Auteur : WARME R.

 

MATHEMATIQUES :Niveau V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSSIER  n° 22 / 25

 

Documents  INTERACTIFS.

 

 

 

LES RELATIONS

 

 

TRIGONOMETRIQUES

dans le triangle rectangle.

 

 

 

 

 

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

 

Classe :…………………..

 

Année    scolaire : ………………………                                        

 

Dossier pris le : ……/………/………

 

Validation de la  formation :    O -  N

           

 Le : ……………………………………..

Nom du  formateur  : ……………………

 

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

 

DOC. INFO: Professeur ; Formateur

22 / 26

Info élève : livre + …….

Titre:LES  RELATIONS  TRIGONOMETRIQUES  dans le triangle rectangle.

 

DOSSIER  N°22

COURS INTERACTIF :  LES  RELATIONS  TRIGONOMETRIQUES  dans le triangle rectangle .

Information « TRAVAUX d ’ auto - formation »

Cliquer sur  le mot !.

INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

 

NIVEAU :

Formation  Niveau V  (inclus le CAP et CFA)

OBJECTIFS :

Savoir connaître et savoir utiliser les 3 relations de trigonométrie : sin ; cos ; tan  .

 

I ) Pré requis:

 

 

Lectures importantes :

¥

 

Angles : ( désignation)

¥

 

Construction.

¥

 

liste des connaissances pré  requises :

¥

 

Direction

¥

 

Le triangle rectangle

¥

 

Les  triangles rectangles semblables et homothétiques .

¥

 

THALES 

¥

 

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

 

Index  

Objectif précédent :

1°) Notion :

2°) le triangle rectangle.

3°) Activités conseillées.

4°) Vocabulaire. (important)

Objectif suivant :

Exercices  et problèmes   

2°) résumé  

3°) les relations métriques dans le T.R.

1°) Tableau :

2°) Liste des cours CAP CFA

 3°) Liste des objectifs en trigonométrie

III )  LECON  n° 22 : LES  RELATIONS  TRIGONOMETRIQUES  dans le triangle rectangle.

 

CHAPITRES :

 

I ) nomenclature .terminologie  ( côté opposé , côté adjacent ,hypoténuse, sinus, cosinus, tangente) .

Cd :Info plus .

 

II ) DEFINITIONS des  3 principales relations trigonométriques .

Cd :Info plus .

 

- 1 ) Activités découvertes

 

 

-  2 ) Synthèse

 

 

-  3 ) Résumé : définition du sinus ; cosinus et tangente d’un angle.

Cd info +

 

III ) CONVERSION d’une valeur  décimale  en valeur angulaire Passage d’une valeur à l’autre .(valeur décimale d’un sin a; cos a, tan a,  en  valeur en degré de l’angle a)

Usage des tables

 

a) avec la calculatrice

Cd :Info plus .

 

b)avec la table de trigonométrie.

Cd :Info plus .  et CD

 

IV )Calculs d’éléments d’un triangle rectangle.

Cd :Info plus « sinus ».

 

1° ) Recherche d’un angle connaissant les longueurs de deux côtés.

Cd :Info plus   « cosinus » .

 

)Recherche de la longueur d’un côté  connaissant un angle et la longueur d’un autre côté .

Cd :Info plus « tangente ».

 

IV)   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

 

Test

 

COURS  

Travaux  auto - formation.

INTERDISCIPLINARITE  : voir cas par cas ! !

Cliquer ici  : Exercices  et problèmes

Corrigé des travaux  auto - formation.

Contrôle

évaluation

CORRIGE contrôle  :

CORRIGE évaluation :

V )   DEVOIRS  ( écrits):

 

 Devoir diagnostique L tests.

Ÿ

 Devoir  Auto  - formatif  ( intégré au cours)

Ÿ

  Devoir Formatif  « Contrôle : savoir » ;   ( remédiation)

Ÿ

 Devoir  Formatif  «  Evaluatio  savoir faire »  ( remédiation)

Ÿ

Devoir sommatif .

Ÿ

Devoir certificatif : ( remédiation )

Ÿ

* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une formation .

 

Leçon

Titre

N°22

LES  RELATIONS  TRIGONOMETRIQUES  dans le triangle rectangle.

 

CHAPITRES

 

 

I ) nomenclature .terminologie  ( côté opposé , côté adjacent ,hypoténuse, sinus, cosinus, tangente) .

Cd :Info plus .

 

II ) DEFINITIONS des  3 principales relations trigonométriques .

Cd :Info plus .

 

- 1 ) Activités découvertes

 

 

-  2 ) Synthèse

 

 

-  3 ) Résumé : définition du sinus ; cosinus et tangente d’un angle.

 

 

III ) CONVERSION d’une valeur  décimale  en valeur angulaire Passage d’une valeur à l’autre .(valeur décimale d’un sin a; cos a, tan a,  en  valeur en degré de l’angle a)

Usage des tables

 

a) avec la calculatrice

Cd :Info plus .

 

b)avec la table de trigonométrie.

Cd :Info plus .

 

IV )Calculs d’éléments d’un triangle rectangle.

Cd :Info plus « sinus ».

 

1°) Recherche  d’un angle connaissant les longueurs de deux côtés.

