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Les parallèles

 

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AVANT : :

Point - droite Plan

COURS

APRES :

« perpendicularité »

 

Complément d’Info :

Sommaire : Géométrie dans l’espace

 

TITRE :      Géométrie dans l’espace : LE  PARALLELISME

I )  DROITES PARALLELES : définition ;propriétés

II) DROITES ET PLANS PARALLELES.

III) PLANS PARALLELES

Travaux ; devoirs

 

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Contrôle

Evaluation

 

Contrôle

évaluation

 

Interdisciplinarités :   (matière concernée)

F

H

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COURS

 

 

I ) DROITES PARALLELES

 

 

1°) DEFINITION

Deux droites  « D » et « D’ » de l’espace sont parallèles si et seulement si :

a)      ou bien elles sont confondues ;

b)      ou bien elles sont coplanaires , distinctes et sans point commun.

 

On écrit         D // D’

Il faut remarquer que dans l’espace deux droites non parallèles ne sont pas nécessairement  concourantes puisqu’elles peuvent   être non coplanaires. Il  résulte de la définition que deux droites parallèles distinctes « D » et « D’ » déterminent  un plan : le plan défini par « D »  et un point « A » appartenant à « D’ ».

 

Soit une droite « D » et un point « A » n’appartenant pas à « D » . Le point « A » et la droite « D » déterminent un plan et un seul. Dans ce plan , d’après l’axiome d’ Euclide , il existe une droite « D’ » et une seule contenant « A » et parallèle à « D » . Donc :

 

              Par un point extérieur à une droite , on peut mener une parallèle  et une seule à cette droite .

 

2°) PROPRIETES

 

a) théorème .  Si deux droites sont parallèles , tout plan qui coupe l’une  coupe l’autre .

 

Soit « D » et « D’ » deux droites parallèles distinctes définissant le plan « Q » et soit « P » un plan qui coupe « D » en « A » .L’ensemble  des points communs  à « P » et « Q » est une droite D  qui passe par A .

Dans le plan « Q » , la droite D coupe « D » , donc coupe sa parallèle « D’ » en un point « A’ » . Ce point « A’ » est le seul point commun à « D’ » et à « P » puisque « P » et « Q » n’ont pas de points communs  en dehors de ceux de D. Donc si « P » coupe « D » , il coupe la parallèle « D’ » à « D » au point « A’ ».

b)Relation de parallélisme .

 

La relation , définie dans l’ensemble  des droites de l’espace « E » par « est parallèle à »  et appelée relation de parallélisme, est :  

Réflexive : toute droite de l’espace est parallèle à lui-même ;

Symétrique : si  « D » est parallèle à « D’ » , alors »D’ » est parallèle à « D » ;

Transitive :  nous  montrons en effet que si « D » est parallèle à « D’ » et si « D’ » est parallèle à « D’ » , alors « D » est parallèle à « D’ ».

Soit le plan « P » déterminé par « D » et un point « M » de « D’’ ».

Si  D’’ n’est pas incluse dans P , P coupe D’’ en M , donc coupe D’ parallèle à D’’ et coupe D parallèle à D’ , il y a contradiction puisque D est incluse dans P . Donc D’’ est incluse dans P .

D et D’’ n’ont aucun point  commun , car si elles en avaient un , on pourrait mener par ce point deux parallèles distinctes à D’ ; donc : D //D’’.

 

En conclusion , dans l’ensemble des droites de l’espace E , la relation de parallélisme est une relation d’équivalence.

.La classe d’équivalence d’une droite donnée D est l’ensemble des droites de l’espace qui sont parallèles à D .

 

Définition :  Toute classe d’équivalence est appelée direction de droites.

 

 

II) DROITES ET PLANS PARALLELES.

 

 

1°) THEOREME d’ EXISTENCE :

Soit le point A extérieur au plan P et la droite D parallèle à la droite D de P et contenant le point A.

La droite D contenant A extérieur  à P n’est pas incluse dans P ; si P coupe D , il coupe alors sa parallèle D ; ceci contredit l’hypothèse selon laquelle P contient D .

 

Théorème : Etant donné un plan , il existe des droites de l’espace n’ayant aucun point commun avec ce plan .

 

 

2°)DEFINITION :

 

Une droite  D et un plan P sont parallèles si et seulement si :

a)ou bien  la droite D est incluse dans le plan P

b)ou bien  la droite D et le plan P n’ont aucun point commun.

 

Une droite et un plan parallèles n’ayant aucun point commun  sont dits strictement parallèles.

 

3°)THEOREME.

  Si une droite est parallèle à un plan , elle est parallèle à une droite de ce plan .

 

Si la droite est incluse dans le plan , le résultat  est immédiat.

Si nous supposons la droite D  non incluse dans P ; dans ce cas D et P n’ont aucun point commun.

 

Soit   Q le plan déterminé par la droite D et un point A du plan P . Q coupe P suivant une droite D . Les droites D et D sont dans un même plan Q et ne peuvent  se couper  en un point C , sinon C appartiendrait à la fois  à D et à P , ce qui  contredirait l’hypothèse  (D et P n’ont aucun point commun)  .

 

4°)CONDITION DE PARALLELISME.

En tenant compte  des résultats précédents , on déduit :

 

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.

 

5°) CONSEQUENCES .

 

a)      Si une droite D et un plan P sont parallèles  , toute parallèle D à D est parallèle à P .

 

En effet , étant donné deux parallèles  D et D , un plan qui ne coupe pas l’une ne coupe  pas l’autre .

