Pré requis

Vocabulaire - nomenclature.

 

« nombre entier »

 

: la division euclidienne

( cosinus)

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index   warmaths

Objectif précédent : la table de multiplication et  la multiplication    

 

« multiple diviseur » def.

Objectif suivant

 

Les caractères de divisibilités

Tableau:     Sphère metallique 22

1°) ce que vous pouvez trouver sur les N

2°) en primaire et collège

3°) Programme 6ème collège.

 

 

DOSSIER:   Collège :    « MULTIPLE » et « DIVISEUR »  et critères de divisibilité

 

 

·      Multiple d’un entier  naturel.

 

 

·       Diviseur  d’un entier  naturel.

 

 

 

 

·      Divisibilité par « 9 » et par « 3 » : « reste da la division par « 9 » ; divisibilité par « 9 » ; divisibilité par « 3 »..

 

 

·      Les critères ( ou caractères) de divisibilité.

 

 

 

 

 

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité        Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation

Boule verte

 

 

 

 

Arithmétique : fiches -activités avec les nombres entiers.

 

 

Corrigé

 

 

 

 

Travaux :module sur les divisibilités.

 

 

 

 

COURS

 

 

1°)  MULTIPLES  D’UN ENTIER NATUREL.

 

 

Dire que « 28 » est un multiple de « 7 » , c’est dire que  « 28 » est le produit de « 7 » par un entier ( qui est …..)                          ( 4 )

 

 

De même « 42 » est un multiple de « 7 » car    42   =  7    ……     

De même « 0 » est un multiple de « 7 » car    0   =  7   ………     

Compléter :

« 33 » est un multiple de « 11 »  car  «  33 = ….   ………….. »

« 48 » est un multiple de « 6 »  car  «  48  = …..   ….. »

« non multiple »

« 34 » n’est pas un multiple de « 4 » car «  4  8  =    ………» ,  « 4  9  =  ……..… »    et :      32  <  34 <  36

 

« 13 » n’est pas un multiple de « 3 » car «  3  ……..=    ……... » ,  « 3  ….  =  …..… »    et :      ……  <  13 <  …….

 

 

 

Ecrire la liste des dix premiers multiples de « 7 » :  .

On passe d’un multiple de « 7 » au multiple suivant en ajoutant ………… « …………… »…………….. ;

Donc chaque multiple non nul de « 7 » est supérieur ou égal à « 7 ».

D’une manière générale ,

 

 

On retiendra :

On appelle « multiple » d’un entier naturel « a » tout entier obtenu en multipliant « a » par un entier naturel.

Tout multiple non nul d’un entier « a » est supérieur ou égal à « a ».

 

 

 

 

 

Série  1  d’exercices : Dites en l’expliquant si les phrases suivantes sont vraies « oui » ou « non »

 

 

 

Rayer la mention inutile

 

Justification :

 

 

« 56 » est multiple de  «  8 »     

« oui » ou « non »

Car

 

 

« 32  » est multiple de  « 6 »

« oui » ou « non »

Car

 

«  48 » est multiple de  « 4 »

« oui » ou « non »

Car

 

« 0  » est multiple de  « 13 »

« oui » ou « non »

Car

 

« 7  » est multiple de  « 7  »

« oui » ou « non »

Car

 

«  5 » est multiple de  « 0 »

« oui » ou « non »

Car

 

« 1  » est multiple de  « 23 »

« oui » ou « non »

Car

 

« 11  » est multiple de  « 11 »

« oui » ou « non »

Car

 

« 15 » est multiple de  « 1 »

« oui » ou « non »

Car

 

 

 

 

 

Série  2  d’exercices :

 

 

 

 

 

a) Ecrire la liste des multiples de « 4 » inférieurs à 49

 

 

 

 

b) Ecrire la liste des multiples de « 6 » inférieurs à 30.

