DOSSIER :

Calcul du P.G.C.D. de 1 ou plusieurs nombres 

( dire :  Plus Grand Commun Diviseur)

Et  voir des exemples d’application .

Définition :  Savoir calculer le Plus  Grand  Commun  Diviseur: de deux nombres.

Avant d’aborder cet objectif il faut impérativement revoir les objectifs suivants:

Rappel: voir  le tableau synoptique :

                            N°  O b j : DIVEUCLI

                            N°   bis    :Les multiples et diviseurs d’un entier naturel; la division euclidienne

                            N°   ...Obj : NII2 : les caractères de divisibilité

                            N°  ....Obj : NP3 :Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

Intérêt de ce savoir calculer le p .g. c. d.:

         Savoir calculer le « p g c d » du numérateur  et du dénominateur d’une fraction permet de rendre irréductible une fraction, sans passer par les simplifications successives .

Pré requis : Répondre aux questions  suivantes :

Pour les trois premières questions  vous pouvez vous aider de l’exemple numérique suivant :                     33 =  3 x  11

1°) Qu'est ce qu’un  « multiple »?

2°) Qu‘est ce qu’un  « diviseur » ?

3°) Que veut dire "divisible" ?

4° ) Citez les 10 premiers nombres premiers

5°) Rappeler les règles concernant les 4 caractères de  « divisibilité »

6°)Rappeler la procédure permettant de décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

7°)  Exercices :

  Décomposer  24 et 36 sous forme de produit de facteurs premiers

COURS

Exemple d’application :

Le calcul du PGCD peut servir pour résoudre certains problèmes. Par exemple si un commerçant reçoit  90 lampes de poches avec 135 ampoules et qu'il veut vendre des lots identiques sans qu'il ne lui reste d'ampoule ni de lampe, on peut se demander combien il y aura d'ampoules et combien il y aura de lampes dans chaque lot. Le nombre de lampes doit être un diviseur de 90 pour ne pas qu'il lui en reste et ça doit être également un diviseur de 135 car sinon il lui restera des ampoules. Afin qu'il y ait peu de lampes et d'ampoules dans chaque lot, il doit diviser 90 et 135 par le plus grand nombre possible. Il doit donc chercher le PGCD de 90 et de 135 : avec l'algorithme d'Euclide on trouve 45. Il doit donc élaborer 45 lots et on trouve ensuite facilement qu'il doit donc mettre 2 lampes et 3 ampoules par lot (il y aura une ampoule de rechange).

I)  Ecriture mathématique :PGCD ( a , b)  veut dire « Plus  Grand  Commun  Diviseur: de deux* nombres  entiers  a   et  b ». 

   ( *on peut faire le PGCD de plusieurs nombres)

Le PGCD est utiliser pour rendre irréductible une fraction ; ou pour vérifier si deux nombres entiers sont premiers entres eux .

  II) Procédure permettant de calculer le PGCD de   a  et b :

  avec en exemple le calcul du PGCD  de 24  et 36

  1°)On décompose les deux nombres sous forme de produits de facteurs premiers.

Voir obj: N°12

24 = 2 x 2 x 2 x 3 ; qui peut s’écrire sous forme indicielle (24   =   2 ₁ x 2 ₂ x 2 ₃ x 3 ₁) ;ou qui  peut s’écrire sous forme d’exposants   (24 = 2  ³  x  3  ¹)

36 = 2 x 2 x 3 x 3   qui peut s’écrire  sous forme indicielle (36     =  2 ₁  x 2 ₂ x 3 ₁ x 3 ₂)  ou qui peut  s’écrire (36 = 2 ²  x 3 ²)

Rappel: Voir écriture des indices  « d’ordre »  ou dit « de classement »:

       :  2 ₁   lire  «  2 indice un »  ; 2₂ lire « 2 indice 2 » ; 2₃ lire « 2 indice 3 »; 3₁ lire « 3 indice 1 », et ainsi de suite ...

          Pour continuer le calcul du PGCD ,  on choisi le type d’écriture (indicielle  ou sous forme d’exposants) qui nous parait le plus facile .Nous traitons les deux façons à la suite ,nous parvenons au même résultat .

