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la multiplication de deux nombres relatifs

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Puissance niveau 1 ( écriture normalisée )

ENVIRONNEMENT du dossier

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Objectif précédent :

PUISSANCE   N ièmes              " GENERALITES"  ;(partie 2 / 4)

 écriture Normalisée et écriture indicée

Objectif suivant :

Puissances ( carrés) d’opérations simples

Tableau  

      67

Sciences : PUISSANCE de dix  (niveau II  (6)) APPLIQUEES AUX SCIENCES        

DOSSIER : PUISSANCES et RACINES  de   nombres relatifs .     (partie 3 /4 )

TEST

           

COURS

              

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                   

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

 

 

 

COURS :

Puissance  d ' un  "même" nombre:

 

Définition :

     on appelle "puissance d'un même nombre" , la multiplication d ' un nombre par lui même  deux à plusieurs fois .

                                            X  =   XXX  ; X 5 =   XXXXX  ; X 8 =   XXXXXXXX

 

Ecriture:

 

Par  convention  

        X0   = 1  

 

 

(+20 )  =  1 

 

(-3,2) 0   = 1  

 

a 0  = 1    

      X1  =  X

 

 (+ 21 ) = ( + 2 )

(-3,2) 1 =  (-3,2)

a 1 =   a

      X 2  =  X X

(+2 )   =  ( + 2 )  ( + 2 )

(-3,2) =  (-3,2)  (-3,2)

a=  a a

    X  =   XXX

 

(+2)= (+ 2)  (+ 2)(+ 2) 

(-3,2) = (-3,2)(-3,2)(-3,2)

a= a a a

Ainsi de suite …….

 

 

 

 

Calculs :

 

Dans D+ ou D-   "au carré"

 

(+4) (+4)  = (+4)2  = 

(+16)

(+5) ( +5 )  =   (+5)2   =

(+25)

(+3,2) =  (+3,2)  (+3,2) = 

(+10,24)

(-5) ( -5 )  =   (-5)2   =

(+25)

 

 

 

Dans D+ ou D-  "au cube"

 

(+4) (+4) (+4)    = (+4)3  = 

(+64)

(+5) ( +5 ) ( +5 )   =   (+5)3   =

(+125)

(+3,2)3 =  (+3,2) (+3,2) (+3,2)  = 

(+32,768)

(-5) ( -5 ) ( -5 )  =   (-5)3   =

(-125)

 

 

 

 

 

Les carrés   des nombres entiers  naturels s ' appellent :les carrés parfaits

Les cubes des nombres entiers naturels s'appellent  :     les cubes parfaits

 

 

Autres  exemples  :

4 4  = 16  ; "4" est une valeur absolue.

55  =  25 ; "5" est une valeur absolue

(+4) (+4)  = (+4)2  =  ( +16)

(-5) ( -5 )  =   (-5)2   = (+25)

"2" est une valeur absolue

"3,2" est une valeur absolue

(+20 )  =  1

(-3,2) 0   = 1

(+ 21 ) = ( + 2 )

(-3,2) 1 =  (-3,2)

(+2 )   =  ( + 2 )  ( + 2 )  =  (+4)

(-3,2) =  (-3,2)  (-3,2) =  (+10,24 )

(+2)= (+ 2)  (+ 2)(+ 2)  =  (+8 )

(-3,2)  = (-3,2) (-3,2) (-3,2)=(-32,768)

 

 

 

 

REMARQUES IMPORTANTES:

 

Remarque 1

ATTENTION  !  les nombres  relatifs  de même valeur absolue  mais de signe contraire  ne sont pas des nombres égaux ; donc le produit de l'un par l'autre ne forme un "carré"  .

 

(-5) et (+5) ne sont pas des nombres égaux :donc (-5) (+5)  n ' est pas la multiplication d ' un nombre par lui - même parce que (-5) n'est pas égal à (+5)                                                                                                                                                                                           .

 

Remarque 2

 

à savoir que  "par exemple":

;

42 = 16

(+4)2 = (+16)

- 4 2  = - 16

 

(-4)2 = (+16)

+ 42  = 16

16  Parce que 4 est un N

(+16)  Parce que (+4) est un nombre  relatif

- 16   Parce que 4 est un N précédé par le signe de la soustraction

(+16)  Parce que (-4) est un nombre relatif

16  Parce que 4 est un nombre  N précédé par le signe de l ' addition

 

 

 

CALCULS: Puissance trois

Exemples  :

4 4 4  = 64

55 5   =  125

(+4) (+4) (+4)  = (+4)3  =  ( +64)

(-5) ( -5 ) ( -5 )  =   (-5)3   = (-125)