 

 

0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ; 48

 

 

 c) Ecrire la liste des entiers multiples  de « 4 »   et  « 6 » et inférieurs à « 50 »

 

 

Multiple de « 4 »  <  50 : 

 

 

Multiple de « 6 »  <  50 : 

 

 

Donc : les   multiples de « 4 »  et  multiples de « 6 » : sont :      

 

 

On dit que ces entiers sont les communs multiples de  « 4 » et « 6 » inférieurs à « 50 »

 

 

Vous constatez que ces entiers sont les multiples de «  ……… »  inférieurs à « 50 »

 

 

 

 

 

2°)  DIVISEURS   D’UN ENTIER NATUREL.

 

 

 

 

 

Dire que « 28 » est divisible par « 7 »  c’est  dire que dans la division de « 28 » par « 7 » le reste est égal à «  …………….. »

On dit parfois que la division « tombe juste »

On dit que « 7 » est un diviseur de « 28 »  ou que « 7 divise 28 »

 

On peut écrire  alors :  «  27 : 8  = ………… » ….  Or ,  « 28 : 7  = 4 »  signifie que  «  28 =  7   4 »

Donc « 28 est divisible par 7 » signifie que  «  28 est un multiple de 7 »

Conséquence : Tout diviseur d’un entier « a » non nul est inférieur ou égal à « a ».

 

 

 

 

 

On vous donne deux nombres « 54 » et « 9 » on vous demande de compléter les 4 assertions  suivantes :

 

 

………..est  multiple  de …….

..est  diviseur   de …….

… ..est  divisible  par  ………….

……..divise  ……….

 

 

 

 

 

Série  1  d’exercices :

 

 

 

Compléter les phrases en utilisant convenablement les mots « diviseur »  ou « multiple »

 

 

« 52 »  est

 

de « 13 »

 

« 17 » a pour

 

«  170 »

 

« 32 » a pour  

 

«  4 »

 

« 6 »  est

 

de « 24 »

« 5 » a pour  

 

«  20 »

 

« 14 » a pour

 

«  2 »

« 3 »  est

 

de « 21 »

 

« 77 »  est

 

de « 11 »

 

 

 

 

Série 2 :

Exercice 1 :  Ecrire la liste des diviseurs de « 42 »

 

 

 

 

 

Exercice 2 :  Ecrire la liste des diviseurs de « 36 »

 

 

 

 

 

Exercice 3 :  Ecrire la liste des diviseurs de « 60 »

 

 

 

 

 

Exercice 4 :  Ecrire la liste des diviseurs de « 36 » et de « 60 »

 

 

 

 

 

On dit que ces entiers sont les communs diviseurs à la fois de « 36 » et de « 60 »

 

 

 

 

 

Vous constatez que ces entiers sont les diviseurs de ……………………………..

 

 

 

 

 

Série  3 : d’exercices :Parmi les phrases suivantes , certaines sont fausses, barrez les.

 

 

 

«  7 » est diviseur de « 42 »

 

« 36 » est diviseur de « 9 »

 

 

 

« 130 » est multiple de « 10

 

« 53 » a pour diviseur « 53 »

 

 

« 4 » a pour diviseur « 12 »

 

« 9 » est  multiple « 53 »

 

 

« 143 » est divisible par « 11 »

 

« 8 » a pour multiple « 0 »

 

 

« 1 » a pour multiple « 17 »

 

« 7 » divise « 43 »

 

 

« 17 » est divisible par « 0 »

 

« 91 » est multiple de « 13 »

 

 

« 84 » est multiple de « 13 »

 

«  0 » est diviseur de « 27»

 

 

« 5 » divise « 40 »

 

« 31 » est divisible par « 31 »

 

 

 

 

 

3 -  Divisibilité par « 9 » et par « 3 »

 

 

 

Reste de la division par « 9 » :

 

 

 

Considérons le nombre  «  7 358 » . IL est formé des chiffres «  7 ; 3 ; 5 ; 8 » ; on vous demande de compléter :   «  7 + 3 + 5 + 8 = …….. » 

On dit « abusivement » que « 23 » est la somme des chiffres de   «  7 358 ».