Première façon:    on choisit  de travailler avec une écriture normale ou indicielle

1°) on a décomposé les nombres en produit de facteurs premiers:

                       24   =   2 ₁ x 2 ₂ x 2 ₃ x 3 ₁   et   36     =  2 ₁  x 2 ₂ x 3 ₁ x 3 ₂

2°) On cherche quels sont les facteurs communs de même indice  de classement et on les extrait:

   ici  : 2₁  ;  2₂   ;   3₁

3°) On met ,ensuite , ces facteurs communs sous forme d ’ un produit

  ici    2₁  x  2₂   x   3₁

4° ) On effectue le calcul :  2 x 2 x 3 =    on trouve « 12 »

5°) On conclut:   le PGCD de 24 et 36  est  égal  12

Deuxième procédure : on choisit de travailler avec une écriture sous forme de puissances

1°) on a décomposé les nombres en produits de facteurs premiers:     

                           24 = 2  ³  x  3  ¹      et     36 = 2 ²  x 3 ²

2°) On identifie les facteurs communs : ici 2 et 3

3°) On affecte a chaque facteur commun le plus petit exposant se trouvant dans l’une ou l’autre des décompositions ici  à 2 on affecte l’exposant 2 ,à trois on affecte l’exposant 1.

4° ) On fait le produit des facteurs communs affecté de leur plus petit exposant : 2 ² x 3 ¹ =12

5° ) On rend compte:   le PGCD de 24 et 36 est égal à 12

Commentaire: dans tous les cas, il y a cinq étapes à exécuter

REMARQUES: 

                      pour :    24 divisé par 12  on obtient  2

                 et pour     36  divisé par  12  on obtient  3 ; 

a)  on remarque que 2 et 3 n’ont pas de diviseur commun  ( on dit que ces nombres sont premiers entre eux ) ; on peut donc affirmer que 12 est  le plus grand diviseur commun de 24 et 36.

         b)  On dira que deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à UN.

       c)       Deux nombres ont toujours un facteur commun  qui est 1,aussi le  PGCD peut - être égal à 1

Exemple :  si l’on décompose 10 à pour décomposition : 2 x 5 x 1   et  21 pour décomposition :3 x 7 x 1  ;on remarque que 10 et 21 n’ont pas d’autre facteur commun que 1, on dira que leur  PGCD est égal à 1  et l’on conclura que  10 et 21 sont « premiers entre eux » .

Exercice résolu:       Calculer le PGCD de 120 et 252

(il y a ,au moins , 2 façons de procéder)

Première façon:

Deuxième façon:

Calcul du PGCD de 120 et 252

Calcul du PGCD  de 120 et 252

1°) Décomposition des nombres.

               120 = 2₁ x 2₂ x 2₃  x 3₁ x 5₁

               252  =  2₁ x 2₂ x  3₁ x 3₂ x 7₁

2°) Facteurs communs:

indicés  2₁ ; 2₂ ;3 ₁

3°) Produits de facteurs indicés:

        2 x 2 x 3

4°) Calcul:

      2 x 2x  3  =  12

5°)Conclusion

  Le PGCD de 120 et 252 est  12

1°)Décomposition des nombres

  120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5   =  2 ³ x 3 ¹ x 5 ¹

   252  = 2 x 2 x 3 x 3 x 7 =   2 ² x 3 ² x 7 ¹

  2°)Facteurs communs:

                 2 et 3

 3°)Facteurs communs affectés du + petit exposant:    2  ²   et  3 ¹

  4°) Calcul:

                2 ² x 3 ¹ =  12     (2 x 2 x 3 )

5°)Conclusion:

    Le PGCD de 120et 252 est  12 

                               Deuxième façon:                          

ALGEBRE :

Calculer le PGCD de :

Procédure: Il faut décomposer en produit et identifier les facteurs communs

a  )   Calculer le PGCD de  deux monômes :

    soit les deux monômes :   3x  et  x y

le PGCD de deux monômes est  égal au produit de facteurs communs entrant dans les deux décompositions . :    « x » est facteur commun aux deux monômes ;  « x » il est donc le pgcd de 3x et xy.

Autre exemple : (x-3) (x+1)  et  3(x -2) (x+1)     ; « (x+1) » est le facteur commun ,donc pgcd des deux monômes.

C  )   Calculer le PGCD de  deux polynômes : (à voir en +++)

Situation problème :

Trois cyclistes tournent sur la piste d’un autodrome ;

-          Trois motocyclistes tournent sur la piste d'un autodrome; l'un effectue un tour de piste en 55s,le second l'effectue en 1mn ,et le troisième en 75s .

-          Les trois motocyclistes partent au même instant d'un même point.

-           a)  Au bout de combien de temps repassent-ils ensemble sur la ligne de départ ?

-          b) Quels sont , à cet instant les nombres de tour de piste effectués par chacun d'eux ?

PREPARATION

Solution :

On décompose les trois temps ( en secondes) en produit de facteurs premiers.

55 =  5 x 11   ;   1 mn = 60s  = 2 x 2 x 3 x5  ;  75 =  3 x 5 x5 

On calcule le PGCD de ces trois nombres

PGCD =   5 x 11  x 2 x 2 x 3 x 5   

Soit  = 3 300  ; Réponse « a » :  les 3  motocyclistes se retrouveront au bout de  3 300 s ou 55 mn.

