LE QUOTIENT :

I ) Le quotient est positif :

 Lorsque le quotient  (positif) de deux décimaux « a » et « b » ne permet pas de trouver  une valeur exacte ( entière ou décimale)  , on a besoin parfois d’utiliser des valeurs décimales approchées de ce quotient .

On distingue l’ensemble des valeurs décimales   approchées par défaut ( inférieures au quotient ) et l’ensemble des valeurs  décimales  approchées par excès  ( supérieures au quotient ) .

NB : le quotient de   est positif ; il est égal au quotient       

  ( ? :info plus +++)

Exemple : soit le rationnel

Le rationnel  n’est pas  égal à un décimal .

Cependant , nous constatons  dans le quotient  qu’un  groupe de chiffres se répète indéfiniment dans la partie décimale :

On écrit   = 1,

  Et que 428571 est appelé « période »

Ainsi le nombre 1, est un nombre ayant une suite décimale illimitée.

Prenons une calculatrice :

10/7 = 1,428 571 428 57

II ) Le quotient est négatif :

rappel : se souvenir que dans  l’ensemble des nombres négatifs , le plus petit est toujours celui qui a la plus grande valeur absolue.

Exemple  soit le rationnel

Le rationnel  n’est pas  égal à un décimal .

Cependant , nous constatons  dans le quotient  qu’un  groupe de chiffres se répète indéfiniment dans la partie décimale :

On écrit   = -2,

  Et que 27 est appelé « période »

Ainsi le nombre est un nombre -2,2727 ayant une suite décimale illimitée.

Prenons une calculatrice :

 -25 /11= -2,27272727 Prenons une calculatrice :

III) ENCADREMENT d’une somme : 

La somme de deux nombres dont on ne connaît que des valeurs approchées est encadrée par la somme de deux   valeurs approchées par défaut et la somme de deux valeurs approchées par excès ;
Les termes  extrêmes de l’encadrement sont les bornes .

Exemple :

  Soit deux rationnels :   et  ; nous recherchons un résultat qui sera un encadrement approché  de la somme . ( par excès ou par défaut)

a)  encadrement de   , au millième près :   1,428 <   < 1,429

b) encadrement de  , au millième près   :   0,333  <  <  0,334

c)      (1,428 + 0,333)  < ( +  ) < (1,429 + 0,334 )

1, 761  < ( +  ) < 1,763

nous   dirons que  ] 1, 761 ;  1,763  [  est un encadrement  de ( +  )  d’amplitude  0,002

A partir de cet encadrement , nous pouvons donner une valeur  approchée de ( +  )  par exemple : 1,7 à 0,1 près par défaut .

IV ) ENCADREMENT d’une différence :

Pour encadrer la différence de deux nombres , il ne faut pas soustraire membre à membre les inégalités , car il n’existe aucune  règle le permettant :

On doit se rappeler que   a – b =  a + opp b    

 ( INFO rappel ? ? ? : soustraction de deux nombres relatifs)

Et procéder d’abord à un encadrement  de l’opposé de « b »

Exemple : soient     2,3  < a <  2,4    et      1,7 <   b <  1,8

Pour encadrer a - b  nous devons encadrer   tout d’abord « -b »

Ce qui donne   - 1,8 <   - b   <  - 1,7  

     ( INFO rappel ? ? ?classification des nombres négatifs )

Nous reformons le système : 2,3  < a <  2,4    et  - 1,8 <   - b   <  - 1,7

Nous additions membre à membre :

  (  2,3 +( - 1,8 ))  <  a + (– b)  <  (2,4 + (– 1,7 ) )

 donc                0,5 < a – b < 0,7

V ) ENCADREMENT d’un produit

1°) Cas où les facteurs sont positifs :

Si tous les nombres donnés sont positifs , il n’y a aucun problème :on multiplie membre à membre l’encadrement .

Soient   le système            2,3 < a < 2,4  et  1,7 < b < 1,8

On multiple membre à membre :

 2,3  1,7  <  ab  < 2,4 1,8

 conclusion :    3,91 < ab < 4,32

2°) Cas où les facteurs  peuvent être négatifs .

Il  faut absolument utiliser l’encadrement  correspondant des termes  opposés.  

Exemple : soit le système 1,7 < a < 1,8   et   -3 <  b < -2

On transforme :    -3 <  b < -2   ®   + 2  <  - b  < +3

Encadrer : - ab    ; 

1,7 < a < 1,8        et        + 2  <  - b  < +3    ;

3,4  < - a b  < 5,4

Ce qui donne  le produit « ab »        -5,4  < ab < - 3,4

NB :

Dans tous les cas , il est nécessaire de vérifier que l’écriture finale est cohérente ,  c’est à dire que l’on va en augmentant  de la gauche vers la droite quand on utilise le signe <