Pré requis:

Représentation des solides.

 

Notion : sur les « volumes »

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ENVIRONNEMENT du dossier:

Index     Boule verte

Objectif précédent :

 

Objectif suivant :

1°)   les calculs Sphère metallique

2°) Le tronc de pyramide .

3°)  Les polyèdres

 

 

DOSSIER : PYRAMIDE .(définition )

 

 

Définitions. (les différentes modèles de  pyramide)

 

 

Le tétraèdre.

 

 

Calculs types :

 

 

·       Surface latérale  ( et  l’apothème)

 

 

·       Surface totale

 

 

·       Volume

 

 

 

 

 

·      Info plus :  Angle « polyèdre »

 

 

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COURS

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Interdisciplinarité

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COURS

 

 

Définition 1:  Une pyramide est un solide limité qui a pour base un polygone quelconque et pour faces latérales des triangles ayant un sommet commun.

 

 

 

Modèles de pyramides :

 

 

pyra

pyr1

 

 

pyr2

pyr3

 

 

pyr4

tétraè

 

 

Le Tétraèdre :

 

 

le tétraèdre est déterminé par quatre points ( I , J K, S) non coplanaires , appelés « sommets » Ces sommets définissent quatre triangles  ISJ ; ISK ;JSK ; IJK, appelés « faces » et six  segments  IS ; JS ; KS ; IJ ; JK ; KI , appelés « arêtes » ;

 

( info plu: section ….)

 

 

 

tétraè

 

 

Le tétraèdre peut être considéré de quatre manières comme une pyramide , dans chacun des cas , la base est un triangle.

Autres définitions :

Sommet : le sommet  commun des triangles est appelé « sommet » de la pyramide.

 

Hauteur : la hauteur d’une pyramide est la perpendiculaire abaissée du sommet sur le plan de la base .

 

Différentes espèces de pyramides :

 

Une pyramide est triangulaire , quadrangulaire , pentagonale , etc;selon que sa base est un triangle , un quadrilatère , un pentagone , etc .

Une pyramide triangulaire est appelée : tétraèdre

Une pyramide quadrangulaire a cinq facettes : la base qui est un quadrilatère et quatre facettes latérales.

Pyramide régulière :

Une pyramide est régulière lorsque  sa base est un polygone régulier et que sa hauteur « tombe » au centre du polygone .

Les arêtes latérales obliques s’écartent également du pied de la hauteur perpendiculaire, elles sont égales en longueurs ; les facettes latérales  sont donc des triangles isocèles.

Exemple :la grande Pyramide d’ Egypte est une pyramide régulière à base carrée ; les facettes latérales sont des triangles isocèles presque équilatéraux.

 

 

 

CALCULS :

 

 

 

I )  SURFACE LATERALE :

 

 

 

La surface latérale d’une pyramide régulière est égale  à la moitié du produit  du périmètre de la base par l’apothème de la pyramide .

Ce qui se traduit :             Surf. Latérale =

 

Ou                             A =

 

 

 

L’apothème est une droite issue du sommet de la pyramide  et sommet du triangle isocèle  et joignant le côté opposé  du triangle (face latérale) en son milieu .

Il y a autant d’apothème que de faces latérales.

Cette apothème est a la fois médiane médiatrice bissectrice et hauteur .

 

 

 

! ! ! !« apothème » info plus

 

 

Rectangle: Apothèmepyra2

 

 

Application :

Une pyramide à pour base un carré de  0,80 m de côté ; son apothème égale 2,50 m. Trouver :

1°) le périmètre de base .

2° ) sa surface latérale.

Résolution :

1°) le périmètre de base .= 0,80 m  4 = 3,20 m

2° ) sa surface latérale.=  = 4 m2

 

 

 

II ) SURFACE TOTALE :

 

 

 

la surface totale est la somme de la surface latérale et de la surface de base .

 

Application :

Une pyramide à pour base un carré de  0,80 m de côté ; son apothème égale 2,50 m. Trouver : sa surface totale .

 

Résolution :

 Surface de base :  A = 0,80m0,80m =  0,64 m2

 

Surface latérale.=  = 4 m2

 

Surface totale . 4 m2 + 0,80m0,80m =4 m2 +  0,64 m2  = 4,64 m2

 

 

 

III ) VOLUME

 

 

 

                      Un prisme triangulaire peut – être décomposé en 3 pyramides équivalentes . le volume d’une pyramide est ainsi égal au tiers du produit de la surface de base par sa hauteur.

 

 

 

Définition 2:  Une pyramide est un solide limité par un angle polyédral et une section plane s’appuyant sur toutes les arêtes.

 

 

Volume de la pyramide à base carrée :

V =

 

« h » est la hauteur et « A » l’aire de la base ; ou :

V =

 

« B » étant l’aire de base

 

 

pyra2

 

 

Volume de la pyramide à base polygonale :

 

V =

 

« h » est la hauteur et « A » l’aire de la base

 

 

pyra1

 

 

Application : Une pyramide à pour base un carré de  0,80 m de côté ; sa hauteur égale 2,40 m. Trouver son volume  .

 

Résolution :

Surface de base :  A = 0,80m0,80m =  0,64 m2

Volume :=  =0,512 m3

 

 

 

INFO PLUS

 

 

 

Angle « polyèdre » -dit aussi « angle polyédral » est la figure formée par un certain nombre de demi droites appelées « arêtes » issues d’un même point appelé « sommet » , et par les portions de plans comprises entre deux arêtes consécutives.

Ces portions de plans  , qui sont des angles, s’appellent « faces ».

 

Dans la plupart des cas il n’est considéré  que des angles polyédraux « convexes ».

 

Dénomination :

L’angle polyédral ayant trois faces s’appelle « trièdre »

Les autres s’appellent : angle tétraédral ; pentaédral ; etc.

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

 

 

 

 

 

CONTROLE :

 

 

 

1°) Donner une définition d’une  pyramide ?

2°) Qu’appelle t- on  « Sommet » ? 

3°) Qu’appelle –t-on « Hauteur » ?

4°) Donner la formule permettant de calculer le volume d’une pyramide.

 

 

 

 

EVALUATION :

 

 

 

 

Parmi ces quatre pyramides : identifier les « régulières »  et les « irrégulière » ; donner leur un nom particulier

 

Modèles de pyramides :

pyra2

pyr1

pyr2

pyr3

 

 

pyr4

tétraè

 

 

 

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE