DOC. : Professeur ; Formateur

23 / 26.

DOC : livre  Elève .Cours  interactifs - et travaux +  corrigés.

FL3 : LA FONCTION LINEAIRE :    Ses modèles de représentation mathématique ; passage d’un modèle à l’autre .

DOSSIER  N°23

INTERACTIF

LA FONCTION LINEAIRE  

Information « TRAVAUX d’auto - formation  »

Cliquer sur  le mot !.

INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

05/06 NIVEAU :

Formation  Niveau V

 (inclus le CAP )

OBJECTIFS :

- Savoir reconnaître l’équation, la représentation graphique , une fonction linéaire.

- Savoir reconnaître le tableau de proportionnalité représentant la fonction linéaire.

I ) Pré requis:

Lecture ; ? ? ? ? Préambule !

¥

INFO : Les différentes représentations graphiques de fonctions.

¥

Fonction "généralités"

¥

Les Grandeurs proportionnelles

¥

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

INDEX warmaths

Objectif précédent :

)Les grandeurs proportionnelles  Sphère metallique

2°) DOS. 9  livre niveau V

3°) DOS. 10  livre niveau V

Objectif suivant :

La fonction linéaire : liste des objectifsSphère metallique

2°) la fonction affine .

3°) La fonction affine ,présentation.

Tableau       Sphère metallique

Complément de lecture :)Les fonctions :Boule verte

 

 

 

 

III )  LECON  n° 23 : LA FONCTION LINEAIRE :

Ses modèles de représentation mathématique ; passage d’un modèle à l’autre

CHAPITRES :

I ) Equation

INFO plus !!!!

II ) Graphe

INFO plus !!!!

III  ) Tableau de variation (de proportionnalité)

INFO plus !!!!

I V ) Représentation graphique.

INFO plus !!!!

V) Pente

Info plus ++++

IV)   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

Test

 Boule verte

COURS  Boule verte

Travaux  auto - formation.

Résumé (ici)

Corrigé des travaux  auto - formation.

Contrôle Boule verte

évaluation Boule verte

Boule verte)liste d’activités en lien avec la fonction linéaire

2°) Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

V )   DEVOIRS  ( écrits) :

 Devoir diagnostique L tests.

 Devoir  Auto  - formatif  ( intégré au cours)

  Devoir Formatif  « Contrôle : savoir » ;   (remédiation)

 Devoir  Formatif  «  Evaluatio  savoir faire »  (remédiation)

Devoir 1 sommatif . dev2  - devoir  3 -

Devoir certificatif : ( remédiation )

* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une formation .

 

Leçon

Titre

N°23

LA FONCTION LINEAIRE :

Ses modèles de représentation mathématique ; passage d’un modèle à l’autre

CHAPITRES :

I ) Equation

INFO plus !!!!

II ) Graphe

INFO plus !!!!

III  ) Tableau de variation (de proportionnalité)

INFO plus !!!!

I V ) Représentation graphique.

INFO plus !!!!

V) Pente

Info plus ++++

 

COURS

ORGANIGRAMME :

Il faut traiter dans l’ordre :

 

 


 


i9

MODELES     MATHEMATIQUES  de représentation de la fonction linéaire

:i

 

                   cet objectif traite des généralités sur la fonction linéaire :

                      

                         Une fonction linéaire peut s’identifier à partir de quatre modes de représentation :

I ) Equation

II ) Graphe

III  ) Tableau de variation (de proportionnalité)

I V ) Représentation graphique.

                           Dans ce cours nous prenons   l’équation:

                                      y = x   est pris  comme exemple.

      (elle est de la  forme « y  =  a x  »   ; dans l’exemple  « a »  =  ;    » 0, 67 )

Les transformations possibles :

 

Equation

Graphe

Tableau

Représentation graphique

Equation

 

Boule verte

Boule verte

Boule verte

Graphe

Boule verte

 

Boule verte

Boule verte

Tableau

Boule verte

Boule verte

 

Boule verte

Représentation graphique

Boule verte

Boule verte

Boule verte

 

 

 

i9

I )    l ’  EQUATION 

:i

On peut obtenir une équation  à partir : d’un graphe  ; d’un tableau de proportionnalité ; d’une représentation graphique.

 

  L’ équation de la fonction linéaire est de la forme          y = ax

 

  La notation mathématique de la fonction linéaire           f : xax

traduction en langage littérale : «  fonction »  où « x » a pour image « a » fois « x ».