(+2)= (+ 2)  (+ 2)(+ 2)  =  (+8 )

(-3,2)  = (-3,2) (-3,2) (-3,2)=(-32,768)

 

 

 

 

REMARQUES IMPORTANTES:

 

(-5) (+5) (+5) n ' est pas la multiplication d ' un nombre pas le cube parce que -5 n' est pas égal à +5

 

à savoir que  par exemples:

 

43 = 16

(+4)3 = (+16)

- 4 3  = - 16

 

(-4)3 = (+16)

+ 43  = 16

64  Parce que 4 est un N

(+64)  Parce que (+4) est un nombre  relatif

- 64   Parce que 4 est un N précédé par le signe de la soustraction

(-16)  Parce que (-4) est un nombre relatif

+ 64  Parce que 4 est un nombre  N précédé par le signe de l ' addition

 

 

 

 

 

GENERALITES: "PUISSANCES   des nombres  relatifs" :

Recherche du signe  du résultat :

a)       « x » est un nombre relatif    positif  :

calculs :

« x n»

« n »

Calcul :

Conclusion résultat

(+2)2

Pair 

(+4)

>0

(+2)3

Impair

(+8)

>0

(+2)4

Pair

(+16)

>0

(+2)5

Impair

(+32)

>0

 

En conclusion : Si « x » est un nombre relatif    positif  , alors  le résultat   de   xn  est positif

 

b)      « x » est un nombre relatif  "négatif "

           calculs  :

« x n»

« n »

Calcul :

Conclusion résultat

(-2)2

pair

(+4)

>0

(-2)3

impair

(-8)

<0

(-2)4

pair

(+16)

>0

(-2)5

impair

(-32)

<0

(-2)6

pair

 

 

(-2)7

impair

(-128)

<0

Constat  :  si la puissance du nombre négatif est un nombre "paire" (2 ;4 ; 6; 8; …10;…. ) le signe du résultat est "+"  et si la puissance du nombre négatif est un nombre "impaire" (1 ; 3 ; 5;  7; ….) le signe du résultat est "-" 

 

 

En conclusion : Le signe du résultat   de « xn » du signe du nombre relatif mais aussi  il dépend de la  puissance « n »

                           a)   si « n » est impair dans xn ; le résultat donné par le calcul de xn est négatif.

                            b) si « n » est pair dans xn ; le résultat donné par le calcul de xn est positif.

 

 

Cas courants (se souvenir)  :

Le carré d'un nombre relatif ( positif ou négatif ) est toujours positif.

Le cube  d'un nombre relatif  positif est positif;

 Le cube  d'un nombre relatif  négatif  est négatif .

 Calculs PARTICULIERS :

Attention :    La puissance peut agir sur un nombre relatif ou un nombre non relatif :

sur un nombre relatif   (-2)

ou un nombre non relatif   « 2 »

       (-2)4   est égal à   +16 

- 24 est égal à   -16 

Explication :

                     (-2)4 = +16     ;             la puissance agit sur (-2)

 

           Calcul  de  (-2)4  = (-2) (-2) (-2)(-2)    est bien égal à  (+16)

Explication

                  - 24  =    -16    ;    la puissance agit sur le nombre non relatif :  2

           calcul     :    -  - 24  =    -16   ;la puissance agit sur le nombre non relatif

           calcul     :    - 24  = - (2222)   ce qui donne   -1624  = - (2222)   ce qui donne   -16

 

 

Interdisciplinarité

-ALGEBRE   

         SIMPLIFICATION D'ECRITURE

 

Ou   "Regroupement" de produit de facteurs :

 

aa      =   a2

aaaaa =  a4

abb    = ab2

bbb         = b3

xxx    =  x3

yyyy   = y4

xxyyy  =   x2y3

axxyy =  ax2y2

 

APPLICATIONS des Puissances :

En géométrie: 

Dans la relation établie à partir de "Pythagore" et du triangle rectangle donné :on remplace   AB fois AB  par AB 2  ; (les lettres  A et  B désignant des points , nous ne sommes pas obligés de mettre le groupe de deux lettres entre parenthèses  ; mais on peut remplacer l ' écriture AB2 par ( AB )2.

Ainsi AC  fois AC s ' écrira AC2 ; CB fois CB par CB2 .