La somme des chiffres de « 23 »   est……………………………….

 

 

 

On écrira schématiquement :       «  7 358     23   5

 

 

Le nombre « 5 » ainsi obtenu est le reste de la division de «  7 358 »  par « 9 ». Vous pouvez le vérifier en posant la division.

Vous prouverez plus tard qu’il en est toujours ainsi quand on divise un entier par « 9 ».

 

 

Exemples :

« 468 575 »  « 35 »   »8 » ; donc en conclusion :  le reste de la division par « 9 » du nombre « 468 575 »  est « 8 ».

« 8 795 676 »  «    »     «    » «    » ; donc en conclusion :  le reste de la division du nombre « 8 795 676 » par « 9 »  est « ……….. »

« 5 148 »  « …. »   « …. » ; donc en conclusion :  le reste de la division par « 9 » du nombre « 5 148 »  est « ….. »

 

 

 

 

 

Remarque :

Le reste d’une division par « 9 » ne change pas si on retranche « 9 » au dividende.

Donc , quand on fait la « somme des chiffres » , on peut ne pas compter les « 9 ».

Exemples :

« 924 »   « 15 »  « 6 » .                            sans compter le « 9 » : « 924 »   « 2+ 4  »  « 6 » .

de même  « 5142 »  =      « ( 5+4) +1 + 2 »    «  9 + 3 »  « 3» .  

  471 328 »  «  4 + ( 7+ 2 )+  (1 +8)  + 3 » « 4 + 3 »  =  « 7 »

 

 

 

Exercices : Trouver de même le reste de la division par « 9 » de :

 

 

 

429 765      …………………………………………

173 862     ……………………………………..

 

48 316        ………………………………………….

256 217     …………………………………….

 

 

 

 

Divisibilité par « 9 » :

 

 

Un entier est divisible par « 9 » signifie que « le reste de la division par neuf est « 0 ».

Ainsi la connaissance du reste d la division par « 9 » d’un entier nous permet de savoir si cet entier est divisible ou non par « 9 » . On dira alors :

 

 

A retenir :

Un entier est divisible par « 9 » dans le seul cas où la somme de ses chiffres est divisible par « 9 ».

 

 

 

 

 

 

Exercices :  dire si les entiers suivants sont divisibles ou non par « 9 ».

 

 

 «  74 862 » ………………….

«  57 432 » : ……………………………

« 179 514 » : ……………………………..

 

 

 

 

 

Divisibilité par « 3» :

 

 

Vous prouverez plus tard que

 

 

A retenir :

Un entier est divisible par « 3 » dans le seul cas où la somme de ses chiffres est divisible par « 3 ».

 

 

 

 

 

 

Pour savoir si un entier est divisible par « 3 », on calcule la somme de ses chiffres comme on l’a fait pour la divisibilité par « 9 ».

 

 

Exemple :

 

 

« 7 386 512 »   5     donc l’entier  « 7 386 512 » ………………………………

 

 

 

 

 

Exercices : dites si les entiers suivants sont divisibles par « 3 »

 

 

1 738 294………………….

47 502 …………………………

69 432 :………………………….

54 382 : …………………

 

 

 

 

 

Donnez des exemples  de nombres entiers divisibles par « 3 »

 

 

 

 

 

Remarque :

Un entier divisible par « 9 » est divisible par « 3 ».

Un entier divisible par « 3 »  est-il nécessairement divisible par « 9 » ?

Donnez des exemples :………………………………………………………………………………………………………………..

 

 

 

 

 

Critères de divisibilités .

 

 

 

Un critère de divisibilité  est un procédé rapide qui permet de savoir, sans faire la division , si un entier est divisible ou non par un autre.

Vous en connaissez  déjà certains.

 

Voir ci-dessous ceux que vous devez savoir :

 

 

Divisibilité  par :..