Cd :Info plus   « cosinus » .

 

2°) Recherche de la longueur d’un côté  connaissant un angle et la longueur d’un autre côté .

Cd :Info plus « tangente ».

 

 

COURS

 

 

i9  et i29

I ) NOMENCLATURE et TERMINOLOGIE .

Cd :Info plus .

 

I - 1 )  Noms des angles dans un triangle rectangle :  ( info Cd ++)

 

Noms donnés  aux angles : 

 Info + Cd : le triangle rectangle et les relations trigonométriques .

Pour le symbole « b » lire « bêta » ;

 ( =  )

Pour le symbole « a »  lire « alpha » ;

 ( = )

 

En « A » : un carré (ou rectangle) symbolise l’angle droit.

 

L’angle  « b » se trouve   à l’opposé  du côté AC.  ( ou CA )

L’angle  « a »  se trouve  à l’opposé du  côté AB  ( ou BA )

Les côté AB et BC sont consécutifs . ( AB est appelé le « côté adjacent » à l’angle « b »)

Les côtés AC et CB sont consécutifs. ( AC est appelé le « côté adjacent » à l’angle « a »)

I - 2 )  Identification du « Côté opposé » , « côté adjacent » , « hypoténuse » d’un angle

Angles :

   Le triangle rectangle possède deux angles aigus  ( en A et C )  et un angle droit  ( en B) .

Côtés : 

- le plus long côté s’appellera toujours « hypoténuse ».( exemple AC ) ;

- Le côté CB est appelé « côté opposé » à l’angle   ( qu’il ne forme pas) , il est aussi appelé  « côté adjacent » à l’angle   .

- Le côté AB est appelé « côté opposé » à l’angle   (qu’il ne forme pas) , il est aussi appelé  « côté adjacent » à l’angle    .

 

 

 

        Activité 1 :

   On choisit  de se positionner à  l’angle droit :  ( on se place sur la pointe de l’angle droit )

Le côté opposé à l’angle droit s’appelle : hypoténuse . (C’est toujours le côté qui mesure la plus grande longueur. )

 

 

Ici l’hypoténuse  est  bornée par les points A et C noté [AC]  .

 

 

b)  Les  2 autres côtés  forment l’angle droit , ils ont un point commun ( B ) , ils  n’ont pas de nom particulier , tant qu ‘ il  ne  sera  pas  positionné par rapport à un sommet du triangle .

Activité 2 :   On considère l’angle  A  ( noté :   )  ( on se place en A ! ! !)

A

 

A

 

AC :     AC est l’hypoténuse ( le +  long ) ;

CB :  on nommera  « CB »   le  côté opposé à l’ouverture  ou la fermeture de l’angle A  . ( On peut se souvenir  que si AC et AB sont les branches d’un compas articulé en A  , CB est un tige rigide qui empêche le compas de s’ouvrir ou de se fermer )

AB :      AB s’appellera «  côté adjacent » à l’angle A . 

 

Activité 3 :  On considère l’angle   « C » : ( on se place sur  « C » )

 

AC : reste  l’hypoténuse ( c’est le plus long côté)

AB :   AB s’oppose à l’ouverture ou à la fermeture de l’angle   , il s’appellera « côté opposé » .

 

CB : reste donc à nommer CB ; CB s’appellera « côté  adjacent » à l’angle « C ».

 

 

I - 3 )  En résumé : pour un triangle rectangle CBA ; rectangle en B :on nommera les côtés ainsi ( les 3 segments de droite formants  le triangle  , 3 côtés  pour 5 noms ):

 

 

Si l’on se fixe sur un angle ; on nommera les côtés  de la façon suivante :

 

Pour l’angle droit

On se place au point « B »

Pour l’angle    

On se place au point « A »

Pour l’angle    

On se place au point   « C »

AC

est appelé :

Côté opposé à 90° :   Hypoténuse

Hypoténuse

Hypoténuse

AB

est appelé

côté adjacent  à 90°

Côté adjacent (à )

Côté  opposé   ( à )

BC

est appelé

côté adjacent  à 90°

Côté opposé  ( à )

Côté adjacent   ( à )

 

i9

II - 1  ) Activités  « découverte »

i  La relation trigonométrique  de chaque relation dépend du calcul effectué.

Pour chaque angle aigu   et    on peut déterminer  par calculs * 3 nombres décimaux différents appelés :  l’un « sinus »  l’autre « cosinus »            et un suivant  « tangente ».

 

*(Ces calculs sont des divisions de deux  longueurs de deux côtés  judicieusement choisis dans le triangle rectangle .)

 

Pour connaître ces calculs  faites  l’activité suivante ! ! !:

  ACTIVITE 4 :

On vous donne  ( les données sont … ;) :

Sur la figure suivante sont dessinées deux demi-droites ( A x et Ay )sécantes en A formant un angle de 30°. et une troisième  droite de direction  orthogonale à la demi-droite Ax .

On vous demande de faire ( effectuer les tracés …) :

a)  On demande  de  placer sur la demi-droite  Ay   le point  « B » à 100 mm , « C » à  60 mm et  un point  « M »  éloigné  entre « A » et « B » à plus de 20 mm de « C »  . 

b) Tracer  les points ( appelés : projetés orthogonaux)   « B’ »   « M’ »  et « C’ »  sur la demi-droite  Ax .