 

Ce que signifie :  « a x » 

 

                « a » est un nombre donné, (bien entendu différent de zéro ; dans ce cas la fonction linéaire n’existerait pas pour « 0 » multiplié par « x » égal « 0 » ) ;

                «a» est appelé « coefficient directeur » dans la représentation graphique .

 

                « x » est la variable de la fonction.

 

Exemple :

  y = x     est une équation d’une fonction linéaire parce qu’elle est  de la forme  y = ax

la fonction  se notera        f : xx

traduction en langage littérale : «  fonction »  où « x » a pour image «  » fois « x ».

 

Ce que signifie :  « x » 

 

                                «» est appelé « coefficient directeur » dans la représentation graphique .                              « x » est la variable de la fonction.

 

On dira :

      La fonction linéaire de coefficient « » fait correspondre à chaque valeur de la variable « x » le nombre « x ».

 

 

L’équation représentant de la fonction linéaire  est une équation du premier degré à deux inconnues de la forme  y = x

 

Plus généralement : (on dira que J

L’équation représentant de la fonction linéaire  est une équation du premier degré à deux inconnues de la forme  y = a x ; « a » étant le coefficient de l’équation de la fonction linéaire

 

Le rapport  de « y » sur « x »  est , pour la fonction linéaire, égal au rapport  « x » sur « x » ;

                        

 

Dans la fonction linéaire ce nombre est constant il est égal à «»

 

Ce nombre «» est appelé « coefficient de proportionnalité » ;

Le tableau s’appellera « tableau de proportionnalité ».

 

 

A ) Obtention d’ une équation  à partir  d’un graphe  

CALCUL DE « a » à partir d’un couple de nombres représentant une fonction linéaire :

En vue d’obtenir une équation de la forme y = ax

 

On analyse le graphe : G = {( 0 ; 0) ; (3 ;2) ; (9 ; 6 ) }

                     On reconnaît que la droite passe  par zéro .on peut dire le troisième couple de nombres (9 ; 6 )  est de la forme  (x ; ax) ;

             Nous pouvons en déduire que le graphe représentant une fonction linéaire est  d’équation  y = ax  .

;le nombre « 9 » est la valeur de « x » ;le nombre « 6 » est la valeur de « y » ;nous remplaçons ces valeurs dans l’équation  ( y =ax  devient  6 = a 9  , nous en déduisons  que a = , après simplification        a = 

                   nous concluons : le graphe G = {( 0 ; 0) ; (3 ;2) ; (9 ; 6 ) } donne l’équation de la fonction linéaire  y = x

 

B ) Obtention d’ une équation  à partir  d’un tableau de proportionnalité 

On nous donne le tableau suivant :

 

A

B

C

O

D

E

F

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-9

-6

-3

0

3

6

9

 

On nous déclare que le tableau est un tableau de proportionnalité !

On sait qu’en faisant le calcul du rapport   on trouve une valeur à « a »

 

Ainsi on prend un point ( E )  on identifie  x = 2 et y = 6

On fait le calcul :   =  a =  3

 

Donc si « a » = 3; l’équation de la fonction linéaire représentant le tableau sera  y = 3x

 

Vérification :  les couples de nombres  forment une suite de rapports ; ils faut vérifier si ils forment une suite de nombres proportionnels  ou une  suite de rapports égaux

 

= ? = = ? = = ?== ?== ?=

 

il faut faire les calculs ! ! !

 

ou voir la « somme des rapports égaux »    

 

 

 

 

C ) Obtention d’ une équation  à partir d’une représentation graphique.

fl4

 

On choisit un point  et l’on  relève ses coordonnées :

                           Le point A à pour abscisse  x =+10 ; et pour ordonnée

y = + 5

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


          Il faut faire le rapport de  pour avoir le coefficient « a » :   = 0,5

                Conclusion : la droite à pour équation y = 0,5 x

i9

II  )  GRAPHE  de la fonction linéaire

:i

On peut obtenir un graphe à partir : d’une équation ; d’un tableau de proportionnalité ; d’une représentation graphique.

                 Le graphe est un ensemble (ou suite)  de couples de nombres ;du type : ( x ; ax)

                       le premier nombre est attribué à « x » appelé « variable »

                       le deuxième nombre est associer au produit  « ax ».

