

Colonne de gauche : lieu des quotients ; par ordre décroissant.

Dans la colonne de droite nous y inscrirons les nombres premiers  ,diviseurs des quotients obtenus successivement
   Exemple  d'application:

I)   Consigne:                décomposer 420 en produit de facteurs premiers.

 

  Questions à se poser pour effectuer la décomposition :

 

Q1 ) prendre le nombre 420 et s’interroger :     420   est - il divisible par le nombre premier :.....2... ;faire l’opération ;on trouve « q »=210 et r = 0 ; ( 420est divisible par 2 : voir les caractères de divisibilité)

Q2) prendre le quotient précédent 210  et s ’ interroger : 210  est - il divisible par le nombre premier :.....2... ;faire l’opération ;on trouve « q »=105 et r = 0  ( 210 est divisible par 2 : voir les caractères de divisibilité)

 

Q3)  prendre le quotient précédent « 105 »  et s ’ interroger :est ce que « 105 » est divisible par le nombre premier :.....2... ;faire l’opération ;on trouve « q »= 52 et r =1 ;donc 105 n’est pas divisible par 2 ;

( 105 est divisible par 3  : voir les caractères de divisibilité)

 

 essayer si 105 est divisible par 3 ; on effectue l’opération ; « q »=35 ;r =0 ; ( 105 est divisible par 3 )

procéder ainsi de suite........

 

 

        

 colonne gauche:                       colonne: de droite                          liste des nombres                                                                                                                        premiers

     QUOTIENTS             DIVISEURS

2;3;5;7;11;13;19;23;29;..

                   420                           2  (premier nombre premier) ( 2₁)                         

                                           (420=2x210+0)

              210                      2  (deuxième nombre premier)     (2₂)              2;3;5;7;11;13;19;23;29;..

                                          (210=2x105+0)

 

              105             Þ         3   (troisième nombre premier) (3₁)          ( 2 ); 

3;5;7;11;13;19;23;29;..

                                           (105=3x35+0)

 

               35              Ù          5  (quatrième  nombre premier)      (  2 ;3 );5;7;11;13;19;23;29;..    

                                           (35=5x7 +0)            (5₁)

 

                7               Ù          7     (cinquième  nombre premier)      ( 2;3;5 );7;11;13;19;23;29;..

                                                     (7=7x1+0)    (7₁ )

                 1                             1

 

 

 

   lorsque le calcul en colonne est terminé  il faut rendre compte de la façon suivante:

 

           420 =  2 2 3 5 7 (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PRESENTATION  DU RESULTAT :

 

on peut exprimer aussi le résultat d'une décomposition en facteurs premiers de trois façons:

 

	exemple  avec 420:
A) Normalement  :	420 =  2 2 3 5 7 (1)
B   )    Sous forme indicielle :	420 =  21 223151 71 (1)
C  )en utilisant les plus hauts indices on peut mettre le résultat  sous forme d'un produit de puissances :	420 =  22  31  51 71

 

 

     que l’on écrira  après  simplification d ‘ écriture:      420  = 2²  3  5 7

 

Commentaire:

 

               La décomposition d’un nombre entier est unique. ( Cela signifie qu’il n’y a pas deux solutions ou deux façons de donner la décomposition d’un nombre en "produit" de facteurs premiers.)

 

  

 

II ) Exemple de résolution d’exercice 

 

 

sujet donné :   :  écrire 120 sous forme de produit de facteurs premiers.

Autre forme de question pour obtenir le même résultat :

                              « décomposer le nombre 120 sous forme de produit de facteurs premiers » 

 

       réponse:

 

a)calcul:

 

         120            2

          60            2

          30            2

          15            3

           5            5

           1            (1)   

   

 b) résultat:

                      120=  22235

                   ce qui donne sous forme indiciée    120=  2₁2₂2₃3₁5₁

 

 

ou     sous forme de « puissances »    120= 2 ³3    5

  Commentaire pour tout exercice procéder comme ci dessus:

    a)  calcul:

    b) résultat:

    c) encadrer ,ou souligner le résultat

.

 

INTERDISCIPLINARITE

 

Décomposer des produits de facteurs avec "x"…

 

TRAVAUX :  devoir à préparer.

 

	TRAVAUX AUTO FORMATIFS.
	CONTROLE :         1)  Un nombre  peut être décomposé   de plusieurs façons,(donnez un exemple).       2) Que signifie « indicer un nombre » ; quelle est la fonction de l’indice ?       3)  Donner la procédure permettant  de décomposer un nombre en produit de facteurs premiers.
	EVALUATION:

 

 

1°)        Calculer les  N   suivant :

 ( La calculatrice est autorisée)

23 =		2233    =
23   3   5 =		2 13 3  52  =
257 =		235272   =
2711 =		2271112   =
2  5   =		2 2 5 3    =
37=		3372       =
2313=		23213=
257=		22527=

 

 

2° ) Faire la  décomposition des nombres suivants ; sous forme d ‘un produit de facteurs premiers. (expliquer la méthode)

50	42	144	192	430	924

 

En plus :

 

B    )      ECRIRE les nombres suivants sous forme d’un  produit  de facteurs premiers.

28 =
135 =
2820 =
74528  =
128452  =

 

 

 

C  )     Décomposer les nombres suivant en produit de facteurs premiers.