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Leçon
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Titre
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N°5
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LES FRACTIONS :
Opérations : Addition ;
soustraction ; multiplication ; division
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Important :Pour faciliter les calculs et pour éviter les risques d’erreurs de
calcul , il est conseillé de simplifier
jusqu’à rendre irréductible la ou
les fractions .
* chaque opération est traitée, à chacune correspond une
information plus particulière .
|
Définition : La somme de deux fractions est égale à
une troisième fraction qui aura pour
« Numérateur » : la somme des numérateurs et pour
« Dénominateur » : le dénominateur commun.
|
.
Forme mathématique:
Exemple
Règle :
(Forme
littérale)
|
Définition : La différence de deux fractions est égale
à une troisième fraction qui aura pour
« Numérateur » : la différence des numérateurs et pour
« Dénominateur » : le dénominateur commun.
|
Forme
symbolique mathématique:
Exemple
Calcul de : 
Solution : = 
= 
Expression
du résultat :
Conclusion : = ; »
0,333333333333333333333333333333333
Règle : ( Forme littérale)
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La
multiplication de deux fractions de même dénominateur est égale à une
troisième fraction qui aura pour: « Numérateur » le produit des
numérateurs et pour « Dénominateur » le produit des dénominateurs.
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Forme
symbolique mathématique:
Exemple :
Calcul de 
Solution : = 
= ou
= 
Calculs : 8
fois 7 = 56 et 13² = 169
Soit : = 
En
conclusion = ou » 0,331
Remarque
importante: Nous ne pouvons pas calculer directement la fraction de
deux fractions ,il faut impérativement transformer
Donc
l’écriture : 
se
transforme en 
La fraction de deux fractions 
devient 
Bien que la fraction de deux fractions soit transformée en
division ;le calcul de
la division de deux fractions ne se fait pas ; il faut « passer » par la multiplication en
respectant la procédure suivante:
se transforme en qui
devient 
= 
= 
=
En conclusion : =
En
résumé :
|
Règle : ( forme littérale ) Pour
calculer la division de deux fractions il suffit de
multiplier la première fraction par l’inverse de seconde
fraction.
|
Autrement
dit : Le résultat de la division de deux fractions de même
dénominateur est égal au produit de la
première fraction par l’inverse de seconde fraction .
Forme
symbolique mathématique :
Exemple :
calculer 
Solution :
Déroulement : 
Conclusion : 
= 0,875
+Faire les exercices
suivants :
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Addition
|
|
|
|
 =
|
|
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Soustraction ( pour cet exercice il faut avoir fait la leçon sur les
nombres relatifs)
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Soustraction
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 =
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Multiplication
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|
 =
|
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Fraction de fractions
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|
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Division de fractions
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|
|
|
 =
|
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Réponses : 
; 
; 
; 
; 
; 
Il faut
valider les acquis précédents avant d’étudier le chapitre « B »
(chapitre suivant)
|
i9
voir ci- dessus.
i29
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B ) ADDITION ;
SOUSTRACTION ; DIVISION et
MULTIPLICATION ; de DEUX
FRACTIONS de DENOMINATEURS DIFFERENTS.
|
:i
Cd³ INFO +
|
Soit les deux fractions 
On ne peut pas additionner des
fractions de dénominateurs différents :
Ainsi
avant de faire l’addition de deux fractions il faut transformer
chaque fraction en fraction dite « équivalente »
dont le nouveau dénominateur est égal
au produit des deux dénominateurs « bd » .
a) 
b) 
On remplace l’addition 
par 
On peut écrire
l’égalité : =
On peut maintenant effectuer l addition des deux fractions:
=
Exemple : Calculer 
Procédure :
1°) Au préalable on simplifie ou ,dans la mesure du
possible’ on essaie de rendre irréductible
la ou les fractions :
ce qui est le cas de pour 
2°) On
remplace l’addition devient égale à
l’addition 
On a remplacé 
, On obtient
une nouvelle addition ,
3°) On calcule le « dénominateur commun » :
5 fois 4 = 20
4°) Transformation
chacune des deux fractions
. (Dont le dénominateur sera
20)
; 
5°) On remplace l’addition avec
les fractions de départ par une nouvelle addition avec des fractions équivalentes :
= 
Nous avons maintenant
deux fractions de même dénominateur , nous pouvons
faire l’addition .
6°) Calcul de l’addition :
= 
= 
7°) Conclusion :
|
On reprend l’énoncé : l’addition de
départ !
|
On donne le résultat sous
forme irréductible
|
On peut donner aussi le
résultat sous forme décimale
|
|
|
=
|
= 0,85
|
8°) Vérification : Dans tous les cas il
faut vérifier si notre résultat est
conforme ; pour cela on calcule la
division dans chaque fraction :
= 3 ¸ 5 = 0,6
; 
= 3 ¸ 12 = 0,25
Ensuite , on
remplace les deux fractions par les valeurs décimales calculées
précédemment et l’on compare :
=
0,6 + 0,25 = 0,85
On compare 0,85 avec , bien
entendu nous trouvons le même nombre
donc on peut maintenant conclure que :
=
Soit les
deux fractions On ne peut pas soustraire des fractions de dénominateurs
différents :
Ici le
dénominateur commun sera «
bd »
On doit
transformer les fractions en fractions équivalentes dont on donnera un
dénominateur égal au produit des dénominateurs.
