Vers classe de 5ème .

 

 

 

 

 

ACCES au CORRIGE.

I ) Pré requis:

 

Division : (notion)

.

 

 

Fraction : progression vue en primaire.

.

 

 

Information  sur  La fraction  en arithmétique.

.

 

 

Fraction : unité

.

 

 

Pré requis : sur la fraction (pour niveau +++).

.

 

 

Lecture : la fraction ( nomenclature)

.

 

 

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

Index : warmaths

Objectif précédent :

1°) les nombres.

Objectif suivant :

1°) les 4 opérations

Ensuite :les  Opérations avec deux fractions.

3°) Valeur numérique d’une expression littérale

4°) Voir cours de niveau 5

)Tableau :

)Liste des cours

3°) les opérations sur les fractions .

4°) calcul numérique : la fraction.

 

III )  LECON 

ECRITURE  FRACTIONNAIRE  d’UN NOMBRE

 

Chapitres :

 

Travaux  spécifiques : niv VI et V

Fiche 1 : Travaux pré requis.

 

 

Fiche  2 : Ecritures fractionnaires d’un nombre.

 

 

Fiche 3 : Simplification d’une écriture fractionnaire.

Info + sur la simplification d’une fraction+

 

Fiche 4 : Exercices type de simplification d’écritures fractionnaires.

 

 

Fiche 5 : Propriétés des écritures fractionnaires d’un nombre

 

 

Fiche 6 : Inverse d’un nombre en écriture fractionnaire .

 

 

Fiche 7 : Pourcentage.

 

 

Fiche 8 : Organisation et gestion de données.

 

 

 

 

 

Revoir : cours niveau 5

 

 

Fraction

INFO 1  plus ! ! ! ! !

Dossier 138 - 139

Fraction décimale ; écriture décimale d’une fraction décimale et non décimale.

INFO 2  plus ! ! ! ! !

Dossier 150  et   Dossier 151

Fractions égales ( équivalentes)

INFO 3  plus ! ! ! ! !

Dossier 160  et dossier 162 - 163

Multiplication d’une fraction par un nombre

INFO 4  plus ! ! ! ! !

Dossier 158   et   Dossier 159

Calcul de durée   ( système sexagésimal)

INFO 5  plus ! ! ! ! !

Dossier 173

 IV)   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

 

 

Travaux auto -formatifs

INTERDISCIPLINARITE : voir cas par cas ! !

 

 

Test

 Boule verte

COURS  Boule verte

Contrôle Boule verte

Evaluation :

Travaux complémentaires :

 Série 1 ;  rie 2 ;Série 3

Sciences :

- Les durées (n°1).

-  Calcul de temps ; de vitesse , de distance parcourue.

 

- la vitesse uniforme.

 

CORRIGE :

 

 

 

Travaux niveau VI et V sur les fractions  Dos 138 - 139

 

 

Cours « élève »

 

Consigne :  TRAVAILLEZ FICHE PAR FICHE .

 

 

COURS.

 

 

 

 

 

Fiche 1 : Travaux pré requis.

 

 

Vocabulaire :  «  fraction » et « écriture fractionnaire »

  sont des « écritures fractionnaires ».

 

Le mot « fraction »  est réservé aux « écritures fractionnaires » dont les deux termes sont des nombres entiers .

 

Exemples : 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité 1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

Complétez :

 

 

 

 

 

( 1 unité = 1 graduation)

 

geometrie_espace_corrige_exo023

 

 

Activité 2 

 

 

geometrie_espace_corrige_exo024

 

 

·       Placez les points « M » , « N » , « P » , « R » , tels que :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

geometrie_espace_corrige_exo025

 

 

Complétez le schéma illustrant la multiplication par une fraction :

 

 

geometrie_espace_corrige_exo026

 

 

 

 

 

Activité 3 :

SOS : Multiplication d’une fraction par un nombre .

