Définition de l ‘ objectif : Savoir transformer une écriture fractionnaire.

Pré requis:

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Info : Sommaire			Vers le programme de la classe de 4^ème.
Sciences : fractions égales (longueurs)
Fraction nomenclature

ENVIRONNEMENT du dossier :

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Objectif précédent 1°) fraction égale ( primaire) notions : Travaux : dossier 120 : partage en part égales 2°) Comparaison des fractions à l’unité 3°) Voir cours niveau 6 collège , classe 6^ème collège. 4°) Comparaison des nombres en écriture fractionnaire

Objectif suivant : 1°) Fractions égales 4^ème s 2°) >> La proportionnalité 3°) Fractions équivalentes 4°) Cours sur les fractions équivalentes et non équivalentes.

Tableau 96 1°) Sommaire : tout sur les transformations d’une fraction. 2°) Sommaire : tout sur la proportionnalité. 3°) Sommaire sur « les écritures fractionnaires ».

Les nombres positifs en écriture fractionnaire.

Fiche 1 : Ecritures fractionnaires d’un nombre .

Fiche 2 : Approximation décimales d’un nombre en écriture fractionnaire.

Fiche 3 : Simplification d’écritures fractionnaires : transformer en fraction , simplifier, rendre irréductible .

Fiche 4 : Comment reconnaître que deux écritures fractionnaires représentent le même nombre .

Fiche 5 : Proportions.

Fiche 6 : L’inverse d’un nombre.

Fiche 7 : Comparaison de nombres positifs en écriture fractionnaires.

Fiche 8 : La demi-droite graduée.

TEST	COURS	Devoir Contrôle	Devoir évaluation	Interdisciplinarité	Corrigé Contrôle	Corrigé évaluation
				Travaux niveau VI et V Dos. 149 comparaison de deux grandeurs.
			Travaux niveau VI et V Dos 160	Travaux : la proportionnalité (fiche 180)

COURS

Fiche 1 : Ecritures fractionnaires d’un nombre .

Voici des écritures fractionnaires de nombres : ( parmi lesquelles on intègre les fractions )

Parmi ces écritures fractionnaires , :

· Trouvez celle qui représente un nombre entier .

Info @ sur l’ensemble des nombres entiers..

Exemple : ( en effet )

· Trouvez celle qui représente un décimal non entier .

Info @ cours sur l’ensemble des décimaux

Exemple : = .. … ( en effet

· Trouvez celle qui ne représente pas un décimal .

Info @ cours sur l’ensemble des rationnels

Les écritures fractionnaires dont la division ne se termine pas ne représente pas un nombre décimal…….

Exemple : ; Vous constatez que les restes successifs sont toujours des .. …….

8

3

2

0

2,666

2

0

2

0

2

Donc dans le quotient on aura toujours des ….. …. On dit que l’on obtient un « nombre périodique » de période « 6 ». Ce nombre n’est pas un décimal car il a une infinité de chiffres (non nuls ) après la virgule.

Liste des écritures qui ne représente pas un décimal :

Fiche 2 : Approximation décimales d’un nombre en écriture fractionnaire.

Info ++ cours sur les approximations..

Info ++ @ a voir sur les valeurs approchées

n’est pas un décimal , mais , en utilisant la division ci-dessus , on peut en donner des « valeurs approchées décimales ». Ainsi par exemple : 2 < < 3 est l’encadrement de «   » par des valeurs approchées à « 1  prés »   . Avec : - « 2 » est la valeur approchée « par défaut » . - « 3 » est la valeur approchée « par excès ». Donnez l’encadrement à 0,1 près : ….. < < ……. Et Donnez l’encadrement à 0,01 près : ……. < < ……..

Remarque : sur le vocabulaire : Au lieu de dire « valeurs approchées » , on dit aussi «  approximations ».

Activité n°1 : Après avoir posé la division de « 22 par 7 » donnez les encadrements successifs du nombre

- Donnez l’encadrement à 1 près : …… < < ……. - Donnez l’encadrement à 0,1 près : ……. < < ……. - Donnez l’encadrement à 0,01 près : ……… < < ……… - Donnez l’encadrement à 0,00001 près : ………….. < < …………….

2

2

7

1

0

3,14285

3

0

2

0

6

0

4

0

5

Activité n°2 :

Donnez l’encadrement à 0,01 près de :

Fiche 3 : Simplification d’écritures fractionnaires

Info + @ : simplification..

Vous avez vu en 5^ème que

« a », « b » , « k » désignant des nombres décimaux , avec « b » et « k » non nuls ;

C’est de cette façon que l’on obtient toutes les écritures fractionnaires d’un nombre à partir de l’une d’entre elles. Activités possibles : :

Activité 1 : Transformer une écriture fractionnaire en fraction .

