I ) Racine carré d’un produit :

Pré requis

Modèle mathématique:    

  =

Traduction littérale:

      La racine carrée d’une multiplication  est égale à la multiplication des racines carrées.

Applications:

 N°1 :

Faire le calcul de   

D'après la relation ci dessus on peut écrire que :   =

   On calcule   :   =  2   et   =  5

   On remplace : =   2 5    =  10

  On conclut que : =10

N° 2 :

Exercice en relation avec les décompositions du nombre en produit de facteurs premiers:

Cette forme de procédure permet de  "faire" la racine carré d'un nombre entier naturel (exemple: 75) sans avoir recours à la calculatrice:

Donner la    = ?

Réponses :

a ) on décompose 75  :    75 =  3 5 5    = 3  5 ²

b ) on réécrit  sous la racine la décomposition :         

c ) on transforme  la racine d’un produit en produit de racines    

d)on effectue les calculs possible =  5

e ) on modifie l’écriture pour ne pas avoir de signe « multiplier » (risque de confusion avec la lettre x) =  5

f ) On simplifie l ‘écriture  =5

Cette procédure est transférable  à d’autres types d exercices, contenant des inconnues .

exemples:

a ) Faire la racine carrée de   :

                      =     =    =  2 =  2

b ) Faire la racine carrée de   :

                      =    =  = 2x

II) Racine carrée d’un quotient.

   Pré requis:

   Modèle mathématique:

   =

   Traduction en langage littéral:

        La racine carrée d’un quotient est égale au quotient des racines carrées

Application numérique:

   =   on  sait que  9 égal  à 3 ²; que  16 est 4²

on peut écrire que   =   

on calcule  3 : 4 = 0.75

 cas particulier :                          =  =  

Les cas suivants ne peuvent pas se transformer:

   Il faut faire le calcul afin de n’avoir qu’un nombre « sous » la racine.

     Le  cas  suivant est utilisé , comme outil mathématique, pour traiter  « Pythagore »

III) Racine carrée d’une addition. Ne se transforme pas  en addition de racines carrées

Procédure de traitement : il faut  effectuer en priorité l’addition ,et faire ensuite la racine:

exemple :  =   on est obligé de faire  9 + 16 =  25

on réécrit  :  =

on décompose 25  = 5 fois 5  = 5 ²

On applique: = 5  

    (Conclusion : = 5

Remarque: Si l’on effectue les calculs  de la racine carrée d’une somme() et la somme   des racines carrées des nombres composant la somme (+); on trouve un résultat différent:

on constate que le résultat de  et bien différent de +

A retenir : rappel 

     la racine carrée d’une somme n’est jamais égale à la somme des racines carrées des nombres composant l’addition.

 et bien différent de +

IV)          Racine carrée d’une soustraction .

rappel 

la  racine carrée d’une soustraction  ne se transforme pas en soustraction de  racines carrées.

Comme pour l’addition  ,il en est de même pour la soustraction:

       si vous faite le calcul vous constaterez que le résultat de  et bien différent de -

A retenir: la racine carrée d’une soustraction  n’est jamais égale à la soustraction des racines carrées des nombres  composant  la soustraction.

 et bien différent de -

AUTRE REMARQUE:

Attention  !  on ne peut pas faire la racine carrée d’un nombre négatif  (parce que le carrée est un nombre positif) ; donc on ne peut pas faire la racine carrée de 9 - 16 ( = -7); par contre je peut faire la racine carrée de 16 - 9

    La racine carrée d’un nombre négatif est impossible

V ) Neutralisation d’une racine carrée  d’un nombre dans une égalité:

Pour neutraliser une  racine carrée d’un nombre « x » ; il faut élever  cette racine carrée au carrée.

ce qui se traduit en écriture mathématique:

() ²  = x       et    () ²  = x²

Application numérique :     () ²  = 81   ; explication :on fait la racine carrée de 81  (=9) ;et on fait  9 au carré. (=81)

Utilisation:  en sciences , ou pour transformation d’égalité.

Autre intérêt : Dans une égalité ;pour neutraliser la racine carrée d’une  addition ou soustraction contenant une inconnue , sachant qu’il est impossible de transformer une racine carrée d’une somme par  une somme de racines carrés

Exemples  d’application:  Calculer la valeur de « x »:

1^er   Enoncé  :        7 =

Résolution : 

Procédure : on élève « au carré » les deux membres de l’égalité:

7 ² = ()²

* Si on pose que « X » vaut  « 30 + x »

on remarque  que ()²   est de la forme  () ²

puisque  () ² est égal à X ,alors on peut conclure que

()² est égal à  30 + x

Nous pouvons donc remplacer 7 ² = ()²   par la nouvelle égalité: 7 ² = 30 + x

FIN de L ’EXERCICE:

49 = 30 + x

49 - 30  =  x   

     19 = x 

  conclusion    « x »   vaut 19

2^ème Enoncé :    50 =       ; 

            (ce type de calcul est à connaître pour savoir appliquer Pythagore dans tous les cas )

Procédure pour pouvoir obtenir la valeur de « x »

a) on élève « au carré » les deux membres de l’égalité:

                                   50 ² = ()²

b)   * Si l’ on pose que X vaut 1600+x ²;

on remarque  que ()²    peut se mettre sous  la forme  () ²

               nous savons que  () ² est égal à X ,

                            alors on peut conclure que   ()² est égal à  1600 + x²

Nous pouvons donc remplacer 50 ² = ()²   par la nouvelle égalité: 50 ² =1600+x²

ceci termine l’application  de l’objectif , ce qui suit est à traiter avec  l’objectif sur les égalités.

FIN de L’EXERCICE:

2500 = 1600 + x²        (nous savons que pour obtenir    « x » à partir de « x² » il faut faire la racine carrée de  « x² ».

Il faut donc isoler   « x² » ce qui donne :

 2500 - 1600 = x²

Nous calculons  2500-1600 = 900

nous écrivons à nouveau   900= x²  ;

     puisque    = x      ; on fait la racine carrée des deux membres de l’égalité

ce qui donne        =

Nous cherchons à la calculatrice ,(ou à l’aide des carrés parfaits) ,    = 30

Nous posons                                                                                      = x

nous obtenons  une nouvelle égalité:   30  = x

on conclut que « x » vaut 30