 

 

Calculez :  les    de 12

C'est-à-dire effectuez le produit :  .   soit  ( 12 .. )  ..   ; ou ;  (  …. )  4  = ….. ………

 

Les

 

 

Les

 

 

Les 

 

 

 

 

« a » et « b » étant des nombres entiers ou décimaux quelconques   ,  « b    »

 

 

 

 

 

 

 

Activité 4 :

 

 

Ecrivez sous forme de nombre à virgule ( dit aussi : nombre décimal) .

Exemple : 

 

 

 

 

 

 

 

Remarque : pour multiplier par un nombre «  » , on peut multiplier ce nombre par le résultat  de «  »

 

Exemple : «   »   :   devient :

 


 

 

 

 

 

Fiche  2 : Ecritures fractionnaires d’un nombre.

 

 

 

Complétez : 

 

 

 

 

Vous pouvez écrire :

   sont des écritures fractionnaires d e l’entier naturel « 3 »

 

 

 

Vous constatez que : 

 

 

 

 

Trouvez d’autres écritures  fractionnaires de  « 3 » : …………………………

 

 

 

·       Complétez :

 

 

 

 

 

Vous pouvez écrire :       ….     

 

 

 

 

Vous pouvez alors écrire alors :     ;    ;  sont des écritures fractionnaires du décimal « 0,75 »

 

 

 

Vous constatez que :; 

 

 

   

 

 

 

Trouvez d’autres écritures fractionnaires de « 0,75 » : ……………………………………………………………..

 

 

 

 

 

·       Considérons la fraction  ; Vous remarquez que 

 

« m » étant un nombre ( ou une grandeur) quelconque.

Pour calculer «  «    on divise  « m » par «  » , puis on multiplie le résultat par « ….. ».

Remarques :

Puisque «  »  pour diviser « m » par « 35 »  , on peut diviser « m » par « 7 »  puis diviser par  … ..

 

Et comme «  15 =  5  ……… » , pour multiplier par « 15 » , on peut multiplier par « 5 » puis multiplier par  « …... »

 

En définitif (au regard de ce que l’on vient d’écrire) :

Pour calculer les «  » de « m » , on divise « m » par « 7 » , puis on divise par « 5 »  puis on multiplie par « 5 » et enfin on multiplie par « 3 ».

 

Or « diviser par 5 »  puis « multiplier par 5 »  revient à ne rien faire.

 

Donc tout revient à diviser  « m »  par  « ……… »  puis multiplier le résultat par « ……. » .

 

C'est-à-dire multiplier par la fraction « »   

Puisque « calculer les  «  »   de  « m » revient à calculer  les «  de  m »   ; c’est que «  »   et « »   représentent le même nombre..

 

·       On peut écrire    «    =    »   

 

 

 

et comme

On a alors :

 

 

 

 

 

 

·       Ce que l’on vient de faire avec le nombre « 5 » et  «   »   , on peut le faire avec n’importe quel nombre « k » non nul  et n’importe quelle écriture fractionnaire :    ( b

 

 

 

 

 

 

Activité :

 

 

·       On passe de  «     à   »  en multipliant les deux termes par  .. ….

·       On passe de «    à    »   en divisant  les deux termes de  la fraction «  »  par  « ……… »….on alors que l’on simplifie par « 5 ».

On écrira : qu’en généralisant :

 

 

 

Avec «  »

 

 

 

 

 

A retenir :

A partir d’une écriture fractionnaire d’un nombre, on obtient une autre écriture fractionnaire de ce nombre en multipliant ou divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

 


 

 

 

 

 

Fiche 3 : Simplification d’une écriture fractionnaire.

 

 

 

              Dire qu’une écriture fractionnaire est « plus simple » qu’une autre , c’est dire que son dénominateur  et son dénominateur s’écrivent avec moins de chiffres ou sans virgule ou sont des entiers  plus petits.

 

 

 

 

 

Exemple : Ci-contre on vous donne des écritures fractionnaires d’un même nombre.

 ;  ;  ;

Quelle est la plus simple ? ….…….