 

c)  Observations : 

iOn doit obtenir  trois triangles rectangles : AB B’ , AC C’ , et AM M’

=Vérifier que ces triangles sont rectangles : pour cela tracer des cercles dont les centre se trouvent sur Ay et dont le centre de chaque cercle est le milieu des segments  AB , AC et AM.

Ces triangles ont  en commun l’angle  ……..qui mesure …………

 

Activité 5 :

a) Mesurer les longueurs ( en mm ) sur la figure :

 

AB

AB

BB

AC

AC’

CC’

AM

AM

MM’

100 mm

………..

………

60 mm

………..

………..

………..

………

………..

b) Compléter le tableau ( arrondir les résultats à  deux décimales ; ou à 0,01 près)

 

1

Le nombre obtenu est appelé le sinus de l’angle  de 30°

2

Le nombre obtenu est  appelé le cosinus de l’angle  de 30°

3

Le nombre obtenu est appelé  le tangente de l’angle  de 30°

c ) Comparaison des résultats par ligne  :

  Les trois résultats « par ligne » doivent être égaux . Interpréter une éventuelle  différence : …………………………………………………………………………

 

i9

II - 2 )   Synthèse  des activités « découvertes »

:i

Généralisons au triangle rectangle  ACB   rectangle en   B :

 

-          les rapports   ne dépendent pas des dimensions des triangles mais seulement de leurs angles .

=par exemple :

 Le quotient du rapport  est pour l’angle   son  « sinus »  et ce même quotient  est pour l’angle    son   « cosinus ».

 C’est ainsi que l’on peut dire que le sinus de     est égal au cosinus de   ( à vérifier).  Que l’on écrit :     

 

Dans le triangle rectangle  CBA , rectangle en B , on aura les égalités suivantes :

-           ;  ;   

-           

-           ;  ;


 

 

i9

II - 3  )   Résumé :

:i

On retiendra  les  3  relations suivantes :

 

1)  Sinus d’un angle aigu               :Cd info plus

Le sinus d’un angle ( noté : sin. ) est un nombre égal au quotient du rapport de la longueur du côté opposé à cet angle sur la longueur de l’hypoténuse .   

Sin.  =

 

2)  Cosinus d’un angle aigu         :Cd info plus

Le cosinus d’un angle ( noté : cos. ) est un nombre égal au quotient du rapport de la longueur du côté adjacent  à cet angle sur la longueur de l’hypoténuse .      cos. =

 

3)  La tangente d’un angle aigu

:Cd info plus

La tangente d’un angle ( noté : tan. ) est un nombre égal au quotient du rapport de la longueur du côté opposé à cet angle sur la longueur du côté adjacent à cet angle .

tan. =


i9

II -4 )  Exemples numériques :

:i

Dans le triangle rectangle ci -dessous : ( à vérifier par Pythagore )

Calculer :   ;  ;   et puis  ,   et .

 

Solution :

 

 

 =

  =

 =

  » 0,384 6

»  0,923 1

 »  0 , 416 7

 » 0,384 6

  »  0,923 1

  »  0 , 416 7

 

 

»  0,923 1

  » 0,384 6

  = 2,4

 

 

  »  0,923 1

  » 0,384 6

  = 2,4

On remarque  que  :

-          »  0,384 6  et    » 0,384 6  ,  il est  donc possible d’écrire que  =   

 

  »  0,923 1 et   »  0,923 1 ; donc   =    

 

i9

III )   CONVERTION  d’une valeur décimale    d’un sin a ; cos  , tan    en  valeur   angulaire  , exprimé en degré de l’angle a  ( noté :  )  et vis versa .

:i

 

Usage des tables

Ces conversions ne peuvent se faire  qu’en consultant  soit la calculatrice (en mode degré ), soit une table de trigonométrie .

Ainsi , lorsque je sais utiliser la calculatrice ou la table :

i  Lorsque l’on connaît la valeur décimale d ‘un sinus , d ‘un  cosinus ou d ‘ une tangente d’un angle , il est possible de convertir cette valeur décimale en  degré ( valeur angulaire) .

Inversement si je connais  la valeur ,en degré, d ‘ un  angle ,je peux ,en consultant la table numérique ou en utilisant la calculatrice obtenir  la valeur décimale du sinus ,cosinus ou tangente de cet  angle.

 

La suite de ce chapitre vous apprend à utiliser la calculatrice et ensuite avec la table .

 

Conseil important : si vous n’êtes pas sur de savoir utiliser correctement  votre calculatrice ,et pour plus de sécurité , vérifier  sur la table  , en comparant les résultats .

 

i9

III - 1  )  Utilisation de la calculatrice :

Cd :Info plus .

 

Sans calcul , on peut ,à partir  de la valeur décimale du sinus , cosinus , tangente d’un angle , trouver la valeur angulaire de cet angle ; inversement à partir d’un angle on peut obtenir sans difficulté le sinus , cosinus ou la   tangente de cet angle ( généralement c’est une valeur décimale approchée ).