                Si « a »  vaut    ,le   couple aura la forme et sera noté :( x ; x)

                        le Graphe de la fonction linéaire se présentera sous la forme :

 G = { ( x1 ; ax1) ; (x2 ;ax2 ) ; ......... }

A ) Construction d’un graphe à partir de l’équation : y = x

   Obtention d’un couple de nombres  (à partir d’une équation) :

 

On donne une valeur à « x »   (exemple : 9 )

     on obtient un autre nombre  en utilisant l’équation  y = x   ; (y = 9 =(18 :3 ) = 6)

en résumé :   si « x » = 9 alors x = 6

      nous obtenons le premier couple de nombres du graphe de la fonction « x » :  (9 ; 6)

 

             On remarque que l’on peut citer  un couple particulier : (0 ;0)   ( en effet si « x » = 0 alors x

Nous obtenons un premier modèle mathématique de la forme :

     G = {  ( 0 ; 0 ) ; ( x1 ; x1) ; (x2 ; x2 ) ; ......... }

le couple  (x1 ; x1)  dans un repère cartésien signifie :

                qu’ à  x1 on associe  l’abscisse « x »

                qu’ à  « x1 » on associe  l’ordonnée « y1 »

En modèle « limité »  nous  pouvons utiliser le graphe suivant :

le graphe représentant l ’ équation  y = x   est G = {( 0 ; 0) ; ( 3 ; 2 ) ;(9 ; 6 ) ; }

deux points suffissent  , le troisième point servira pour vérifier si le tracé est « bon »

 

soit le graphe obtenu précédemment G = {( 0 ; 0) ; (9 ; 6 )}

ces deux couples de nombres permettent de tracer la représentation graphique de la fonction .

 

B) Obtention d’un graphe à partir d’une représentation graphique .

fl1

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


G = { ( -3 ; -9) ; (-2 ;-6 ) ; (-1 ;-3 ) ; ( 0 ; 0 ) ;  (1 ; 3 ) ; (2  ;6 ) ; ( 3 ;9 ) ;  ......... }

 

C) Obtention d’un graphe à partir d’un tableau de variation

 

On nous donne le tableau suivant :

 

 

A

B

C

O

D

E

F

3 x

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-9

-6

-3

0

3

6

9

Pour construire le graphe il suffit de reprendre les couples de nombres  dans l’ordre croissant de « x » ; ce qui donne le graphe :

G = { ( -3 ; -9) ; (-2 ;-6 ) ; (-1 ;-3 ) ; ( 0 ; 0 ) ;  (1 ; 3 ) ; (2  ;6 ) ; ( 3 ;9 )  }

Plus généralement on dira :

                   que le Graphe de la fonction linéaire est de la forme :

 G = {( 0 ; 0 ) ; ( 0 ; 1 ) ; ( x1 ; ax1) ; (x2 ;ax2 ) ; ......... }

 

Ce graphe est « fini » si il est obtenu à partir d’un tableau ; il est « infini » si il est obtenu à partir d’une équation ou d’une représentation graphique.

Avec comme les deux couples particuliers :

       

                                                     ( 0 ; 0 )  et  ( 1 ; a ) 

 

i 19

i 29

III) TABLEAU de variation  dit « tableau de proportionnalité »

:i

(regroupant les couples ( x ; ax) )

 

On peut obtenir un tableau de proportionnalité  à partir d’ un graphe: d’une équation ;; d’une représentation graphique.

 

Voir Fonction généralité  « tableau de variation » :

 

A )  On peut obtenir un tableau de proportionnalité  à partir d’ un graphe

 

Soit le graphe :

 

G = { ( -3 ; -9) ; (-2 ;-6 ) ; (-1 ;-3 ) ; ( 0 ; 0 ) ;  (1 ; 3 ) ; (2  ;6 ) ; ( 3 ;9 ) ;  ......... }

 

On place les couples de nombres dans le tableau suivant :

 

 

 

A

B

C

O

D

E

F

a x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Le tableau de variation sera :

 

 

A

B

C

O

D

E

F

a x

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

 

y

-9

-6

-3

0

3

6

9

 

B)  On peut obtenir un tableau de proportionnalité  à partir  d’une équation.

Soit l’équation y = 3x

1° )On trace le tableau :

 

 

A

B

C

O

D

E

F

a x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

2°) on choisit des valeurs pour « x »

 

 

A

B

C

O

D

E

F

a x

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3°) on donne la valeur à « a » , et l’on effectue tous les calculs pour trouver « y ».

