NOTION

Vers : formation niveau V ( CAP …..)

 

 

TRIGONOMETRIE : activités de tracés ou de mesures d’un angle sans rapporteur .

Utilisation des rapports trigonométriques .Usage des tables ou de la calculatrice.

APPLICATIONS : Constructions d’angles connaissant leurs rapports (dit aussi : lignes)  trigonométriques.

 

Les définitions  des rapports (lignes)   trigonométriques  d’un angle aigu permettent  de construire  un angle étant donné l’une de ses lignes trigonométriques.

Chapitres :

1°) Tracer un triangle (hypoténuse = 100 mm)

 

2°) Désignation conventionnelle.

 

3°) Comment construire  un angle  sans rapporteur ,  à partir d’ un rapport  trigonométrique  « sinus » ou « cosinus »

4°) Comment  connaître la mesure d’un angle sans rapporteur.

 

5°) construction d’un angle connaissant le sinus. (deux méthodes)

6°) Construction d’un angle connaissant sa tangente.

 

 

 

 

 

)  ) tracer un triangle rectangle  dont la longueur de l’hypoténuse est égale à 100 mm.

 

Activité n°1 :Relevez la valeur des 3 angles avec le rapporteur.

Angle droit =      ; petit angle =         ; angle moyen =

On nommera  le petit angle : « alpha »   symbole  « a »

On nommera le moyen angle : « bêta »  symbole « b »

Nommez l’hypoténuse « c. » ; le petit coté « a » ; le coté moyen « b »

a) Sur le dessin relevez la longueur  du plus petit côté « a » : 

calcul : Divisez la longueur de ce petit coté par la longueur de l’hypoténuse .  (  a : c »       )

Vous trouvez un nombre inférieur à zéro , ce nombre porte le nom de « sinus » .

Remarque :  Si le « petit angle : a »  varie  la valeur de ce sinus varie.

On dira que le calcul de la longueur du petit coté sur la longueur de l’hypoténuse est appelé : sinus alpha  que l’on notera : sin a   ; à partir de cette valeur on peut trouver la valeur de l’ angle alpha en degré  soit avec la calculatrice , soit avec la table des nombres trigonométriques .

 

 

2°) Désignation conventionnelle  : Triangle rectangle , par convention on désignera   les cotés et les angles comme ci dessous.

AB =  c   ; opposé à

 

BC =  a   ; opposé à

 

AC =  b ; opposé à 

 

On désigne  aussi   par :

   pour l’angle  

   pour  l’angle  

 

38trigorect

3°) Comment construire un angle  sans rapporteur  , en connaissant un de ses rapports  trigonométriques. : « sinus » ou « cosinus »

 

Prendre une table de nombres trigonométriques ainsi qu’une calculatrice scientifique : nous allons comparer les résultats !

Boule verte

Voir :  « tracé d’un triangle »

Pour en savoir plus : cliquez ici

 

A)   Tracer un angle à partir de la valeur de son sinus :

 

  On donne pour L’angle  «  »  un cosinus  égal à  0,4456

Procédure :

On trace  une droite OA = 100

 

on sait

 

on en déduit que : AB = 44,56

le tracé sera approximatif !

le « sinus  » est égal à la mesure de OB !

 

 

angltrigotracé

B)   Construction d’un angle  à partir du cosinus d’un angle donné :

 

Pré requis :cliquez ici

Construction :d’un angle de 35,5°à l’aide du cosinus :

On recherche le cosinus de 35,5° :

» 0,81 soit =    (SOS rappel)

Procédure de tracé :

-tracer un arc de rayon 10 cm ;

-         sur [ 0x) placer le point « A » tel que OA = 8,1 cm

-         tracer une perpendiculaire à [ 0x) passant par « A » et coupant l’arc de cercle en « B »

-         l’angle AOB vaut 35,5° (à vérifier avec un rapporteur)

tracang1

Conclusion :pour construire un angle on peut utiliser un rapport  trigonométrique.

4°) Comment  donner la  MESURE d’ un ANGLE sans rapporteur : en se servant d’un règle graduée et d’une table de rapport trigonométrique.

 

 

Ou comment  donner la mesure d’un angle « x O y » donné sans le rapporteur .

 

Procédure :

- placer un point « A » sur [O y) tel que OA = 10 cm ;

-         tracer la projection orthogonale de « A » sur  [O x)  (image de « A » est « H »)

-         mesurer la longueur « OH » ( = 8,7 cm)

-         on en déduit le cosinus de l’angle « xOy » = = 0,87

-         A l’aide de la calculatrice ou de la table : on obtient la valeur de l’angle = 29,5°

tracang2

 

 

5°) construction d’un angle connaissant le sinus. (deux méthodes)

 

a)  Construire l’angle aigu « x » dont le sinus est égal à 0,475.

Première méthode : on décrit un cercle  de centre o et de rayon unité. ( ci -contre)

On prendra  par exemple OA = 100 millimètres si l’exercice se fait sur feuille de dessin.

Le quadrant OAB étant tracé , on porte sur OB un segment OP’ = 47,5 mm . La parallèle P’P à OA donne sur le cercle le point P  que l’on joint au point O pour avoir l’angle « x » demandé car :

 

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Nota :  « 0,475 » : en utilisant des tables ou une calculatrice qui donnent les sinus des angles , on pourra trouver la valeur de cet angle et comparer cette valeur avec celle que donne la mesure au rapporteur de l’angle construit.

b)  Deuxième méthode :

On décrit un cercle de diamètre CP = 100 millimètres  (ci contre) et du point P comme centre avec une ouverture de compas égale à 47,5 mm , on décrit un arc de cercle coupant la circonférence O au point I ; l’angle cherché n’est autre que l’angle C formé  par le diamètre CP et la corde CI car la figure ci contre donne encore , d’après la définition du sinus :

 

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6°)  Construire l’angle  dont la tangente est égale à 1,455.

 

Sur une droite  , on porte OA = 100 millimètres , par exemple. (figure ci contre)

Au point A on élève la perpendiculaire et sur cette perpendiculaire on porte AP = 145,5 mm .

En joignant P au point O on obtient l’angle cherché « x » car on a bien :

 

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