 

A ) La valeur angulaire d’un angle aigu étant donnée ( entre 0° et 90°) .Recherche de la valeur décimale d’un sinus , cosinus et tangente  .

Cd :Info plus .

i-  Les valeurs des rapports trigonométriques ( sinus , cosinus , tangente ) d’un angle aigu sont données par la calculatrice , ou une table numérique, il suffit de savoir  connaître son mode d’emploi .

 

 i  -  Sur une calculatrice , les angles peuvent être exprimés en degrés décimaux , grades ou radians . ( Info plus : cliquer sur les mots )

i  -  L’unité d’angle utilisé dans ce cours est le degré décimal.

Activité 6  -  Mettre la calculatrice en mode  DEGRE  ( voir le fascicule  qui accompagne  votre calculatrice).

2°)

 

Pour trouver le sinus d’un angle aigu

Introduire  la mesure de l’angle  ( en degré)

Puis presser sur la touche

«  SIN »

Pour trouver le cosinus d’un angle aigu

Introduire  la mesure de l’angle  ( en degré)

Puis presser sur la touche

«  COS »

Pour trouver la tangente sinus d’un angle aigu

Introduire  la mesure de l’angle  ( en degré)

Puis presser sur la touche

«  TAN »

Exemple :

Utiliser la calculatrice pour trouver le sinus , le cosinus et tangente des angles : 7° ; 30° ; 84°.

 

Angle :

Sinus

Cosinus

Tangente

 

 

 

30°

 

 

 

84°

 

 

 

( en général on arrondit au 0,001 près )

le  corrigé se trouve à la  fin du cours.

i9  

B )La valeur du sinus ou cosinus ou tangente  étant donnée , on recherche  la valeur de l’angle  en degré .

Cd :Info plus .

Préalable :  mettre la calculatrice en mode  DEGRE  ( voir le fascicule  qui accompagne  votre calculatrice).

Attention , il faut connaître les touches , les procédures et le mode d’utilisation  de votre calculatrice !.

Pour le « SINUS » :

A partir de la  valeur décimale « sinus »  pour obtenir la valeur en degré , vous devrez  appuyer sur la touche :     INV . SIN ; ou SIN-1 ; ou ASN ; ( ces Touches remplissent la même fonction , à vous d’identifier la bonne touche.)

Pour le « COSINUS » :

A partir de la  valeur décimale « cosinus »  pour obtenir la valeur en degré , vous devrez appuyer sur la touche  INV . COS ; ou COS-1 ; ou ACN ; ( ces Touches remplissent la même fonction, à vous d’identifier la bonne touche.)

Pour la  « TANGENTE » :

A partir de la  valeur décimale « tangente »  pour obtenir la valeur en degré  ,vous devrez appuyer sur la touche  INV . TAN ; ou TAN-1 ; ou ATN ; ( ces Touches remplissent la même fonction, à vous d’identifier la bonne touche.)

 

Exemples :

1°) Utiliser la calculatrice  pour trouver l’angle  C dont le sinus est 0,876 5 .

Pour trouver la mesure de l’angle  ( en ° ) dont on connaît  le sinus d’un angle aigu procéder ainsi :

 

Procédure :

sinus   =  0,876 5 ;    = ?

Introduire dans la calculatrice  la valeur  du  sinus  de l’angle   .

0,876 5

Puis presser sur la touche :

« INV » et la touche «  SIN »

ou SIN-1 ;

ou ASN

Lecture écran :             Affichage

61,22 30002674563870029460466444187°

Réponse :

sinus  0,876 5 » 61,22°

Compte rendu :

l’angle C  » 61,22°   , ou   » 61,22°

2°) Utiliser la calculatrice  pour trouver l’angle  A ( ) dont le cosinus est 0,423 6

Pour trouver la mesure de l’angle  ( en ° ) dont on connaît  le cosinus d’un angle aigu procéder ainsi :

 

Procédure :

cosinus   =  0,423 6  ;   = ?

Introduire dans la calculatrice  la valeur  du  cosinus  de l’angle.

0,423 6

Puis presser sur la touche :

« INV » et la touche «  COS »

ou COS-1 ;

ou ACN

Lecture écran :                                Affichage

64,9379198941684120820136530194404

Réponse :

cosinus 0,423 6  » 64,94 °

Compte rendu :

l’angle   » 64,94 ° , ou   » 64,94 °

 

3°) Utiliser la calculatrice  pour trouver  l’angle  B  dont la tangente  est 1,973 2

Pour trouver la mesure de l’angle  ( en ° ) dont on connaît  la tangente  d’un angle aigu procéder ainsi :

 

Procédure :

Tangente    =  1, 973 2  ;   = ?

Introduire dans la calculatrice  la valeur  du  cosinus  de l’angle.

0,423 6

Puis presser sur la touche :

« INV » et la touche  «  TAN »

ou TAN-1 ;

ou ATN

Lecture écran :                                Affichage

63,1245186381872560194775281181102

Réponse :

tangente 1,9732 » 63,12°

Compte rendu :

l’angle   » 63,12° , ou   » 63,12°

 


i9   

C )  UTILISATION DE LA TABLE DE TRIGONOMETRIE

Info plus  +++CD

De nombreuses tables existent , celle proposée  ,ci dessous ,est la plus simple :

Le sinus de 36° (0,5878) est égal au cosinus de 54°

1°)  Recherche du « SINUS d’un angle »  :

 

 A)Recherche du sinus à partir d’un angle

Avec la table.