Info ++@

Certaines écritures fractionnaires peuvent être remplacées par une fraction, c'est-à-dire que les 2 termes de l’écriture fractionnaire sont des nombres entiers. Transformer les écritures fractionnaires ci-dessous en fractions :

Activité 2 :

Donnez la fraction irréductible des nombres suivants :

Info ++@ sur la fraction irréductible

1°) Avec des fractions

2°) Avec des écritures fractionnaires

Info ++ tout sur les calculs avec les écritures fractionnaires @

Activité n°3 :

Trouvez toutes les fractions représentant le nombre dont une écriture est et dont le dénominateur est inférieur à « 50 ».

Réponse : simplifions ; ; les fractions équivalentes sont obtenues en multipliant par « 2 » ; « 3 » ,  « 4 » ; « 5 » ; « 6 » ; «  7 »

Fiche 4 : Comment reconnaître que deux écritures fractionnaires représentent le même nombre .			Info + @ les fractions équivalentes ..
On voudrait savoir si : représentent le même nombre. Pour cela nous vous proposons de chercher si l’on obtient la même fraction irréductible pour donc
Faîte de même pour : ; donc
Et pour : ; donc
Autre méthode : Vous avez vu en classe de 5^ème que :
« a » ; « b » , « c » , « d » sont des nombres et avec « b » et « d » ne sont pas nuls. cela revient à dire que
Dans le cas de complétez : et puisque alors
Exercice : Utilisez cette méthode dans les cas suivants ci-dessous . Calculez les produits en croix puis complétez en méthode le signe = ou le signe

Fiche 5 : Proportions		Info + @ les proportions et le produits en croix..
Quatre nombres « a » , « b » , « c », « d » dans cet ordre ( « b » et « d » non nuls ) . tels que constituent une proportion . « a » et « d » sont appelés les « extrêmes » , « b » et « c » sont appelés les « moyens ».
· On dit aussi que « a » et « c » sont « respectivement proportionnels » à « b » et « d ».
· Puisque a même signification que , on peut dire que: Dans toute proportion , le produit des extrêmes est égal au produit des …………..
Activité 1 : « 5 » , « 7 » , «  1,5 » , «  2,1 » dans cet ordre , constituent - ils une proportion ?
· Même question avec : 2,6 ; 3 ; 4,8 ; 6
v Calcul d’une quatrième proportionnelle.		Info ++ @ la quatrième proportionnelle.
On vous demande de calculer «  » pour que l’égalité soit vraie.
Dire que c’est dire que , c'est-à-dire ; c'est-à-dire
Activités : Déterminez de même les nombres « a » , « b » , « c » , « d » dans les cas suivants

Fiche 6 : L’inverse d’un nombre.

Info ++@ inverse d’un nombre et d’une fraction .

Rappelons ce que nous avons vu au niveau « 5^ème . »

Activité 1 :

Complétez : AC = AB

Complétez : AB = AC

Les nombres que vous venez d’écrire sont dits « ………… » l’un de l’autre.

Activité 2 : Complétez :

On sait que a pour inverse …

A observer !!!!

Activité 3 : En vous aidant de l’activité précédente complétez par des écritures fractionnaires (donnez l’écriture simplifiée ) et

A retenir :

« E » et « F » étant des nombres ( ou des grandeurs) quelconques, « a » et « b » étant des décimaux positifs non nuls, dire que : c'est-à-dire et sont dits « inverse » l’un de l’autre.

Activité 4 : Déterminez le nombre «  » tel que Dire que c’est dire que , c'est-à-dire

Activité 5 : A un examen , 72 % des candidats ont été reçus. Sachant qu’il y a eu « 54 » reçus , quel était le nombre de candidats ?

Fiche 7 : Comparaison de nombres positifs en écriture fractionnaires.

Info +++ comparaison…fractions@

Soit 3 Méthodes :

Méthode n°1 : On compare des valeurs exactes ou approchées de ces nombres.

Activité 1 : Comparons et

=

Puisque 1, 4 > 1,25 alors : ….

Activité 2 : Comparons . Pour cela nous allons calculer : et

9

0

11

5

0

6

Les divisions « ne se terminent pas ». Mais on peut écrire : 0,81 < < 0,82 et 0,83 < < 0,84

2

0

0,818

2

0

0,833

9

0

2

0

2

2

Puisque 0,82 < 0,83 alors : .

Méthode n°2 : On choisit des écritures fractionnaires de même dénominateur ou de même numérateur :

Rappel 1 . De deux nombres représentés par des écritures fractionnaires de même dénominateur le plus grand est celui dont l’écriture fractionnaire a le plus ……… ..numérateur.

Activité 3 : Comparons  ; Vous savez que   . On est donc ramené à comparer : Puisque «  5 > 4 » alors ; c'est-à-dire que

Activité 4 :

Comparez les fractions dans les couples de fractions suivantes.

Activité 5 :

En faisant mentalement comme ci-dessus , complétez en mettant le signe : > ou <

Rappel 2 : De deux nombres représentés par des écritures fractionnaires de même numérateur le plus grand est celui dont l’écriture fractionnaire a le plus …….. ..dénominateur .