 

 

 

·       Quand le dénominateur et le numérateur d’une écriture fractionnaire d’un nombre sont des décimaux , cette écriture fractionnaire peut être remplacée par une fraction.

   Il suffit de multiplier le dénominateur et le numérateur par « 10 » ; « 100 » ; « 1 000 » ; etc……

 

Faites-le dans les cas suivants :

 

 

 

 

 

 

 

·       Simplification d’une fraction .

Sos : simplifier une fraction.

 

 

 

 

 

Pour simplifier une fraction, on divise (si cela est possible) le numérateur et le dénominateur par un entier non nul …

 

 

Exemple :

 

 

Considérons la fraction :    , divisons chacun de ses termes par « 7 ».(sos

 : table des « 7 » )

Divisons  : «  28   7 =  4 »    ;   «  21  7  = 3 » 

Appliquons :       ; on peut donc écrire  que       

En vous aidant de l’exemple ci-dessus :

Simplifiez les fractions suivantes.

 

 

 

 

 

 

 

·       Pour  savoir si le dénominateur et le numérateur sont divisibles par un même nombre entier , vous pouvez utiliser les critères ( dit aussi : caractères ) de divisibilité. 

 

 

 

 

 

·       Caractères ( critères) de divisibilité.

Sos cours supplémentaires sur les

 

 

 

 

 

Rappels : ( vu en classe de 6ème) ; complétez le tableau ci-dessous.

 

 

 

 

 

Divisibilité par :

Condition nécessaire et suffisante.

 

« 10 ; 100 ; 1000 ;……. »

L’entier se termine par  « …… » ; « ……. » ;  « ……. » ; ….etc.

« 2 »

L’entier se termine par « …. » ; «….. » ; « …. » ; « …. » ;  ou « …. » , il est dit « …… » 

« 5 »

L’entier se termine par  « …..» ou « ….. » ..

« 3 »

La « somme des chiffres » de l’entier est divisible par « ….. »

« 9 »

La « somme des chiffres » de l’entier est divisible par « …… »

 

 

 

 

·       Fraction irréductible.

Sos cours : fraction irréductible..

 

 

Il se peut qu’une fraction ne soit pas (ou plus) simplifiable.

Cela se produit quand le numérateur et le dénominateur n’ont pas de diviseur  commun autre que le nombre « 1 ».

On dit alors que la fraction est dite « irréductible ».

 

 

Exemples :

 

 

 

 

 

 

 

Il est possible de prouver ( et vous l’admettrez) que :

 

 

·       Parmi les fractions représentant le même nombre non nul , il existe toujours une fraction irréductible et une seule.

 

 

 

 

 

Activité n° … :

 

 

Donnez la fraction irréductible des nombres suivants :

 

 

Avec des fractions.

 

 

 

 

 

 

 

 

Avec des écritures fractionnaires.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Remarque :

« simplifier une écriture fractionnaire d’un nombre »  sera très souvent synonyme (au collège) de « chercher la fraction irréductible représentant  ce nombre ».

 


 

 

 

 

 

Fiche 4 : Exercices type de simplification d’écritures fractionnaires.

 

 

 

 

 

 

Exemple 1 :  On vous propose de vous montrer comment simplifier la fraction   

 

 

 

 

 

Procédure :  Voici comment faire .

-         On remarque que « 504 » et « 756 » se termine par un multiple de « 2 » , ils sont « pairs ».

Ils sont donc divisibles par  « 2 »   on a alors :

-         On remarque que  « 252 » et « 378 » sont  encore divisible  par  « 2 » ; donc

-        Peut-on encore simplifier  par « 2 » ?  ………

-        Nous allons regarder si les deux nombres « 126 » et « 189 »  sont divisibles par « 3 ».