Avec la calculatrice scientifique

0,0175

0,17452406

10°

0,1736

0,1736481777

24°

0,4067

0,406736643

30°

0,500000

0,50000000

45°

0,7071

0,707106781

60°

0,8660

0,866025404

90°

1

1

 

 

 

B ) Recherche d’ un angle à partir d’un nombre décimal (n £ 1 )

Avec la table.

Avec la calculatrice scientifique

0,2419

14 °

Forme décimale :      13,99870707°

forme sexagésimale :  13°59’55’’35/100

0,8290

56°

55,99615045°

55°59’46’’14 /100

0,289256198

16°30’

16°48’48’’35/100

0,5

30°

 

0,866

59,99708907°

59°59’49’’

 

2°) Recherche du « COSINUS d’un angle »  :

 

 

A )Recherche du cosinus à partir d’un angle

Avec la table.

Avec la calculatrice scientifique

 

 

10°

 

 

24°

0,9135

0,913545457642600895502127571985317

30°

 

 

45°

 

 

60°

 

 

90°

 

 

 

B ) Recherche d’ un angle à partir d’un nombre décimal (n £ 1 )

Avec la table.

Avec la calculatrice scientifique

0,2419

76

76,0012929273909452030608943275762

0,8290

 

 

0,289256198

 

 

0,5

 

 

0,866

 

 

 

3° ) Recherche de la « Tangente d’un angle »  :

 

A )Recherche d’une tangente à partir d’un angle

Avec la table.

Avec la calculatrice scientifique

 

 

10°

 

 

24°

 

 

30°

0,5774

0,577350269189625764509148780501957

45°

 

 

60°

 

 

90°

 

 

 

B) Recherche d ’ un angle à partir d’un nombre décimal

Avec la table.

Avec la calculatrice scientifique

0,2419

Entre 13 et 14°

13,598621846296300005000876844386

0,8290

Entre 39 et 40°

39,6587315648276904009258333961383

0,289256198

16°

16,1328405121331118923472311358334

0,5

Entre 26 et 27°

26,5650511770779893515721937204533

0,866

Presque 41°

40,8925629074563470010890415264752

1

45°

45°

12,56

Entre 85 et 86 °

85,4478366300075891173256624914393

19

87°

86,9872124958166600548819457850051

57,2900

89°

88,9984275643442281937830467049166

169

Entre 89 et 90°

89,6609756755485497756239006787162

5067

Presque 90°

89,9886923665345948266430392503244

12568

Presque 90°

89,9954411378586751730828079184392

 

Dans un triangle rectangle si l’on connaît 2 côtés on peut avec « Pythagore » trouver la longueur du troisième coté .

            Avec deux longueurs , on peut aussi  trouver la valeur  d’un sinus ; cosinus ou tangente d’un angle  pour ensuite trouver la valeur en degré de cet angle , et ensuite en déduire la valeur des deux autres angles ….

Rappels :

La somme des angles dans un triangle est de 180° . La somme dans un triangle rectangle est de  180° = 90° + ( somme des 2 angles aigus) .

(ces deux angles aigus ,dont leur somme est de 90°, sont appelés : angles complémentaires)

Dans un triangle rectangle , si je connais la longueur  de deux côtés , j’applique  « Pythagore » pour trouver la longueur du troisième côté.

Dans un triangle rectangle , si je connais la longueur  de deux côtés , j’applique  le sinus , le cosinus ou la tangente  pour trouver la valeur d’un des angles aigus .

 

i9

IV ) Recherche par calculs d’éléments d’un triangle rectangle.

Voir pour chaque cas :

Info 1  sin ;

Info 2 cos ,

Info 3  tan ;

 

1 ) Recherche d’un angle connaissant les longueurs de deux côtés.

1°) On donne la longueur de l’hypoténuse et la longueur d’un côté  d’un triangle rectangle.

 

Que représente [CA ] et [BA] pour l’angle A ?.

Que représente [CA ] et [BA] pour l’angle C ?.

 

Réponse :Pour l’angle A :  le segment  CA  (  [CA] )est l’hypoténuse  , le segment BA  ( [BA]) est le côté adjacent. 

Pour l’angle C : le segment  CA  (  [CA] )est l’hypoténuse  , le segment BA  ( [BA]) est le côté opposé . 

 

Calculs :

a) On demande de trouver la valeur de l’angle A , en degré .

b) En utilisant les relations trigonométriques trouver la valeur en degré de l’angle C.

 

Solution :

a)     Calcul de la valeur de l’angle A , en degré .

.

Procédure :

Solution :

)inventaire des données :

[CA] est l’hypoténuse , [BA] est le côté adjacent à l’angle A

[CA ] =  25 cm   et  [BA]= 17 cm

 

2°) Etablissement des formules :

( à partir des 3 définitions) 

Sin A = ;cos A =   ; tan = 

Analyse :La relation trigonométrique  « cosinus »  est la seule  formule utilisable avec les données .,

cos A = 

3°) calcul du  cos A =   

 

cos A =   ; cos A = 0,680 0

4°) Calculatrice : recherche de la valeur angulaire.