 

En sciences :

Dans le calcul des aires

 

 A ) si l' unité de mesure est le mètre :

 

On multipliera  des mètres par mètres s ' écrira : mm;

                              ce qui donnera en écriture simplifiée :  m 2  

 

B ) si l' unité de mesure est le décimètre :

 

On multipliera  des décimètres mètres  par des décimètres

On  écrira : dmdm  ; ce qui donnera en écriture simplifiée :  dm 2   

 

 

C ) si l' unité de mesure est le centimètre :

 

On multipliera  des centimètres  par des centimètres On  écrira : cmcm; ce qui donnera en écriture simplifiée :  cm 2 

 

 

 

D ) si l' unité de mesure est le millimètre :

 

On multipliera  des millimètres  par des millimètres

On  écrira : mmmm; ce qui donnera en écriture simplifiée :  mm 2

 

Dans le calcul des volumes :

 

 si l' unité de mesure est le mètre :

 

On multiplie  des mètres par mètres par mètres  , on  écrira :" mm m " ; ce qui donne en écriture simplifiée :  m 3   

 

si l' unité de mesure est le décimètre :

 

On multipliera  des décimètres mètres  par des décimètres par des décimètres

On  écrira : dmdm dm  ; ce qui donnera en écriture simplifiée :  dm 3   

 

 

si l' unité de mesure est le centimètre :

 

On multipliera  des centimètres  par des centimètres par des centimètres

On  écrira : cmcm cm  ; ce qui donnera en écriture simplifiée :  cm 3   

 

 

 

si l' unité de mesure est le millimètre :

 

On multipliera  des millimètres  par des millimètres par des millimètres

On  écrira : mmmm mm  ; ce qui donnera en écriture simplifiée :  mm 3

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE:

En rappel :

1°)  Que veut dire "puissance d ' un nombre "?…

 

2° ) Qu'est ce qu' un nombre "pair"?

 

3°) Qu'est ce qu' un nombre "impair"?

Fin du rappel :

4°)« x » est un nombre relatif    positif  , quel est le signe de xn:

 

5°)  « x » est un nombre relatif  "négatif "

           - Quel sera le signe du résultat   de « xn » du signe ?

 

 6 ° ) Le carré d'un nombre relatif ( positif ou négatif ) est toujours ……..

 7°) Le cube  d'un nombre relatif  positif est …………

 8°) Le cube  d'un nombre relatif  négatif  est ……….

 9°)Traduire en langage littéral de trois façon :  (-3)2

 

10°)  Pourquoi (-5)(+5) n 'est pas égal à (+5)2 ou (-5)2  ?

 

 11°)  Traduire en langage littéral de trois façon :  (-3)3

 

12°)   Pourquoi (-5)(+5)(-5) n 'est pas égal à (-5)3  ?

 

 

 

 

 

 

EVALUATION

1°) Faire le calcul :

42 =

(+4)2 =

     - 4 2  =

 

    (-4)2 =

       + 42  =

 

 

 

 

 

2°) Faire le calcul :

43 =

(+4)3 =

     - 4 3  =

 

    (-4)3 =

       + 43  =

 

 

 

 

 

 

3°)  Faire le calcul :

 

 

Réponses

 

Réponses

(-2)(+ 3) =

 

 

(-2)2(-3)3 =

 

 

 

2(-3)(- 3) 5  =

 

 

 

2 13 3  (-5)2 =

 

 

 

 

4°) Faire  tous les calculs possibles  :

 

 

 (+4)2  = 

 (-5)2   =

(+2 ) 0  =  

(-3,2) 0   =

 (+ 2 ) 1 = 

(-3,2) 1 = 

(+2 )   = 

(-3,2) = 

(+2)=  

(-3,2)  =

(-4)3  = 

(-5)3   =

 

 Soit x = (+3,75)

 Donner le signe du résultat de

 

x2

x3

x8

x11

Signe :

 

 

 

 

 

 

 Soit x = (-3,734)

Donner le signe du résultat de

 

x2

x3

x8

x11

Signe :

 

 

 

 

 

Dire si "n" est pair ou impair ;   que est le signe du résultat ?

« x n»

« n »

Faire le calcul :

éventuellement

Analyse du résultat signe du nombre ?

(+2)2

 

 

 

(+2)3

 

 

 

(+2)4

 

 

 

(+2)5

 

 

 

 

Dire si "n" est pair ou impair ;   que est le signe du résultat ?

« x n»

« n »

Calcul :

Conclusion résultat

(-2)2

 

 

 

(-2)3

 

 

 

(-2)4

 

 

 

(-2)5

 

 

 

(-2)6

 

 

 

(-2)7

 

 

 

 

Algèbre : Ecrire plus simplementLsous forme de puissances .

bb  par  ………..

 

 

xx = ……………

aa…=

aaaaa……=..

abb:……=

bbb:…=

xxx:…=

yyyy:…=… …….

xxyyy:……= ………

axxyy :…=

 

 

 

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