les unités de volume et de capacité , calcul du volume du parallèlépipède rectangle

 Pré requis:

Lecture : représentation des solides.

 

Classe collège 6ème :Fiche de travail …..

Lecture : les perspectives linéaires

 

Le cube

 

Vers le  Corrigé

Géométrie :  le rectangle  

3D Diamond

Volumes : Les prismes droits

3D Diamond

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index  « warmaths.fr »

Objectif précédent :

1.     Le parallélépipède : découverte  

2.     Fiche pédagogique 6ème collège : découverte des parallélépipèdes…….

Objectif suivant Sphère metallique

1°) le développement du pavé

2°) les sections planes

3°) calcul : hauteur surface et volume d’un prisme droit.

4°) Suite du cours sur ………

)Informations sur les calculs des volumes des prismes droits.

)Géométrie dans l’espace :

a)    parallélisme.

b)    Orthogonalité

 

 

 

 

DOSSIER :

  Le volume du  « PARALLELLEPIPEDE RECTANGLE »   ou « prisme rectangulaire » ou « pavé  droit » .

 

 

1°) Mesure du volume d’un parallélépipède rectangle.

 

 

2°) Unités de volume – Système métrique.

 

 

3°) Changement d’unité : conversion.

 

 

4°) Unités de capacité.

 

 

5°) Calcul du volume du parallélépipède rectangle et du cube.

 

 

6°) Situations problèmes.

 

 

 

 

 

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

           FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Autres travaux

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

·      Dossier 146

Travaux niv VI et V:

·      Dos 154 - 155 (aires)

·      Dos 156 - 157 ( vol.)

 

Autres travaux :

·      Calculs inverses(fiche 190)

·      Travaux niv VI et V  Dossier 219.

 

 

 

 

 

 

 

FICHE de travail :

 

 

 

 

 

1 ) Mesure du volume d’un parallélépipède rectangle.

 

 

Info ++sur les notion de l’unité de volume+

 

 

On décide de prendre « le cube » comme « cube unité »

Nous appellerons « U » cette unité.

 

cube_016  ou  vu autrement   cube_005

 

 

 

 

 

Considérons le parallélépipède rectangle, ci contre , vu en perspective (info +++).

                On se propose de déterminer par le dénombrement combien  de « cube unité » composent  ce parallélépipède.

Procédure :

Nombre de cubes sur la longueur de face : ………..

Nombre de cubes sur la profondeur : …………..

Nombre de cubes constituant une couche :   …….= … ..

Nombre  de couches :  ……

Nombre total de cubes :    .…..= ………

 

cube_033

 

 

En définitive, le nombre total de cube est obtenu en effectuant le produit : …… ….………..…………..= …… …...

 

 

 

On dit alors que le nombre « 350 » est la mesure , avec l’unité « U » , du volume du parallélépipède rectangle.

En appelant »V » le volume du parallélépipède , on peut écrire :  « V = 350 U »

 

 

 

 

 

De la même façon : avec l’unité « U ».

La mesure du volume du cube ci-contre est obtenue en effectuant le produit : …… ….………..…………..= ………...

 

 

 

dénombr1

 

 

 

 

 

Figure 1 : De la même façon : avec l’unité « u’ »

Figure 2 : De la même façon : avec l’unité « u »

 

 

pardro1

paradro2

 

La mesure du volume du parallélépipède est :

…… ….…… …..…… …..= …… …...

La mesure du volume du parallélépipède est :

…… ….…… …..…… ……..= …… …...

 

 

 

 

 

 

 

2°) Unités de volume – Système métrique.

Info 1 plus : système métrique.

Info 2 plus : les unités de volume et capacité.

 

 

 

Nous avons vu les unités de longueur : dont l’unité principale est le « mètre »……

 

 

 

Et les unités de volumes sont définies à partir des unités de longueurs.

 

 

 

Le « mètre cube » est le volume  d’un cube dont la longueur de l’arête est « 1 » mètre.

 

 

 

 

 

Il en est de même pour les autres unités .

 

 

Par exemple :

-          Le « décimètre cube » est le volume d’un cube dont ………………………………………………………...

-          Le « centimètre cube » est le volume d’un cube dont …………………………………………………………...