 Réponse « b »   :

Il suffit de diviser le pgcd par la durée de chaque tour ….

Le premier ( 55s) aura parcouru   3300/ 55 =, 60 tours ;             soit aussi : ;( 5 x 11  x 2 x 2 x 3 x 5 )   / (  5 x 1 1)  = après simplification :  =   2 x 2 x 3 x 5

Le second ( 1 mn=  3300/ 60  =   55 tours ;              soit aussi : ; 5 x 11  x 2 x 2 x 3 x 5  /  2 x 2 x 3 x5

Le troisième ( 75 s) =    3300 / 75  = 44 tours. :       soit aussi : ; 5 x 11  x 2 x 2 x 3 x 5  /  3 x 5 x5 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE

1.  Que veut dire  PGCD (a, b) ?

2.  Traduire en langage mathématique «  plus grand commun diviseur »

3.  Donner une des deux procédures permettant de calculer le PGCD de deux nombres

4.  A partir de la décomposition ,à quel calcul  est égal le PGCD ?

5.  Dans quel domaine et pour quoi est utilisé le PGCD?

6.  Quand dit-on que deux nombres sont premiers entre eux ?

EVALUATION:

Calcul du PGCD des deux nombres suivants :

1°) Donner la procédure permettant  de calculer le PGCD de deux nombres .

Ensuite ;

2°)  Calculer le Plus Grand  Commun  Diviseur  des couples de nombres suivants(indiquer toutes les étapes)

3°) Calculer le Plus Grand  Commun  Diviseur  du triplets  de nombres suivants :

(indiquer toutes les étapes)

EN PLUS

I)Calculer le Plus Grand Commun Diviseur de:

a)  32 et 62

b) 16 et 84

c)128 et 344

d) 40 et 60

II) Dire si les nombres ,formant des couples sont premiers entre eux (justifier votre réponse)

a) 3 et 12

b)5 et 19

c)60 et  49

d)105  et  154

III)  Calculer le PGCD des triplets suivants:

a) 7200 ; 4800 ;  5400                                           b)  9100 ; 4212 ; 5408

INTERDISCIPLINARITE:

Partie algèbre : IV) Calculer le PGCD de :

 a)   3x  et  x y

 b)  a² b ; c b

c)  a² b d ; a c² f d

d)  2x²y et 4xy²

e) (x-3) (x+1)  et  3(x -2) (x+1)  

exercices:  voir livre

                 Mathématique - tome  1 -  algèbre ;préparation BEP .

                         page 23  ; n°9;10;11;12;13;14;15.

                                                                                   éditeur : Fernand Nathan ;1970.

Situation problème :

Trois cyclistes tournent sur la piste d’un autodrome ;

-          Trois motocyclistes tournent sur la piste d'un autodrome; l'un effectue un tour de piste en 55s,le second l'effectue en 1mn ,et le troisième en 75s .

-          Les trois motocyclistes partent au même instant d'un même point.

-           a)  Au bout de combien de temps repassent-ils ensemble sur la ligne de départ ?

-          b) Quels sont , à cet instant les nombres de tour de piste effectués par chacun d'eux ?

CORRECTION   CONTROLE TEST:

    1°)                  si  a = b c

On appelle   « a »   multiple  « d’un entier naturel »  b  ; tout nombre  obtenu en multipliant  b par un autre entier naturel  « c ».

  On peut dire que le résultat de la multiplication de deux nombres  entiers naturels  porte aussi le nom de « produit »

     2°) un nombre entier naturel  non nul  est  appelé « diviseur d ’ un autre entier naturel »  si cet entier naturel est un multiple  du premier nombre.

3°)Un nombre est divisible par un autre nombre si dans la division euclidienne le reste est égal à zéro.

* phrases équivalentes:

          66  est multiple de 6

             6  est diviseur de  66

           66 est divisible par 6

4°) Les dix premiers nombres premiers sont : 2 ; 3; 5; 7; 11; 13 ;17; 19 ;23 ;29

5°) Caractères de divisibilité par 2; 3; 5; 9 ....

6°) Procédure pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers:

                    - On divise le nombre par  son plus petit diviseur premier

                     - le quotient obtenu précédemment on le divise par son plus petit diviseur premier

                      et ainsi de suite jusqu’à l’on obtienne un quotient égale à  1

   Exemples: 24 =2 223    on peut aussi écrire   24 = 2₁ 2₂2₃3₁

                     36=2233  on peut aussi écrire    36  =  2₁2₂3₁3₂