Condition nécessaire et suffisante

 

10 ; 100 ; 1 000 ;

Si l’entier se termine par « 0 » ; « 00 » ; « 000 »

2

L’entier se termine par « 0 » ; « 2 » ; « 4 » ; « 6 » ; « 8 » ; ( S’il est « pair »)

5

L’entier se termine par « 0 » ou par « 5 »

9

La « somme des chiffres » de l’entier est divisible par « 9 »

3

La « somme des chiffres » de l’entier est divisible par « 3 »

 

 

 

 

Donnez des exemples d’entiers divisibles par « 1 000 » :………………………………………………………………………

Donnez des exemples d’entiers divisibles par « 5 » :………………………………………………………………………

Exercice 1 :

 

 

Pour matérialiser le fait qu’un entier de la première entrée est divisible par un entier de la deuxième entrée, on place une croix dans la case correspondante.

P

R

E

M

I

E

R

E

 

E

N

T

R

E

E

 

Deuxième entrée

 

 

2

3

5

9

10

 

48

x

 

 

 

 

140

 

 

 

 

 

595

 

 

 

 

 

Exemple :

« ‘8 » est divisible par « 2 » , on amis une croix dans la case correspondant  au couple ( 48 ; 2)

Placer toutes les croix possibles.

162

 

 

 

 

 

543

 

 

 

 

 

3 420

 

 

 

 

 

149

 

 

 

 

 

2835

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 2 :

 

 

Mettre un chiffre convenable à la place du point pour que le nombre correspondant soit divisible par « 9 » ( il y a peut-être plusieurs solutions ).

 

 

 

37 _ 1

5_43

78 _ 34

50 _ 72

31 _ 5

 

 

 

Mettre un chiffre convenable à la place du point pour que le nombre correspondant soit divisible par « 3 » ( il y a peut-être plusieurs solutions pour chaque cas ).

 

 

 

37 _ 1

5_43

78 _ 34

50 _ 72

31 _ 5

 

 

 

 

 

Exercice 3 :

 

 

 

 

 

Comment reconnaît-on qu’un entier est divisible par « 6 » ?

 

 

 

 

 

Mettre les chiffres convenables à la place des  points  pour que les entiers suivants soient divisibles par « 6 » . Donnez toutes les  solutions.

 

 

853 _

372 _

524 _

 

 

 

 

 

Exercice 4 :Comment reconnaît-on qu’un entier est divisible par « 45 » ?

 

 

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

 

 

Donnez 2 exemples ( ayant au moins 4 chiffres ) ……………………………………………………………………………

 

 

 

 

 

Exercice 5 :

 

 

Mettre les chiffres convenables à la place des points pour que  l’entier  «  53 _ 7 » soit divisible à la fois  par « 5 » et par « 3 ». Donnez toutes les solutions.

 

 

 

 

wr

6 – 12 – 2012.

 

 

 

 

 

 


 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

Pour les trois premières questions  vous pouvez vous aider de l’exemple numérique suivant :                     33 =  3 x  11

 

1°) Qu est ce qu’un  « multiple »?

 

2°) Qu ‘est ce qu’un  « diviseur » ?

 

3°) Que veut dire "divisible" ?

 

4°) que  signifie "quotient exact" ?

 

EVALUATION:

 

Soit deux nombres   : 

 

 

Nommer le multiple

Nommer le diviseur

Lequel est divisible par

Peuvent -ils se diviser ?

66 et 11

 

 

 

 

17 et 3

 

 

 

 

35 et 4

 

 

 

 

2 et 8

 

 

 

 

4,2  et 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Etant donné les nombres suivants dire s'ils sont divisibles  par 2; 3; 4; 5; 8; 9; 11; 25; 125.

 

 

2

3

4

5

8

9

11

25

125

774

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2775

 

 

 

 

 

 

 

 

 

83644

 

 

 

 

 

 

 

 

 

85481

 

 

 

 

 

 

 

 

 

729484756

 

 

 

 

 

 

 

 

 

749250

 

 

 

 

 

 

 

 

 

107811000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

INTER @  DISCIPLINARITE

 

 

 

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