-          Le « millimètre cube » est le volume d’un cube dont ………………………………………………………………

 

 

 

 

 

Symbole d’écriture :

·       Le symbole du mètre cube est « m 3 »

·       Celui du décimètre cube est  …« dm 3 »

·       Celui du centimètre cube est  …« cm 3 »

·       Celui du millimètre cube est  …« mm 3 »

·       ………………

 

 

Correspondance : 1 mètre cube vaut ……………………décimètres cubes..

 

Considérons un cube de « 1 m » de côté. Son volume est donc « ……….. »

Cherchons combien il contient de cubes de « 1 dm » d’arête  soit le cube dont le volume est de « 1 dm3 ».

En faisant le même raisonnement qu’au chapitre « 1° » et sachant que   « 1 m = …….. dm »

Vous pouvez dire que le nombre de cubes cherché est :  …….………..………..= ………...

 

 

On peut alors écrire :

« 1 m3 »  =   « 1 000 dm3 »

 

 

 

 

Complétez le tableau ci-dessous :

 

 

 

Unité

Symbole

Correspondance avec le mètre cube.

 

mètre cube

« m 3 »

 

 

décimètre cube

« dm 3 »

« m 3 » =……………«dm 3 »

« dm 3 » =………………………«m 3 »

centimètre cube

« cm 3 »

« m 3 » = …………….…..«cm 3 »

« cm 3 » = …………………….…..«m 3 »

millimètre cube

« mm 3 »

« m 3 » =………………….…«mm 3 »

« mm 3 » =………………….……«m 3 »

 

Voir le tableau de conversions….

 

 

 

 

 

Vous constatez que les unités successives  vont de « 1000 »  en « 1 000 ».

Donc , dans des changements d’unités, on découpera le nombre  en tranches de «  ..3.. » chiffres.

 

 

 

Complétez :

 

 

1  dm 3 = ……………….…………….cm 3

1  cm 3 = ……………………….mm 3

1  dm 3 = ………………..……….mm 3

 

1  cm 3 = ………………..………….dm 3

1  mm 3 = ……………………….cm 3

1  mm 3 = …………………………….dm 3

 

 

 

 

3°) Changement d’unité : conversion.

 

 

 

 

 

 

« m 3 »

« dm 3 »

« cm 3 »

« mm 3 »

 

 

 

0

0

0

0

7

3

8

2

4

9

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dans le tableau ci-dessus, on a placé un nombre.

On peut lire indifféremment :

 

 

73,824901  dm3

Ou      0,073824901 m3

Ou   ……………………. cm3

Ou   …………………………. mm3

 

 

 

 

 

Activité 1 : En plaçant dans le tableau les nombres ci-dessous, faites les conversions.

 

 

 

5 m3  487 dm3 12 cm3

= ……………………………. cm3

= ……………………………. dm3

= ……………………………. mm3

 

78 cm3  134 mm3

= ……………………………. cm3

= ……………………………. dm3

= ……………………………. m3

963 m3   4 dm3

= ……………………………. m3

= ……………………………. dm3

= ……………………………. cm3

 

 

 

 

 

Activité 2 : Complétez le tableau ci-dessous  dans lequel chaque colonne correspond à un même volume mais exprimé avec des unités différentes.

 

 

m3

0,53

 

 

 

 

dm3

 

 

0,000 64

cm3

 

 

 

9752,68

mm3

 

78 529

 

 

 

 

4°) Unités de capacité.

Info ++ sur les mesures de capacité

 

 

Il arrive souvent que l’on doit mesurer « la quantité » de produit en poudre,  grain ou liquide,…….

Pour cela on prendra un récipient « contenant » pouvant mesurer ces produits.

Ces contenants ont des « capacités » déterminées.

Les unités choisies portent le nom d’ « unités de capacité » .

L’unité de capacité principale porte le nom de « litre ».

 

 

 

 

 

Le litre est la capacité d’un récipient dont le volume intérieur est de «  1 dm».

 

1 L = «  1 dm»

 

 

 

 

 

 

Unité

Symbole

Correspondance avec le litre

 

Multiples usuels

hectolitre

hL

1 hL =  …… L

1 L  = ………. hL

décalitre

daL

1 daL =  ……. L

1 L  = ……   daL

 

Litre

L

 

 

Sous multiples

décilitre

dL

1 dL = ……. L

1 L = ………. dL

centilitre

cL

1 cL =  ……. L

1 L = …………. cL

millilitre

mL

1 mL = …….. L

1 L = …………. mL

 

 

 

 

Cherchez la correspondance avec   1 cm3 =  1 ………………….