                Calculons la  somme des chiffres de « 126 »  =   «  1 + 2 + 6 = 9 »  ( « 9 » est divisible par « 3 » donc  « 126 » est divisible par « 3 » )  ; 

                Calculons la  somme des chiffres de « 189 »  =   «  1 + 8 + 9 = 18 »  ( « 18 » est divisible par « 3 » donc  « 189 » est divisible par « 3 » )  ; 

-        « 126 » et « 189 » sont divisibles par « 3 » , on peut donc simplifier la fraction   par « 3 » :   ; on remarque que les termes sont encore multiple de « 3 » ;en conclusion ;  on pouvez simplifier la fraction  par « 9 » :  

Peut-on encore simplifier par « 9 » ou par « 3 » ? …… …… ; Peut-on simplifier par « 5 » ? ……. ……

-        « 14 » et « 21 » ont encore un diviseur commun ( différent de « 1 ») qui est  « 7 » … ; donc  

-        Pratiquement on écrira :  

-        Réponse :  

 

 

 

 

 

Activité : simplifier, de même (c'est-à-dire jusqu’à les  rendre irréductibles ) ,  les fractions suivantes : 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Remarque : Dans le cas de  ; on commence  par simplifier par «  100 » . On a alors      =   

 

 

 

 

 

 

Dans le cas d’écritures fractionnaires ( au moins un terme contient un nombre à virgule) , on commence par se ramener à une fraction.

 

 

Exemple : soit à simplifier l’écriture :   , on écrit alors :    = 

 

 

Activités :  simplifier, de même (c'est-à-dire jusqu’à les  rendre irréductibles ) ,  les écritures fractionnaires suivantes : 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v Pour simplifier :        on ne va pas effectuer les produits , mais au contraire.

On va faire apparaitre des facteurs  communs au numérateur et au dénominateur, pour ensuite supprimer les facteurs communs du numérateur et du numérateur.

    =        on  décompose :        on supprime les facteurs communs :   

 

 

Faites de même pour :

 

 

 

 

 

v Il est possible de prouver ( et vous l’admettrez …) que

 

 

               Toutes les écritures fractionnaires d’un nombre s’obtiennent en multipliant numérateur et dénominateur  de la fraction irréductible correspondante par un même nombre non nul.

 

 

 

 

 

Exemple :   est irréductible .       ; etc.

 

 

 

 

 

Activité :

Trouvez toutes les fractions ayant un dénominateur inférieur à « 70 » et représentant le nombre dont une écriture est    .

 

 

 

 

 

Activité :

Trouvez la fraction ayant pour dénominateur « 15 » et représentant le nombre dont une écriture est  :

 


 

 

 

 

 

Fiche 5 : Propriétés des écritures fractionnaires d’un nombre.

 

 

 

 

 

 

Dans la fiche « 2 » , vous avez vu comment on pouvait trouver d’autres écritures fractionnaires d’un nombre.

Inversement, étant donné deux écritures fractionnaires, comment peut-on savoir si elles représentent le même nombre. ?

 

 

 

 

 

Simplifions :      :      =        et         , vous en déduisez  que 

Calculez :     ;     ; vous constatez que :          

 

 

On dit parfois que     est l’égalité des « produits en croix »

Sos- produit en croix .

 

 

 

 

·                 Vérifiez que   représentent le même nombre : ………….

·       Puis vérifiez  en effectuant le produit en croix : 8 fois 21 =  ….    et      14 fois 12 =   …..

 

 

Ce que vous venez de constater sur deux exemples , nous allons le prouver dans le cas général :

 on a :

On peut écrire       et comme    alors    

                                             Puisque      représentent le même nombre et ont le même dénominateur , alors elles ont le même dénominateur  donc : 

En définitive : s i           alors   

 

 

Inversement : Considérons deux écritures fractionnaires              telles que    

Cherchons si         .

Puisque :     alors             et après simplification ,       

En définitive , si   :     alors          

 

 

ON résumera alors ces deux propriétés en un seul énoncé :

 

 

A retenir :

« a », « b » , « c » , « d » sont des nombres et « b » et « d » sont des nombres non nuls ;

Dire que :                    c’est dire  que   

 

 

On peut ainsi savoir si deux écritures fractionnaires représentent la même nombre.

On vérifie l’égalité  des « produits en croix »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité n° … :

 

 

Utilisez  cette méthode dans les cas ci-dessous.