Avant de faire une soustraction il faut :
Transformer chaque
fraction en fraction dite
« équivalente » dont le nouveau dénominateur est « bd » .
a) 
b)
On
remplace 
par 
On peut écrire =
On peut maintenant effectuer la soustraction des deux fractions:
=
Exemple :
Calculer 
Procédure :
1°) Rendre irréductible la ou les
fractions : ce qui est le cas de 
2°) réécrire la nouvelle opération : devient égal à
3°)calculer
le dénominateur commun : 5 fois 4
= 20
4°) Transformation les deux
fractions de départ par des fractions équivalentes , ayant toutes deux un même dénominateur .
;
5°) Remplacer les fractions de la
soustraction d’origine par les fractions équivalentes :
= 
6°) calcul de la soustraction :
= 
= 
7°) 1ère conclusion :
= =
0,35
8°) Vérification : = 0,6 -
0,25 = 0,35 ; et =
0,35 ; conclusion
=
|
Si l’addition et la soustraction de deux
fractions de dénominateurs
différents posent un réel
problème , il n’en est pas de même
pour la multiplication et la division ( ou fraction ) de
fractions : il n’y a aucune transformation particulière , il faut
appliquer directement les
règles énoncées pour les fractions de même dénominateur .
|
Voir suite du cours .
Il n’y a
pas de transformation particulière
à effectuer , ainsi la multiplication de deux fractions de dénominateur
différent ne pose pas de problème
particulier .
On retiendra la règle suivante :
|
Règle : ( écriture
littérale)La
multiplication de deux fractions de dénominateur différent est égale à une
troisième fraction qui aura pour
« Numérateur » : le produit des numérateurs et pour
« Dénominateur » : le produit des dénominateurs.
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Traduction
symbolique mathématique: 
= 
= 
Exemple : calculer : 
Solution :
conclusion : = 
» 0,194805194805194805194805194805195
iNous ne pouvons pas calculer directement la fraction de
deux fractions ,il faut impérativement transformer
l’écriture .
Donc
l’écriture : 
se transforme en 
La fraction de fractions 
devient 
Bien que
la fraction de fractions soit transformée en division ; la division de deux
fractions ne se fait pas ; il faut transformer la division en multiplication en respectant
la procédure suivante:
se
transforme en qui
devient 
En conclusion : 
Et l’on applique ,ensuite, les règles de la multiplication de deux
fractions.
|
Règle : ( forme littérale ) Pour
calculer la division de deux fractions il suffit de
multiplier la première fraction par l’inverse de seconde
fraction.
|
Forme symbolique
mathématique :
Exemple : 
( »0,244444444444444444444444444444444)
conclusion : 
; »0,24 à 0,01
près ( il faudrait faire la vérification ! !)
+Faire les
exercices suivants
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Addition
|
|
|
|
 =
|
|
|
|
Soustraction ( pour cet exercice il faut avoir fait la leçon sur les
nombres relatifs
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|
|
 =
|
|
|
|
Soustraction
|
|
|
|
 =
|
|
|
|
Multiplication
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|
|
|
 =
|
|
|
|
Fraction de fractions
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|
|
|
 =
|
|
|
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Division de fractions
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|
|
|
 =
|
|
|
iComme vous
l’avez remarqué :
on peut multiplier ou
diviser directement deux fractions de
dénominateur différent , on ne peut pas additionner ou
soustraire deux fractions qui
n’ont pas le même dénominateur .
Addition d’une fraction avec un nombre entier
(naturel ou relatif)
Modèle mathématique: 
= ?
Exemple: 
= ?
idans
l’addition , Que le nombre soit devant
ou derrière la fraction le résultat ne changera pas : 
( cela ne
sera pas vrai avec la soustraction )
Procédure pour transformer l ‘ addition
( ou la soustraction ) en addition ( ou soustraction) de deux
fractions de même dénominateur.
1°)Rendre la
fraction
irréductible.:
Exemple : 7 /13
= 
2°)Mettre le nombre
sous forme de fraction de dénominateur égal à
1
Modèle mathématique: c = 
;
Exemple : 2
= 
3°)Transformer cette fraction en fraction
équivalente de dénominateur égal au dénominateur de la première
fraction.
Modèle mathématique: 
Le dénominateur de la première fraction est 13
donc 
=
4°) Poser la nouvelle égalité
Modèle mathématique: = 
donc = 
5°) Faire l’addition des deux fractions de même dénominateur. 
donc 
= 
6° ) il faudra conclure (comme on l’a vu pour les
exercices précédents ), après vérification.
Soustraction d’une fraction avec un nombre entier
(naturel ou relatif)
Modèle mathématique: 
= ?