 

 

 

 

 

Info « warmaths » Voir le tableau de mesure des capacités.

 

L ' unité de capacité est : le litre ( L )

 

Tableau de conversion des unités de capacité.

 

kl

hl

dal

l

dl

cl

ml

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ci-dessous : le Tableau  intégrant les mesures capacités….

 

 

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kl

hl

dal

l

dl

cl

ml

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité 3 :

 

 

Complétez le tableau ci-dessous.

 

 

 

37   hL

= ………………..L

= …………………. m3

= ……………..….. dm3

= …………....daL

 

17,5 cL

= ………………..L

= …………………....hL

= …………….... cm3

= ………………. mm3

0,000057 m3

= …………………..L

= ………………….…. cm3

= …………….….m.L

= …………………...hL

 

 

 

 

Activité 4 :

 

 

Rangez dans l’ordre croissant…..

 

 

2350 cl

0,05635 m3

18,25 l

0,0809 hl

16 300 cm3

85 cl

 

 

 

 

 

 

 

Convertissons !!

En …  litre

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5°) Calcul du volume du parallélépipède rectangle et du cube.

 

 

 

 

 

a)      Volume du parallélépipède rectangle.

Info +++

 

 

Nous reprenons le parallélépipède rectangle vu ci-dessus.et le petit cube  appelé « cube unité ».

Si la longueur du côté du petit cube est de « 1 cm » alors son volume sera de «  1 cm3 » ; «  lire : un centimètre cube ».

Les dimensions du parallélépipède rectangle sont « 10 cm » , « 7cm », « 5cm ».

D’après ce que l’on a vu sur le chapitre 1 , pour calculer son volume « V » en « cm3 » , on effectue le produit 

…… ….………..………..= …… …...

Et d’une manière générale :

( à retenir)

 

 

Une unité de longueur étant choisie, « a », »b », »c » étant les dimensions d’un parallélépipède rectangle son volume « V » (avec l’unité correspondante) est :

V =…a ….……b…..……c…..

 

cube_035

 

 

 

 

 

A savoir 1 :

 

 

Le raisonnement vu au chapitre 1 a été fait avec des nombres entiers.

Dans le cas des nombres à virgule, il suffit d’imaginer un changement d’unité donnant des nombres entiers et on se retrouve dans la même situation.

Exemples  : « 5,3 ( nombre décimal)  cm devient 53 mm  (nombre entier) » ; « 1,25 m  se convertit en 125 cm »

 

 

Activité 3 :

 

 

Calculez le volume du parallélépipède rectangle dont les dimensions sont : 1,25 m , « 3,5 dm » , « 250 mm ».

Exprimez le résultat en centimètres cubes.

 

 

Conseils : il faut convertir tout en centimètres.   : « 1,25 m =125 cm » , « 3,5 dm = 35 cm » , « 250 mm = 25 cm».

 

 

 

 

 

 

A savoir 2 :

 

 

« Aire latérale »

 

On parle parfois d’aire latérale du parallélépipède rectangle.

L’aire latérale est l’aires des 4 faces autres que le dessus et le dessous.

 

 

Remarque 1 : si votre chambre à la forme d’un parallélépipède, l’aire latérale est l’ aire des quatre murs , on exclut donc le sol et le plafond de la chambre. 

Remarque 2 : la somme des aires  des 6  faces d’un parallélépipède est appelée  « aire totale » .( « on » dit parfois « surface totale »)

cube_036

 

 

 

 

 

Activité 4 :

 

 

« a »

« b »

« c »

« aire latérale  »

« Aire totale »

« volume »

 

120 cm

30 cm

5 cm

………………………..m²

………………………..m²

= ……………. m3

5 m

30 dm

120 cm

………………………..m²

………………………..m²

= ……………. m3

…………..dm

7  m

25 cm

………………………..dm²

………………………..dm²

= …700…. m3

9 dm

20 mm

………cm

……………………….cm²

………………………..cm²

= ……………. dm3

125 mm

…….mm

……….mm

……19,8……..cm²

…1, 198…..dm²

= ……30…. cm3

 

 

 

 

b)      Volume du cube.

Info +sur le volume du cube ++

 

 

 

 

 

Un cube est un parallélépipède rectangle particulier dans lequel :

« a =b= c ».