= 47,1563569564036622080449988396549

= 47,16°

(à vérifier sur un dessin à l’échelle )

 

 

b)      Calcul de la valeur de l’angle C , en degré .

.

 

 

Procédure :

Solution :

)inventaire des données :

[CA] est l’hypoténuse , [BA] est le côté adjacent à l’angle A

[CA ] =  25 cm   et  [BA]= 17 cm

 

2°) Etablissement des formules :

( à partir des 3 définitions) 

Sin C = ;cos C; tan C =    

Analyse :La relation trigonométrique  « cosinus »  est la seule  formule utilisable avec les données .,

Sin C =   

3°) calcul du  sin C =   

 

Sin C =   ; sin C  = 0,680 0

4°) Calculatrice : recherche de la valeur angulaire.

= 42,8436430435963377919550011603451

= 42,84°

(à vérifier sur un dessin à l’échelle )

 

Remarque : les angles  = 42,84°   et   = 47,16°  ont pour somme :

 42,84°  +  47,16°  = 90,00°  soit 90°

Ce qui vérifie que dans un triangle  la somme des angles est de :

90° + 42,84°  +  47,16° =  180° ;soit   90° + 90° = 180° 

 

 

2 )Recherche de la longueur d’un côté  connaissant un angle* et la longueur** d’un autre côté .

Cd :Info plus .

 

*On connaît  la valeur angulaire de l’angle  A ou  de  l’angle B .

** On connaît soit l’angle en A ou en B , on recherche  la longueur du  côté adjacent ou du côté opposé qui forme l’ angle A ou B .

 

 

Exemple 1   :

Objectif : rechercher la longueur du côté opposé à un angle .

     Soit un triangle CBA rectangle en B .

      On donne l’angle A  = 42°  et  [B A]  = 20 cm.

 

Question : on demande de calculer la longueur du côté [ B C

 

Procédure :

Solution :

)inventaire des données :

 [BA] est le côté adjacent à l’angle A.

On obtient ,avec la calculatrice, la valeur décimale de :

Sin 42° : 0,669 1

Cos 42° : 0,743 1

Tan 42° :  0,9004

[BA ] =  20 cm   et    =  42 °

 

2°) Etablissement des formules :

( à partir des 3 définitions) 

Sin  = ;cos  ; tan  =   

Analyse :La relation trigonométrique  « tan »  est la seule  formule utilisable avec les données . Il faut convertir tan 42° en valeur décimale avec la calculatrice . 

tan  =  

 

tan 42° = 0,900404044297839945120477203885372

3°) calcul de  CB  à partir de l’égalité : tan  =  ;  On remplace les lettres par les valeurs connues .

0,9004 =  

4°) transformation  ( produit en croix)

             =

 

20  0,9004 =  1  CB

CB = 18,00 cm

 

Exemple 2 :

Objectif : rechercher  la longueur du côté adjacent à un angle .

 

on reprend l’ énoncé précédent  on modifie une donnée .

     Soit un triangle CBA rectangle en B .l’angle A  = 42°  et  [C A]  = 30 cm.

 

Question : on demande de calculer la longueur du côté [ B C] 

 

Procédure :

Solution :

)inventaire des données :

 [CA] est l’hypoténuse du triangle .

On obtient ,avec la calculatrice, la valeur décimale de :

Sin 42° : 0,669 1

Cos 42° : 0,743 1

Tan 42° :  0,9004

[CA ] =  30 cm   et    =  42 °

 

2°) Etablissement des formules :

( à partir des 3 définitions)  , On cherche  CB .

Sin  = ;cos  ; tan  =   

Analyse :La relation trigonométrique  « sin »  est la seule  formule utilisable avec les données . ( on connaît deux valeurs sur trois )

Sin  = 

3°) calcul de  CB  à partir de l’égalité : Sin  = ;  On remplace les lettres par les valeurs connues .

0,6691 =  

4°) transformation  ( produit en croix)

             =

 

30  0,6691 =  1  CB

CB = 20,07cm

 

 

 

Les travaux auto formatifs sont destinés à préparer le devoir formatif .

Le devoir formatif  une fois passé  et validé  permet de passer les travaux certificatifs .( diplôme)

 

Leçon

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur

 

N°22

LES RELATIONS TRIGONOMETRIQUES DANS LE TRIANGLE RECTANGLE

 

N°22    d ’ AUTO - FORMATION :  CONTROLE

 

 

 

 

1°) Les angles ( désignations) .

Mots à placer :

AC.  ( ou CA ) ;  l’angle droit ; côté adjacent   ; Bêta ; alpha ; AB  ( ou BA ) ; consécutifs.

 

 

Pour le symbole « b » lire « …….. »

Pour le symbole « a »  lire « ……… »

En « A » : un carré (ou rectangle) symbolise ………………..