Exemple: 
= ?
iContrairement
à l’addition , pour la soustraction , si l’on permute
le nombre et la fraction on n’aura pas
le même résultat: 
¹ 
Procédure pour transformer la
soustraction d’un nombre et d’une
fraction en soustraction de deux fractions de même dénominateur.
( nous ne
traiterons que l’exemple de
soustraction : 
)
procédure :
1°)Rendre
la fraction
irréductible.:
Exemple : la fraction irréductible de 
est
2°)Mettre le nombre
sous forme de fraction de dénominateur égal à 1
Modèle mathématique: c = 
;
exemple : 2 =
3°)Transformer cette fraction en fraction
équivalente de dénominateur égal au
dénominateur de la première fraction.
Modèle mathématique:
Le dénominateur de la première fraction est 13
donc
4°) poser la nouvelle égalité
Modèle mathématique: 
= 
donc 
= 
5°) faire la soustraction des deux fractions de même
dénominateur.
donc 
= 
6° ) il faudra conclure (comme on l’a vu pour les
exercices précédents ), après
vérification.
|
Par définition : On ne
peut pas multiplier un nombre par une fraction ,
pour obtenir un résultat on prendra appui sur la règle concernant la
multiplication de deux fractions .
|
Modèle mathématique: 
=
Exemple : 
= ? ;
On passe de ce
modèle mathématique: 
à ce modèle 
Remarque : Il faut mettre le nombre
« c » sous forme de fraction de dénominateur égal à 1
; tel que c =
3° ) On
applique la procédure concernant la multiplication de deux fractions:
=
4° )
Rendre compte: 
=
Exemple : 
=
Solution : = 
= 
= 
Conclusion :
=
Cas particulier 1 : on veut calculer : 3
= ; 
72
Modèle mathématique: 
a = pas de
solution immédiate ; (il faut
transformer)
Exemple : si
b = 2
Exemple 1 : Calculer 3 = ? ( donner le résultat sous forme d’une fraction simplifiée ; puis
sous la forme décimale )
3 = 
( voir multiplication de deux fractions)
= 
; =
(voir
simplification d’une fraction)
= 
; = 
; = 
conclusion : 3 = ; remarque :
( = 0,5 ),
sous forme décimale 3 = 0,5
Exemple 2 : calculer
72 ( donner le
résultat sous forme d’une fraction
simplifiée ; puis sous la forme décimale )
72 = 
=
; 
= 
; 
Conclusion : 72 = ou 72 = 18
En
résumé : On ne peut pas multiplier un
nombre par une fraction , pour obtenir un résultat on
prendra appui sur la règle concernant la multiplication de deux fractions.
Procédure permettant de multiplier
une fraction par un nombre.( Modèle mathématique: = ) Il faut faire dans l’ordre :
a) Placer le nombre sous forme de
fraction de dénominateur égal à 1 : 
b) On passe de ce modèle
mathématique: à ce modèle
c) On applique la procédure
concernant la multiplication de deux fractions:
=
d ) Rendre
compte: =
Attention: on ne doit pas confondre:
« diviser une fraction par un nombre(
entier) » ( 1° cas):
ET
« diviser un nombre ( entier) par une
fraction »(2° cas)
iCe qui
différencie les deux cas est la position du signe « égal »
devant l ‘ une des deux barres de
fraction :
Etude
du 1° cas : « diviser une fraction par un nombre(
entier) »
1°) Première transformation
Exemple: 
2°) Deuxième transformation
3°) Troisième
transformation : seconde. »
= 
4°) Calcul : appliquer la règle concernant la
multiplication de deux fractions.
= 
Etude du second cas : Division d’un nombre "a" entier
par une fraction
Exemple : 
1°) Transformer la division d’un nombre par une
fraction en une division de fraction par
une fraction.
2°) Multiplier la première fraction par l ‘inverse de
la seconde. »
4°) Faire la
multiplication des deux fractions.
ion peut constater
que les deux cas donnent des résultats différents ,il est donc trés important de vérifier la position du signe
« égal »
donne
comme résultat: 
» 0,……
et 
donne comme
résultat: 
» 1,……
+Faire les
exercices suivants
|
Addition
|
|
|
|
 =
|
|
|
|
Soustraction ( pour cet exercice il faut avoir fait la leçon sur les
nombres relatifs)
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|
|
 =
|
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Soustraction
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|
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 =
|
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Multiplication
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 =
|
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Fraction de fractions
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 =
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 =
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Division de fractions
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 =
|
|
|
|
 =
|
|
|
Cd³ INFO
+
( Voir la partie
abordée dans la leçon N°2 sur la fraction)
A
savoir : a% = 
y = x ;
ou y = 
= 
= 
ou
« y » est la valeur
d’une augmentation ou diminution
« a » la
valeur du taux
« x » le nombre sur lequel
s’applique le taux.
Exemple : on veut
calculer 8 % de 120
On transforme :
8% = 
( = 0,08 )
On calcule : ´ 120 = 
= 
= 
= 9,6
Conclusion :
8% de 120 = 9,6
