A  )   Notion  d’approximations décimales ou quotient approchés  ( ou « troncature ») de  253  par 0,7 sont :

B )   Notion d’arrondis automatiques.

C ) Le RATIONNEL :

D ) LES IRRATIONNELS :

Fiche : COURS :

A  )   Notion d’approximations décimales ou quotient approchés  ( ou « troncature ») de  253  par 0,7 sont :

Résultat affiché sur la calculatrice :  254 : 0,7  = 362,85714

On exprimera  suivant  la demande ou les contraintes imposées par la situation :

La division de: 254   par  0,7  donne le résultat  « 362,85714 » 

Ou :

  362  à 1  près   ;

  362,8  à 0,1 près   ;

  362,85  à 0,01 près ;

  362,857 à 0,001  près  

Remarque sur la nécessité d’arrondir :  on peut arrondir au millième une distance exprimée en kilomètre  ( 3,245 km =  3 245 m )   , il est moins nécessaire d’arrondir au millième une dimension exprimée en millimètre. ( le millième de millimètre étant difficilement  mesurable)  3,234 mm =   3224 / 1000 de mm)

On s’accorde à dire que la règle graduée que l’on utilise est précise à 0,5 mm prés . ( au 1/10 pour un œil exercé !!!!!!)  cela dépend de la finesse de la graduation.

B )  Notion d’arrondis automatiques :

Dans certains problèmes , on peut avoir  besoin de donner la valeur  la plus voisine  d’un nombre décimal : on l’appelle « arrondi automatique ».

Exemples :

L’arrondi automatique entier de 39,9 est  40

L’arrondi automatique entier de 25,3 est  25

L’arrondi automatique d’ordre 1 de 7,83  est  7,8

L’arrondi automatique d’ordre 1 de 7,87  est  7,9

L’arrondi automatique d’ordre 2 de 3,141 est  3,14 

( INFO ++++ :  cliquez ici pour connaître certaines règles )

Approximation et calcul numérique :

L’écriture décimale des entiers nous est tellement familière que nous n’y prêtons plus attention.

Le Il est même beaucoup plus agréable de lire 1995 que mille neuf cent quatre vingt quinze .

Pour les nombres décimaux également , l’emploi de cette numération ne pose pas  de problème particulier. La vie quotidienne fournissant  18,25 ; 69 ;90  et autres .

Mathématique , 18,25 est égal à 73/4 et l’on utilise indifféremment les deux notations.

C ) Le RATIONNEL :

Mais les choses ne sont pas aussi simples pour tous les nombres rationnels.

Ainsi il arrive que l’on obtienne une suite infinie de décimales :

Par exemples :

  =  0 , 3 3 3 3  3 3  3  3 ………

  =  3 , 143857 143857 143857 143857 ………

  =  3 , 14  20 202020202020………

Néanmoins , tous ces développements ont  une propriété remarquable : à partir d’un « certain moment »  , ils deviennent   périodiques ; ( c’est à dire   que le même groupe de chiffres se répète à l’infini ). On peut d’ailleurs démontrer que cette propriété est caractéristique des rationnels : un nombre est un rationnel si et seulement si son développement  décimal est périodique à partir d’un certain rang.

  Cela signifie que , même si le développement d’un rationnel est infini , une quantité finie de  chiffres est suffisante pour le décrire complètement : le début du développement et sa période .

Exemple :   ou   31106 / 9900  est entièrement reconstitué à partir de la donnée de 3,14 et de sa période 20.

D ) LES IRRATIONNELS :

Pour les rationnels le développement est périodique ; en revanche pour les irrationnels rien de tel n’est possible , le développement n’est jamais périodique .

Deux types de questions se posent alors :

v Peut-on relier d’autres propriétés des nombres ( le fait d’être algébrique , transcendant , etc …) à des propriétés de leur développement décimal ?

v  Comment , à partir d’un nombre fini de données , peut-on représenter un irrationnel avec le maximum de précision ?

Ces deux questions , avec  les problèmes qui leur sont reliés , font de nos jours l’objet  d’actives recherches .

Par exemple , est-ce que le chiffre 1 apparaît une infinité de fois dans le développement décimal de    ( lire : racine carrée de deux )?

Si oui , avec quel fréquence ?

*on peut se poser évidemment les mêmes questions à propos de « pi » ou de n’importe quel nombre.

Voilà un type de question très simple  à énoncer  , mais dont on ne connaît pas la réponse : personne à l’heure actuelle ne sait par exemple si le chiffre 3 apparaît  une infinité de fois dans le développement décimal de « pi »

On pense même qu’il  s’agit là d’un problème extrêmement  difficile .

 Commentaire :

Le résultat a probablement peu d’importance en lui – même . Ce qui est intéressant , c’est qu’il paraît nécessaire pour le résoudre de trouver des nouvelles approches , de développer des méthodes complètement  neuves . Les méthodes ainsi créer auront certainement imaginer – pour l’instant difficile à imaginer- dans les domaines variés des mathématiques , mais aussi dans les sciences appliquées ou la technologie .

La limitation des calculs effectués par une calculatrice scientifique ou un ordinateur :

Comme toute machine  l’ordinateur a ses limites , qui tiennent essentiellement à trois facteurs :

-        les erreurs d’arrondi : l’ordinateur , ne pouvant stocker qu’un nombre fini de décimales , est toujours obligé d’arrondir les nombres .Bien sûr , l’erreur d’arrondi ainsi faite sur un seul nombre est ridiculement faible . Mais il peut arriver que les erreurs d’arrondi s’accumulent , surtout si l’on effectue une suite très longue de calculs , jusqu’à rendre le résultat complètement faux .

-        Le temps de calcul : les calculs demandés prennent un certain temps  , très petit pour les calculs simples , mais qui devient important quand ces calculs se compliquent. ( voir le temps d’affichage de l’image d’un micro trop lent )

-        Sa capacité de mémoire : bien que très grand , le nombre d’informations que peut stocker un ordinateur à un instant donné ne peut pas dépasser une certaine quantité .

INTERDISCIPLINARITE

Géométrie : la Géode ( La Villette ), est l’approximation d’une sphère par un polyèdre

TRAVAUX AUTO FORMATIFS

CONTROLE :Préparation

1 ) Que veut dire approximation" ?

Voir dictionnaire

2°) Que signifie qu’un développement d’un nombre dévient périodique ?

3°) Donner la caractéristique ( propriété) d’un nombre rationnel.

4°) Comment peut-on décrire complètement un  nombre rationnel , dont le développement est infini ?

EVALUATION à préparer

Définissez le rationnel suivant , à partir de son développement :

   ou   31106 / 9900 :   il est entièrement reconstitué à partir de la donnée de ……………….