 

 

L’angle  « b » se trouve   à l’opposé  du côté ………. ( ou ……)

L’angle  « a »  se trouve  à l’opposé du  côté ……..  ( ou ………. )

Les côté AB et BC sont ……………. ; . ( AB est appelé le « ……………… » à l’angle « b »)

Les côtés AC et CB sont …………….. ( AC est appelé le « ……………….. » à l’angle « a »)

 

2°) Identification du « Côté opposé » , « côté adjacent » , « hypoténuse » d’un angle

Pour un triangle rectangle CBA ; rectangle en B :nommer  les côtés :

Compléter le tableau suivant avec les mots : Côté  opposé   ( à ) ; Côté adjacent (à ) ; côté adjacent  à 90° ; Hypoténuse ; Côté adjacent   ( à ) ; Côté opposé  ( à )

 

 

 

Si l’on se fixe sur un angle ; on nommera les côtés  de la façon suivante :

 

 

Pour l’angle droit

Pour l’angle    

Pour l’angle    

 

AC

est appelé :

 

 

 

 

AB

est appelé 

 

 

 

 

BC

est appelé 

 

 

 

 

 

3°) citer  les 3 principales relations trigonométriques sur le sinus , cosinus , tangente  ; donner le modèle  symbolique  mathématique.

 

 

4°)  Appliquer au triangle rectangle  ACB   les relations précédentes :

A quel rapport est égal ? :

 ;  ;      ;   ;  ;

 

5°) Passage d’une valeur décimale d’un sin a; cos a, tan a, à la valeur en degré de l’angle a

Compléter les phrases suivantes :avec les mots : en degré ; valeur décimale .

Lorsque l’on connaît la valeur décimale du sinus , du cosinus ou de la tangente d’un angle ,en consultant une table numérique  ou une calculatrice scientifique  obtenir  la valeur …………………… de cet  angle .

Inversement si je connais la valeur en degré de l’angle je peux obtenir avec la table numérique ou la calculatrice la ……………….. du sinus , cosinus ou  tangente de cet  angle .Le chapitre suivant aborde ce travail.

 

6°)    Détermination de la valeur décimale d’un sinus , cosinus et tangente à partir de la valeur  en degré de l’angle aigu. Compléter les phrases suivantes :

Avec les mots suivants  grades ; degré décimal ; la calculatrice , degrés décimaux , ou radians . DEGRE ;ou une table numérique »

Les valeurs des rapports trigonométriques ( sinus , cosinus , tangente ) d’un angle aigu sont données par ………………………………………………..

Sur une calculatrice , les angles peuvent être exprimés en :………………………..………………………………………………………..

L’unité d’angle utilisé couramment  est le …………………………………...

 

 

7°) pour des calculs en trigonométrie il faut  mettre la calculatrice en mode………

 

8°)  Compléter le tableau ( voir votre calculatrice)

 

Pour trouver le sinus d’un angle aigu

Introduire  la mesure de l’angle  ( en degré)

Puis presser sur la touche

  ……………

 

Pour trouver le cosinus d’un angle aigu

Introduire  la mesure de l’angle  ( en degré)

Puis presser sur la touche

………………

 

Pour trouver la tangente sinus d’un angle aigu

Introduire  la mesure de l’angle  ( en degré)

Puis presser sur la touche

  …………………..

 

 

8°) mettre la calculatrice en mode  DEGRE

 

 

Détermination de la valeur de l’angle  en degré connaissant la valeur du sinus ou cosinus ou tangente avec la calculatrice :

Donner la touche remplissant la même fonction  sur votre calculatrice  :

    A partir de la  valeur décimale « sinus »  pour obtenir la valeur en degré  appuyer sur la touche :   INV . SIN ; ou  SIN-1 ; ou ASN ; 

 A partir de la  valeur décimale « cosinus »  pour obtenir la valeur en degré  appuyer sur la touche  INV . COS ; ou  COS-1 ; ou ACN ; 

 A partir de la  valeur décimale « tangente »  pour obtenir la valeur en degré  appuyer sur la touche  INV . TAN ; ou  TAN-1 ; ou ATN ; 

 

9 °)Utiliser la calculatrice  pour trouver l’angle C dont le sinus est 0,876 5 , l’angle  A dont le cosinus est 0,423 6  et l’angle  C dont la tangente  est 1,973 2

 

 10 °) Compléter les phrases suivantes   sur les Calculs d’éléments d’un triangle rectangle :

avec les mots :  «  180° ; aigus ; Pythagore ; complémentaires ;( somme des 2 angles aigus) . »  

 

Dans un triangle rectangle si l’on connaît 2 côtés on peut avec « …………… » trouver la longueur du troisième coté . La somme des angles dans un triangle est de …………. .

La somme dans un triangle rectangle est de  …… = 90° + ………………………..

(ces deux angles aigus ,dont leur somme est de 90°, sont appelés :

                 angles ……………………….)

Dans un triangle rectangle , si je connais la longueur  de deux côtés , j’applique  « Pythagore » pour trouver la longueur du troisième côté.

                     Dans un triangle rectangle , si je connais la longueur  de deux côtés , je peux   calculer  le sinus ou  le cosinus ou la tangente  pour trouver la valeur d’un des angles ……………… .


 

TRAVAUX N° 22   d ‘ AUTO - FORMATION EVALUATION

 

 

1 °) Utiliser la calculatrice pour trouver le sinus , cosinus et tangente des angles : 7° ; 30° ; 84°.