Le volume du cube est alors :

V = a  a a

 

cube_037

 

 

 

 

 

Par convention :

Info plus sur les puissances « cube »

 

 

« a » étant un nombre quelconque , « a  a »   ,  s’écrit  «  a 3 »  . ( on lit :   « a » au cube )

 

 

Ainsi : « 2  2 2 »   ,  s’écrit  «  2 3 »  . ( on lit :   « 2 » au cube ) ; «  2 3 =    …. »  

 

 

Et  « 5  5 5 »   ,  s’écrit  «  5 3 »  . ( on lit :   « 2 » au cube ) ; «  5 3 =    ………….. » 

 

On dit que « 8 » est le cube de « 2 »  et que « 125 »  est le cube de « ………. » .

 

 

 

 

 

A retenir

 

 

Une unité de longueur étant choisie, étant donné un cube dont la mesure de la longueur  de l’arête est « a », son volume « V » (avec l’unité  correspondante ) est « V = a 3  » 

cube_037

 

 

Activité 5 :

 

 

Complétez le tableau donnant les cubes des 11 premiers entiers naturels.

 

 

a

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

 

a 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité 6 : (difficile : vous aider des résultats précédents )

 

 

Quelle est la longueur de l’arête d’un cube dont le volume est « 0,343 » dm3   ………………..  ( voir le cour sur la racine cubique d’un nombre)

 

 

Activité 7 : (difficile : vous aider des résultats précédents )

 

 

Quelle est la longueur de l’arête d’un cube dont le volume est « 0, 000064 » dm3   :    …………….    ( voir le cour sur la racine cubique d’un nombre)

 

 

 

 

 

Activité 8 : (difficile : vous aider des résultats précédents )

 

 

Le volume d’un cube est de « 300   ». On appelle « a » la mesure en « cm » de son arête.

Donnez les valeurs approchées à 0,1 prés par défaut et par excès de « a ».

 

 

 

 

 

6°) Situations problèmes.

 

 

Pb 1 :

Le récipient en verre ci-contre  est un vase.

C’est un parallélépipède rectangle dont les dimensions intérieures sont « 3 cm » , « 3 cm », et « 20 cm » de hauteur.

 

1°) Il contient de l’eau. On immerge  un objet.

L’eau monte (sans déborder ) de 8 cm .

Calculez le volume de cet objet .*()

 

2°) On enlève l’objet et on immerge un petit cube de « 25  mm »

()

 

Calculez l’élévation du niveau de l’eau ( en mm)

 

cube_038

 

 

Pb 2:

L’intérieur d’un bassin est un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont «  2,5 m » , « 4,4 m » et « 2,1 m » de hauteur.

Il est rempli d’eau aux    de sa hauteur.

Calculez la quantité d’eau ( en hL) qu’il contient  lorsqu’il atteint cette hauteur..

 

 

Pb 3:

Un bloc de glace à une forme parallélépipédique. Un parallélépipède  qui a pour dimensions : «  25  cm » , « 40cm » et « 60 cm ».

1°) sachant qu’un dm3 de  glace pèse  0,918 kg , déterminez combien pèse ce bloc (masse  en grammes) :

2°) Sachant qu’un litre d’eau pèse « 1kg » , quelle est la qualité d’eau obtenue en faisant fondre ce bloc ? ( litre )

 

 

 

Pb 4 :

Sur un toit rectangulaire (horizontal) de 21 m sur 12m, il est tombé une couche de neige de 15 cm . La neige donne en fondant les « 1/9 » de son volume en eau.

Calculez la quantité d’eau ( en litre) obtenue par la fonte de cette neige.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

Donner la définition d’un parallélépipède rectangle .

 

EVALUATION

 

1°) Faire une représentation graphique ( dessiner) un parallélépipède rectangle en perspective cavalière .

2°)

Calculer :

- la longueur d’une diagonale

- l’aire de la surface latérale

- l’aire totale

- le volume

du parallélépipède  droit avec les données suivantes :

a =

b =

c =

S62

3°)

Calculer :

- la longueur d’une diagonale

- l’aire de la surface latérale

- l’aire totale

- le volume

du parallélépipède  droit avec les données suivantes :

a =

b =

c =

h =

S61

 

INTERDISCIPLINARITE :  voir @: dossier 219

 

 

 

 

.0pt;mso-bidi-font-size:10.0pt; font-family:Arial'>