 

 

 

A

B

C

O

D

E

F

3 x

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

 

y = 3x

3-3= -9

3-2 =

-6

3-1 =

-3

30 =

0

3 1 =

3

3 2 =

6

3 3 =

9

 

 

Conclusion :

Le tableau de proportionnalité représentant la fonction :   y = 3x est :

 

 

 

A

B

C

O

D

E

F

3 x

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

 

y

-9

-6

-3

0

3

6

9

 

Remarque : le tableau peut se réduire à 3 colonnes de valeurs : ( suffisant pour tracer une droite)

 

 

A

B

C

O

D

E

F

3 x

x

 

-2

 

0

1

 

 

 

y

 

-6

 

0

3

 

 

 

 


 

C ) On peut obtenir un tableau de proportionnalité  à partir  d’une représentation graphique.

Sur la droite on place des points que l’on nomme :

;B ; C ; O ;D ;E ;F

 

Le nombre de points est défini à partir de contraintes imposées ! !

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


On trace le tableau :

 

A

B

C

O     

D

E

F

x

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

Le tableau est « rempli » à partir des résultats trouvés sur la droite :

                  Pour chaque point on relève son abscisse et son ordonnée

 

 

 

A

B

C

O

D

E

F

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-9

-6

-3

0

3

6

9

 

Les coordonnées du point A peuvent se noter verticalement :

A -3                   au lieu de A (-3 ; -9 )

    -9

 

A chaque point (A ;B ;.....) est associé les deux nombres qui serviront de coordonnées

 

 

 

Plus généralement :

Modèle de tableau de proportionnalité :

 

 

 

A

O

 

B

C

 

D

E

 

 

 

relation

x

xA

0

1

Valeurs choisies  de la variable

 

 « ax » 

y

yA

0

a

Valeurs «des « y » obtenues par calcul

 

 

xA et  yA    sont  les coordonnées du point A

ces valeurs peuvent se noter verticalement :

A xA                   ou horizontalement  A (xA ,yA)

    yA

 

i19  

i29  

IV ) Représentation graphique d’une fonction linéaire :

:i

On peut obtenir une représentation graphique  à partir  d’une équation , d’ un tableau de proportionnalité  ou à partir d’ un graphe.

A )   Obtention d’  une représentation graphique  à partir  d’une équation

Soit l’équation  y  =  3 x

    La représentation graphique d ’ une équation passe par la recherche  de plusieurs couples de nombres ,utilisés comme  coordonnées .

  Deux points suffissent pour tracer la droite ;plus un troisième qui servira de moyen de vérification (il doit se trouver sur cette droite )

L’ensemble des points A, B ,C ,D, .... ont pour coordonnés les couples de nombres (x ; 3x ) .

fl1

 
On peut tracer un tableau :

 

O

A

B

x

0

1

2

y

0

3

6

 

Tracé : 

B

 

A

 

O

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


B )  Représentation graphique d’une fonction linéaire  à partir d’un graphe :

 

 

Soit                G = {  ( 0 ; 0 ) ;  (1 ; 3 ) ; (2  ;6 )  }

 

  Procédure :

A chaque couple on attribue une lettre majuscule :

Le premier couple représente les coordonnées du point « O »   : O ( 0 ; 0) 

Le deuxième couple représente les coordonnées du point « A » :   A (1 ; 3 )  

 

Le troisième couple servira de « vérificateur »  si   x = 2 ;  y = 6

 

Représentation graphique : voir la représentation graphique précédente.

 

C )  Représentation graphique d’une fonction linéaire  à partir d’un tableau :

 

On donne le tableau suivant  :

 

 

O     

D

E

x

0

+1

+3

y

0

+2/3

+2

                             

                                y

   > 0 ;  la droite est « croissante »

 

 

                                2

 

 

 

 

                                1        

                              +

 

 

 


                                                                                                                                           x     

                                                               1                      2                  3                                      

 

 

   Il suffit de placer les points  O ;D ; E   dans le repère cartésien.

 

 

 

 

Commentaire :

     Le coefficient  directeur « » est un nombre relatif .

                              « » peut s’appeler :

 

n Coefficient de proportionnalité  (dans le tableau)

n Coefficient directeur de la droite de la fonction linéaire.

n Coefficient directeur de la droit d’équation y = x ; dans la représentation graphique

 

                                            Dans un repère cartésien « orthogonal » ; dans la représentation graphique de l’équation y = x ;           «» est appelé « pente de la droite », la « pente » étant  appelée aussi « tangente » ;

la pente est obtenu par le rapport de  « y » sur  « x ».