 

Angle :

Sinus

Cosinus

Tangente

 

 

 

 

 

30°

 

 

 

 

84°

 

 

 

 

( en général on arrondit au 0,001 près )

 )Utiliser la calculatrice  pour trouver l’angle C dont le sinus est 0,876 5 , l’angle  A dont le cosinus est 0,423 6  et l’angle  C dont la tangente  est 1,973 2

3°) En utilisant la calculatrice  ( donner le résultat arrondit à  0,000 1 près )

( a :lire angle alpha )

 

Angle a

 

15°

30°

45°

60°

75°

90°

 

Sin a

 

 

 

 

 

 

 

 

Cos a

 

 

 

 

 

 

 

 

Tan a

 

 

 

 

 

 

 

 

4°) En utilisant la calculatrice , compléter le tableau ( arrondir à 0,1 près )

 

 

sina = 0 ,213 4

 sina= 0,54 00

sina =0, 9687

 

 

L’angle a est égal à

 

 

 

 

 

 

 

 

Cos a = 0 ,213 4

 Cos a= 0,54 00

Cos a =0, 9687

 

L’angle a est égal à

 

 

 

 

 

 

 

Tan a = 5 ,213 4

 tana= 1

sina =0, 1187

 

L’angle a est égal à

 

 

 

 

Utilisation  de  table   de trigonométrie .

 

3 °) « SINUS d’un angle »  :

 

 

A )Recherche du sinus à partir d’un angle

Avec la table.

Avec la calculatrice scientifique

 

 

 

 

10°

 

 

 

24°

 

 

 

30°

 

 

 

45°

 

 

 

60°

 

 

 

90°

 

 

 

 

 

B ) Recherche d’ un angle à partir d’un nombre décimal (n £ 1 )

Avec la table.

Avec la calculatrice scientifique

 

0,2419

 

 

 

0,8290

 

 

 

0,289256198

 

 

 

0,5

 

 

 

0,866

 

 

 

 

4°) « COSINUS d’un angle »  :

 

 

A )Recherche du cosinus à partir d’un angle

Avec la table.

Avec la calculatrice scientifique

 

 

 

 

10°

 

 

 

24°

 

 

 

30°

 

 

 

45°

 

 

 

60°

 

 

 

90°

 

 

 

 

 

B ) Recherche d’ un angle à partir d’un nombre décimal (n £ 1 )

Avec la table.

Avec la calculatrice scientifique

 

0,2419

 

 

 

0,8290

 

 

 

0,289256198

 

 

 

0,5

 

 

 

0,866

 

 

 

 

5° ) « Tangente d’un angle »  :

 

 

A )Recherche d’une tangente à partir d’un angle

Avec la table.

Avec la calculatrice scientifique

 

 

 

 

10°

 

 

 

24°

 

 

 

30°

 

 

 

45°

 

 

 

60°

 

 

 

90°

 

 

 

 

 

B) Recherche d’ un angle à partir d’un nombre décimal

Avec la table.

Avec la calculatrice scientifique

 

0,2419

 

 

 

0,8290

 

 

 

0,289256198

 

 

 

0,5

 

 

 

0,866

 

 

 

1

 

 

 

12,56

 

 

 

19

 

 

 

57,2900

 

 

 

169

 

 

 

5067

 

 

 

12568

 

 

 

 

6°) On donne la longueur de l’hypoténuse et la longueur d’un côté  d’un triangle rectangle.

Que représente [CA ] et [BA] pour l’angle A ?.

Que représente [CA ] et [BA] pour l’angle C ?.

Calculs :

a) On demande de trouver la valeur de l’angle A , en degré .

b) En utilisant les relations trigonométriques trouver la valeur en degré de l’angle C.

Remarque : calculer la somme des angles   +    

Vérifier que  la somme des angles dans un triangle  est égale  à 180°

 

 

7°)  Calcul de la longueur d’un côté  connaissant un angle et la longueur d’un autre côté .

      Soit un triangle CBA rectangle en B .

      On donne l’angle A  = 42°  et  [B A]  = 20 cm.

 

Question : on demande de calculer la longueur du côté [ B C]  .

 

8°) :      Soit un triangle CBA rectangle en B .l’angle A  = 42°  et  [C A]  = 30 cm.

 

Question : on demande de calculer la longueur du côté [ B C]  .


 

)Dans le triangle rectangle ci - dessous : ( à vérifier par Pythagore )

Calculer :   ;  ;   et puis  ,   et .

 

 

10°) On considère un pentagone  régulier inscrit dans un cercle de rayon 6 cm .

 a)Quelle est la nature  de chacun de ces cinq triangles dont le sommet  est le centre  "O" du cercle .

b)Donner une mesure de chacun de leurs angles . ( rappel :la somme des angles d'un triangle est de 180 ° )  . 

c)Calculer l'aire de ce pentagone . ( pour calculer  "h"  la trigonométrie) .

 

 

 

 

 

Corrigé activité 6

Angle :

Sinus

Cosinus

Tangente

0,12186934340514

0,99254615164132

0,12278456090290

30°

0,5

0,86602540378443

0,57735026918962

84°

0,99452189536827

0,10452846326765

9,51436445422258

 

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