CORRIGE : Calcul du Plus Grand Commun Multiple de 1 ou plusieurs nombres L appelé dans les fractions le P.G.C.Diviseur

Prérequis:

décomposer un nombre en produit de facteurs premier

OBJECTIF :N° .......Le P. G. C. D.

UTILISATION DES NOMBRES PREMIERS : calcul du P.G.C.D. et ensuite du PPCM

CORRECTION

CONTROLE

1. Que veut dire PGCD (a, b) ?

2.

PGCD ( a,b) veut dire « Plus Grand Commun Diviseur: de deux* nombres a et b ».

3. Traduire en langage mathématique «  plus grand commun diviseur »de deux nombres

PGCD ( a,b)

4. Donner une des deux procédures permettant de calculer le PGCD de deux nombres

Première façon: on choisit de travailler avec une écriture normale ou indicielle

1°) on a décomposé les nombres en produit de facteurs premiers:

24 = 2 ₁ x 2 ₂ x 2 ₃ x 3 ₁ et 36 = 2 ₁ x 2 ₂ x 3 ₁ x 3 ₂

2°) On cherche quels sont les facteurs communs de même indice de classement et on les extrait:

ici : 2₁ ; 2₂ ; 3₁

3°) On met ,ensuite , ces facteurs communs sous forme d ’ un produit

ici 2₁ x 2₂ x 3₁

4° ) On effectue le calcul : 2 x 2 x 3 = on trouve « 12 »

5°) On conclut: le PGCD de 24 et 36 est égal 12

OU

Deuxième procédure : on choisit de travailler avec une écriture sous forme de puissances

1°) on a décomposé les nombres en produits de facteurs premiers:

24 = 2 ³ x 3 ¹ et 36 = 2 ² x 3 ²

2°) On identifie les facteurs communs : ici 2 et 3

3°) On affecte a chaque facteur commun le plus petit exposant se trouvant dans l’une ou l’autre des décompositions ici à 2 on affecte l’exposant 2 ,à trois on affecte l’exposant 1.

4° ) On fait le produit des facteurs communs affecté de leur plus petit exposant : 2 ² x 3 ¹ =12

5° ) On rend compte: le PGCD de 24 et 36 est égal à 12

5. A partir de la décomposition ,à quel calcul est égal le PGCD ?

le PGCD de deux monômes est égal au produit de facteurs communs entrant dans les deux décompositions .

6. Dans quel domaine et pour quoi est utilisé le PGCD?

Le PGCD est utilisé dans le domaine des fractions ; pour rendre irréductible une fraction ou pour vérifier si deux nombres sont premiers entre eux .

7. Quand dit-on que deux nombres sont premiers entre eux ?

deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à UN.

CORRECTION

EVALUATION:

Calcul du PGCD des deux nombres suivants :

Donner la procédure permettant de calculer le PGCD de deux nombres .

Ensuite ;

Calculer le Plus Grand Commun Diviseur des couples de nombres suivants(indiquer toutes les étapes)

42 ; 105

144 ;192

430 ;924

144 ;924

9009 ;8613

2385 ;1815

Réponses :

42 ; 105	144 ;192	430 ;924	144 ;924	9009 ;8613	2385 ;1815
237= 357= PGCD = 3	144=2711 192 =2222223 PGCD=2	430=2523 924=223711 PGCD= 2	144=222233 924=223711 PGCD=223 PGCD=12

Méthode : on décompose les deux nombres sous forme de produit de facteurs premiers ;les indicier.

Pour calculer le PGCD on recherche les facteurs communs de même indice entrant dans les décompositions , on en prends un représentant de chaque , on fait le produit de ces représentant .

Calculer le Plus Grand Commun Diviseur du triplets de nombres suivants :

(indiquer toutes les étapes)

24 ;36 ;42

120 ;180 ;300

Réponses : Méthode : faire comme ci dessus ,mais appliqué aux trois nombres.

24 ;36 ;42	120 ;180 ;300
24 = 2223 36=2233 42=237 PGCD = 2 3 PGCD= 6	120=22235 180=22335 300=22355 PGCD=2235 PGCD = 60

INTERDISCIPLINARITE

Partie algèbre : IV) Calculer le PGCD de :

a) 3x et x y

X

b) a² b ; c b

b

c)a²bd ; ac²fd

ad

d)2x²y et 4xy²

2xy

e) (x-3) (x+1) et 3(x -2) (x+1)

(x+1)

exercices: voir livre

Mathématique - tome 1 - algèbre ;préparation BEP .

page 23 ; n°9;10;11;12;13;14;15.

éditeur : Fernand Nathan ;1970.