 Voir les relations trigonométriques  dans un triangle rectangle

 

 

 

Plus généralement :

 

 

 

Les caractéristiques de la représentation graphique d’une fonction  linéaire sont :

 

n c’est une droite (D)

n cette droite passe par l’origine « O » d ’ abscisse (0) et d’ordonnée (0)  , noté (0 ;0)

n elle possède un point caractéristique ; à  d’abscisse valeur  « 1 » correspond la valeur de « a » ; noté P :(1 ; a)

« a» s’appelle coefficient directeur  de la droite , c’est un nombre relatif :

Remarques :

si « a »  est « positif »   ,dans la représentation graphique la droite monte de la gauche vers la droite ,on dira que la fonction est « croissante ».

 

si « a »  est « négatif »   ,dans la représentation graphique la droite descend du haut  gauche du repère vers le  bas  droite ,on dira que la fonction est « décroissante ».

 

 

 

 

Info 2 plus ++

V )  RELATION entre  « a » et  la « pente » et « la tangente » et « coefficient directeur de la droite »

Info 1plus ++

 

 

                        « a » est aussi appelé « PENTE »  et « TANGENTE »

 

     «» est aussi appelé  « pente » ou « tangente » de la droite.  (voir relations trigonométriques dans le  triangle rectangle )

 

 

A

 
 

 

 

 

 


                             yA

 

 


                                          0

·                             xA                                   A’  

 

  la pente est égale au rapport de la longueur « yA » sur la longueur  « xA »   (uniquement vraie si nous sommes dans le sens croissant ) ;

  Autrement :  on dit aussi égale au rapport de la mesure algébrique  du segment  AA’ sur la mesure algébrique  du segment  OA’ ;

 on dit aussi au rapport  du coté opposé  a l’angle (AA’ ) sur le coté adjacent (OA’) 

  on dit aussi égale à l’abscisse du point  A sur l’ordonnée du point A

                     

 

 


 

Leçon

Titre

N°23

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur

LA FONCTION LINEAIRE

 

TRAVAUX  N°23    d ’ AUTO - FORMATION :  CONTROLE

a) Quelle condition doit remplir un « tableau numérique  » pour être  le représentant d’une fonction  ?

 

b) Que désigne le mot « variable » ?

1°) Donnez le modèle mathématique de l’équation  représentant la fonction linéaire.

 

2°) Que peut-on représenter  à partir d’une équation  représentant la fonction linéaire ?.

 

3°) Soit la notation   « ax » , comment nomme - t - on les facteurs ?

 

4°) Donnez la forme des couples  qui forment eux mêmes le graphe de la fonction  linéaire.

 

 

5°)  Donner forment du graphe de la fonction linéaire. ( donner les deux couples particuliers)

6°)  Représenter le tableau de « proportionnalité ; précisez ce qu’il « contient ».

 

7° ) « a »  (dans le produit de facteurs  associés à la  fonction linéaire) possède trois appellations , quelles sont - elles ?

 

8° )  Définissez   « la   représentation graphique »

      précisez ,en citant les caractéristiques principales ; placer les dans un repère cartésien.

 

9° )  Comment reconnaît - on une fonction  dite « linéaire » ?

 

TRAVAUX N°23    d ‘ AUTO - FORMATION   EVALUATION

 Soit les fonctions :

    y1 = 2x

   y2 = - 2x

      y3 = -

1°) Dans un repère cartésien orthonormé ;  Faire  la représentation graphique de chaque fonction .

A l' équation          y1 = 2x   

On associe la droite D1  (lire :droite indice 1)

A l' équation          y2 = - 2x

On associe la droite D2 (lire :droite indice 2)

A l' équation          y3 = -

On associe la droite D3  (lire :droite indice 3)

 

2°)  En étudiant le graphique , donner les coordonnées du point d’intersection des deux droites D1 et D2;

3°)  tracer  D3 

            Ensuite : avec un rapporteur donner la valeur de l’angle faite entre les droites D1 et D3  .

             Quel commentaire pouvez-vous avoir sur la position des droites l’une par rapport à l’autre ?

4° )  Faite le calcul  du produit  a1 par a3  .

5°) tracer la droite d'équation y4 =    

mesurer l’angle fait par D2   et D4    ; faire le produit a2 a4

 

6°)comparer les résultats de la question 4° et 5°; quelle conclusion peut - on en tirer ?