Activité 6 :

Complétez en mettant le signe : > ou <

Rappel 2 : Une écriture fractionnaire représente un nombre inférieur à « 1 » si et seulement si son numérateur est ………………. ;à son dénominateur

Complétez en mettant le signe : > ou <

Activité 7 :

On vous demande de ranger dans l’ordre croissant les fractions suivantes :

Commencez par séparer les nombres inférieurs à « 1 » des nombres supérieurs à « 1 ».

- Nombres inférieurs à « 1 » : ……………………………………………………………… - Nombres supérieurs à « 1 » :……………………………………………………………….. En faisant comme précédemment , complétez alors :

Méthode n°3 : On place sur une droite graduée les points ayant pour abscisses les nombres données.

Nous devons choisir sur la droite le sens croissant de la gauche vers la droite , plus le point est à gauche plus l’abscisse est ……petite…… , donc plus le point est droite plus l’abscisse est grande. (voir la fiche 8)

Fiche 8 : La demi-droite graduée				Info ++ @ droite graduée
Sur la demi-droite graduée ci-dessus, on a placé le point « B ». Son abscisse est « 1,5 » . On écrit : «  B ( 1,5 ) ». · Donnez l’abscisse des points : « D » , « A » , et « C ». · Placez les points dont on donne l’abscisse : G ( 4,5) ; F (0,35) ; E ( 1,7). · Placez approximativement les points : K ( 0,35) ; J ( 3,37 ) ; H ( 5,42)
Points dont l’abscisse est un nombre en écriture fractionnaire.
Il n’est pas toujours facile de placer de tels points. On se contente souvent de les placer « approximativement »
Pour cela , on peut déterminer un encadrement du nombre par des décimaux. Exemple ci contre : ; encadrement :
Activité n° 8… Placez approximativement les nombres ci-contre après en avoir déterminé un encadrement :
Vous pouvez alors ranger ces nombres dans l’ordre croissant : …………….< …………. < ……….< ………<…………< …………
Utilisation de la partie entière d’un nombre.
Rappel :
Considérons le nombre						1	1	4
							3	2
Vous avez vu en « 5° » que					En effet : 2 = et
« 2 » est appelé la partie entière de «  »  , c’est le « quotient entier approché par défaut ».
· Ecrivez de même :
· Nous allons placer approximativement sur la droite le point d’abscisse qui se trouve :
· Placez , de même, les points ayant pour abscisses :
v Pour comparer des nombres , on peut placer approximativement sur une droite les points ayant ces nombres pour abscisses ( le partage de l’unité se faisant grossièrement ).
Remarque : Si les nombres sont très voisins ( exemple : ) Le procédé est trop approximatif pour pouvoir déceler celui des deux points qui est à droite de l’autre. Il faut donc comparer les nombres comme cela a été vu dans la fiche 7.
Activité n° 9…
Rangez dans l’ordre croissant les nombres :
………………….<………..<………..<………..<………< ………..< …………< …………..< ……………
Fin : 26/03/2014

Travaux auto formatifs

Faire toutes les fiches …………………..

CONTROLE:

2 ° ) Par quel signe sont séparées deux fractions équivalentes?

3° ) Que représente deux fractions équivalentes , autre qu ‘une égalité ?

4 ° ) Donnez le modèle mathématique représentant deux fractions équivalentes.

5° ) Comment peut-on procéder pour ordonner ( classer dans un ordre croissant ou décroissant ) des fractions ?

6° ) Comment procède -t - on pour vérifier si deux fractions sont équivalentes (donnez la procédure la plus sûre ) ?

EVALUATION:

I )Dire si les fractions suivantes sont équivalentes (si non les classer par ordre croissant):

a )  ;  ;  ;  ; ; utiliser le tableau ci dessous ;

b )idem que ci dessus :  ; ; ; ;

c ) idem que ci dessus : ; ;

II ) Construire .....5......fractions équivalentes à la fraction donnée :

III) On nous donne deux fractions ; et ;sont-elles équivalentes?

En complément :voir cas avec nombres relatifs

I ° ) Construire 3 fractions équivalentes à la fraction donnée.(indiquer le coefficient multiplicateur utilisé pour chaque étape)

*un « coefficient » est un nombre ,généralement , entier .

a) =

b) =

c) =

d) =

II ° ) CALCUL ALGEBRIQUE :

Mettre sous forme d’une égalité simple les fractions équivalentes suivantes ,en utilisant le produit en croix :

=

=

=

=

et encore :

a) = 5 b) = 7 ;

Construire 4 fractions équivalentes à la fraction à la donnée

a) =

b) =

c) =

d) =

Dans les exercices suivants ne pas « développer »

e) =

f) =

CORRIGE EVALUATION

I ) a) ligne 2 : calcul avec la calculatrice

ligne 3 : classement par ordre croissant.

0,28333	0,250	0,8337	0,583	0,600
2	1	5	3	4

conclusion : < < 7/ 12 < <

Interdisciplinarité

Voir «  les proportions »