 

b)      Si une droite  D et un plan P sont parallèles , la parallèle à D menée par un point de P est incluse dans P .

 

 

 

 

 

6°) PLANS SECANTS PARALLELES A UNE DROITE.

Soit deux plans sécants P et Q  parallèles à la droite D et soit un point A commun aux deux plans .

 

La parallèle à D menée par A est incluse dans chaque plan ; c’est donc leur intersection.

(voir : conséquence b )

 

Théorème :

   Si une droite est parallèle à deux plans  sécants , elle est parallèle à leur intersection .

 

En particulier , si une droite « D » et un plan « P » sont parallèles , tout plan qui contient D et qui coupe P , le coupe suivant une droite parallèle à D .

 

 


III) PLANS PARALLELES .

 1°) EXISTENCE ET DEFINITION.

a) Existence :         Soit un plan P et un point A extérieur à P .

Par A menons deux droites D et D parallèles à P . Elles déterminent  un plan Q distinct de P car A n’appartient pas à P .

Si Q coupait P , la droite d’intersection incluse dans P serait à la fois parallèle aux deux droites sécantes  D et D ( 6° ci dessus) , ce qui serait impossible .

b) Définition.

Deux plans « P » et « Q » sont parallèles si et seulement si :

a)      ou bien ils sont confondus.

b)      Ou bien il n’ont aucun point commun.

 

On écrit  P //Q     

( INFO plus ! ! ! ! !)

 

Si « P » et « Q » n’ont aucun point commun , on dit qu’ils sont strictement parallèles.

3°) Propriétés .

 

a)      la démonstration d’existence conduit au théorème suivant :

 Si deux droites sécantes d’un plan « Q » sont parallèles à un plan « P » ; les plans P et Q sont parallèles.

 

b) d’après la définition , il va de soit que :

 Si deux plans sont parallèles , toute droite incluse dans l’un est parallèle à l’autre .

Des deux propositions précédentes, il en résulte que :

 Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l’un sont parallèles à l’autre .

4°) Plan passant par un point et parallèle à un plan .

 

Pour mener par un point « A » un plan « Q » parallèle à un plan « P », il suffit de construire les droites « D’ » et D’ passant par « A » et respectivement parallèles aux droites concourantes D et D du plan  P .

 

Ce plan « Q » est unique : s’il existait un second plan  Q’ , ce plan Q’ contiendrait D’ car s’il la coupait en A , il couperait aussi sa parallèle D , donc il couperait le plan P . De même Q’ contient D’ . Il est donc confondu avec P’ .

On énoncera le théorème suivant :

  Il existe un plan et un seul parallèle à un plan donné et passant  par un point donné .

 

5°)Relation de parallélisme dans l’ensemble des plans de l’espace.

 

la relation définie dans l’ensemble des plans de l’espace E par « est parallèle à » et appelé « relation de parallélisme » est :

 

réflexive : tout plan de l’espace est parallèle à lui-même.

Symétrique : si P est parallèle à P’ , alors P’ est parallèle  à P .

Transitive : nous pouvons montrer que si P est parallèle à P’ et si P’ est parallèle à P’’ , alors P est parallèle à P’’ .

 

Si P et P’ sont confondus , alors ils sont parallèles.

Si P et P’’ sont distincts , ils n’ont aucun point commun. En effet , s’ils avaient un point commun A , il passerait par A deux plans distincts parallèles à P’, ce qui est impossible. ( voir précédent 4°) : plan passant par un point …..)

 

La relation de parallélisme dans l’ensemble des droites de l’espace est donc une relation d’équivalence .

 

  A retenir : La classe d’équivalence du plan P , ensemble des plans parallèles à P , est appelée « direction » du plan. 

5°) Problème :

a) Trois plans : on veut étudier la figure formée par deux plans parallèles et distincts de P et Q et un plan R qui coupe P.

 

Si R est parallèle à Q , les plans P et R distincts et parallèles à Q seraient parallèles , ce qui n’est pas le cas puisque R coupe P .(voir ci contre)

Donc  Q et R sont sécants .

Les intersections D et D de R  avec P et Q sont des droites  coplanaires et sans point commun puisque situés dans deux plans parallèles distincts P et Q .

D’où le théorème suivant :

Si deux plans sont parallèles , tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.

6°) Exercice résolu

 

Tétraèdre : On donne un tétraèdre ABCD . Par un point M de l’arête [AC] on fait passer un plan P parallèle aux droites (AB) et ( CD), déterminé en menant par M les parallèles à ces droites.

Etude de la section par ce plan:

Le plan P et le plan de la face ACD sont parallèles à la même droite (CD) ; leur intersection qui passe par M est donc parallèle à (CD) : MN//CD.

De même l’intersection de P et du plan de la face CBD est aussi parallèle à ( CD) : SR//CD

Donc , les droites ( MN) et ( SR) sont parallèles .On démonterait d’une façon analogue que les droites ( MS) et ( NR) sont parallèles.

La section MNRS est un parallélogramme

 

7°)Application pratique. Réalisation de surfaces planes .

a) La droite D est appelée « génératrice » , se déplace parallèlement à elle même à elle même en s’appuyant constamment sur la droite Delta, appelée directrice .

 

 

b)      Certains procédés d’usinage du plan utilisent ce mode de génération à l’aide de deux  droites concourantes dont une  droite delta est fixe et l’autre D se déplace parallèlement .

(exemple : l’étau limeur )

 

CONTROLE:1°)Trouver des exemples concrets de droites parallèles , de droite et plan parallèles , de plans parallèles

 

EVALUATION: ( à voir)