Calculez les produits en croix , puis complétez en mettant le signe «   »   ou  «  »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité n° … :

 

 

Vérifiez que       ;

 

Avec les nombres « 12 », « 20 » , « 16 » ,  « 15 » , écrivez les « 4 » égalités différentes de la forme 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité n°..

 

 

« x »   et « y »  sont des nombres tels que   « 126 x = 108 y »

Complétez :

       , donnez la forme simplifiée :

 

 

 

 

 

Activité n°..

 

 

Vous allez calculer le nombre « a » sachant que :    

Pour cela, écrivez l’égalité des produits en croix :   

 

 

   ;    vous en déduisez :     , simplifiez  , soit «  a = …. »

 


 

 

 

 

 

Fiche 6 : Inverse d’un nombre en écriture fractionnaire .

Sos : rappel sur l’opposé et l’inverse d’un nombre.

 

 

Exemple 1:

 

 

geometrie_espace_corrige_exo027

 

 

Complétez :

 

 

 

 

 

Exemple 2:

 

 

Complétez :

 

 

geometrie_espace_corrige_exo029

 

 

Réponses :

 

 

;    l’inverse de    est        on peut ‘aussi’   dire que     a pour inverse     ;  

 

 

 

 

 

Exemple 3:

 

 

Complétez par des fractions  ( donnez l’écriture simplifiée ) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cas général :

Considérons une écriture fractionnaire    ( a  0 ; b  0 )  et désignons par « x »  un nombre ( ou une grandeur ) quelconque.

Le schéma ci-dessous  montrez dans le cas général ce que vous avez constaté avec les 3 exemples précédents. 

 

 

geometrie_espace_corrige_exo028

 

 

 

 

 

A retenir :

 

 

 

« x » et « y » étant des nombres (ou des grandeurs) quelconques,    et    étant des écritures fractionnaires non nulles , dire que :

«  y =   »  c’est dire que  «  x =     y »

,    et      sont dites inverses l’une de l’autre.

 

 

 

 

 

 

Activité n° … :

 

 

Quel est l’inverse ( Inv.) de :

Inv.   = 

Inv .   = 

Inv.   =

 

 

 

 

 

Activité n° … :

 

 

L’inverse de    est    qui s’écrit plus simplement :    «  »

 

 

 

 

 

Activité n° … :

 

 

Cherchons l’inverse de « 3 ». Vous savez que « 3 » peut s’écrit  «  »    Son inverse est donc : «    »

 

 

Activité n° … :

 

 

L’inverse de « 1,5 » est   «   »  , donnez –en une écriture fractionnaire simplifiée :

 

 

Activité n° … :

 

 

L’inverse de « 0,4 » est  «  » , donnez-en une écriture décimale .  soit :   

 

 

 

 

 

Activité n° … :

 

 

L’inverse de « 0,001 »   est    ,  donnez –en une écriture entière :

 

 

 

 

 

Activité n° … :

 

 

Sachant que   , calculez « E ».   

 

 

E =   =  105

 

 

 

 

 

Activité n° … :

 

 

On remplit les   d’u  réservoir avec 24 litres . Quelle est la capacité de ce réservoir ?

Réponse :  C =   ; C = 56 litres

 

 

 

 

 

Activité n° … :

 

 

On partage une somme d’argent entre 2 personnes .

La part de la première personne est les   de la part de la deuxième.

La première a reçu « 36 000 € »  , quelle était la somme à partager ?

( conseil : Commencez par calculer la part de la deuxième personne)

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 7 : Pourcentage.

Info : SOS cours sur les pourcentages

 

 

Rappel : vous avez vu dans la classe précédente  que :

 

 

Calculer  « 12 % » d’un nombre , c’est multiplier ce nombre par le fraction :    ( remarque : cette fraction est la représentante du nombre décimale « 0,12 »)

 

 

 

 

 

Activité n° … :

 

 

Calculons  les « 12% »  de « 500 ».