Pré requis:

Lecture : géométrie descriptive    

 

Lecture : La représentation en Perspective

 

A consulter : Les volumes particuliers.

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index accueil warmaths

AVANT :

)Notion

2°) A voir !!!

3°) leçon qui était  faite au   collège « étude descriptive de l’espace » )!!!(avant 2013)

 

 

COURS

APRES :

1°) L’orthogonalité

2°) le parallélisme.

 

Info :
  1. Liste des cours sur la géométrie dans l’espace.
 
2.     Cours :niveau IV

 

  1. Cours

 

TITRE : Plan et droite dans l ‘espace .

)DEFINITION et AXIOMES

)DETERMINATION D’UN PLAN

)REGIONNEMENT  DE L’ESPACE

4°) POSITIONS RELATIVES DE DEUX PLANS

5°) POSITIONS RELATIVES D’UNE DROITE ET D’UN PLAN.

6°) POSITION RELATIVES DE DEUX DROITES DE L’ESPACE

7°) TETRAEDRE  ( tétraèdre

 

 

Exercice série 1

 

Travaux ; devoirs

Exercices série 2

Corrigé

TEST

Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation

 

Interdisciplinarités :   (matière concernée)

F

H

Géo.

Vie quotidienne

et vie familiale

Autres :

Sciences et technique 

Physique

Chimie

Electricité

Statistique.

 

 

 

 

COURS

 

1°)  DEFINITION et AXIOMES

 

L’espace est un ensemble noté « E » dont les éléments sont  appelés « points »

 

Les droites et les plans  sont des parties propres de l’ensemble « E » .

Les relations sont décrites par les axiomes  suivants :

 

Axiome 1 :  il existe une droite est une seule  contenant deux points distincts  « A » et « B »  de l’espace .

 

On dira que la droite passe par A et B  , on dit aussi que  les points A et B déterminent la droite . On note cette droite  (  A B  ) .  

 

 

Axiome 2 :  Toute droite dont deux points  distincts appartiennent à un plan est incluse dans ce plan .

 

( Rappel  Info sur la position d’une droite par rapport à un point )

 

Axiome 3 :  Il existe un plan et un seul plan contenant trois points distincts non alignés .

( Rappel Info : détermination d’un plan)

 

On convient de déterminer un plan par un parallélogramme.

Analogie avec l’image d’une face d’une planche à dessin  ou de la surface horizontale d’une table .

esp46

 

 

La représentation graphique ci –contre permet d’illustrer  les axiomes 2 et 3 .

                                                                                        

esp45

 

 

 

 

2°) DETERMINATION D’UN PLAN .

 

Il en résulte des axiomes précédents , qu’un plan est déterminé :

 

a°) si A , B  et C sont les trois points  , le plan sera désigné par :

         plan ( ABC)  

 

)par une droite et un point n’appartenant pas à cette droite .

 

             Sur la droite il suffit de choisir deux points distincts quelconques. Ce qui se ramène au cas précédent . Le plan  P défini par la droite D  et le point « A »et  est désigné par :   plan ( A , D ).

esp44

 

c°) Par deux droites  concourantes  .

Soit I le point d’intersection des droites  D et D’ . Nous considérons le point A distinct  de I appartenant  à D , et le point  A’ distinct de I , appartenant à D’ . Le plan défini par les trois points A , I , A’  contient  les droites  D et D’  . Ce plan est noté ( D et D’ ) .

esp43

 

3°) REGIONNEMENT  DE L’ESPACE .

 

 Observons la surface supérieure  d’une table horizontale  ,partie d’un plan , nous distinguons les points dans l’espace qui sont  au dessus de la table et les points qui sont au -dessous de la table . Cette observation nous conduit aux axiomes suivants :

 

Axiome 4 : Un plan partage l’espace « E »  en deux demi – espaces  E1 et E2    non  vides et disjoints .

Axiome 5 :  Si A et B sont deux points appartenant respectivement  à E1 et E2   , l’intersection du plan  et de la droite passant par A et B  est un point et un seul.
 
La droite ( A B ) joignant  A de E1 et un point B de E2  admet un point commun et un seul « M » avec le plan P
esp41
    

4°) POSITIONS RELATIVES DE DEUX PLANS.  ( info plus !)

 

Soit deux plans donnés ; P et Q .

Par convention de représentation on dira que :  Ces deux plans sont parallèles.

pos23

 

 

a)  « P » et « Q » ont trois points communs non alignés .

 

Tout point de l’un appartient à l’autre . On dit que les deux plans sont « confondus » ou « égaux » .On écrit :  P = Q

esp42

 

b)  « P » et « Q » sont distincts et ont en commun deux points distincts A et B .

 

d’après l’axiome 2  , la droite  ( A B ) est incluse  dans P et incluse dans Q . Les deux plans n’ont pas d’autre point commun  en dehors de la droite  (AB) , sinon ils seraient confondus .

 

On dit que P et Q sont sécants , leur droite commune est D , elle est leur droite d' intersection.

 

Les plans peuvent être perpendiculaires.

Pour cela  il faut qu’un plan possède une droite orthogonale  à l’autre plan.

esp40

 

 

Application : pour démontrer que trois points de l’espace sont alignés , il suffit de démontrer qu’ils sont communs à deux plans distincts .

 

c)  « P » et « Q » sont distincts et ont un point commun A .

Soit E1 et E2 les demi – espaces définis par P et soit dans  Q deux droites x’A x et y’A y  . Si l’une d’elles appartient à P , c’est l’intersection de P et Q . Sinon les demi – droites      [ A x ) et [ A y ) sont par exemple  dans E1 , [ A x’ ) et [ A y’ )  dans E2   Soit M un point de [ A x ) et M’ un point de [ A y’ ) . La droite ( M M’) coupe le plan P au point B distinct de A . Les plans P et Q  ont donc pour intersection  la droite ( A B ) .

esp1

 Donc :

 Si deux plans distincts ont un point commun , leur intersection est une droite contenant ce point .

d)   P et Q   n’ont aucun point commun.

Deux plans qui n’ont aucun point commun sont dit « parallèles » .

pos23

 

 

5°) POSITIONS RELATIVES D’UNE DROITE ET D’UN PLAN. (info plus ! !)

 

Soit une droite « D » et un plan « P »

a) « D » contient deux points appartenant à « P »

 

 

Si « D » contient deux points appartenant à « P »  alors :

la droite « D »  est incluse dans « P » .

 ( axiome 2)

pos19

            b) Si  « D » contient un point « A » appartenant à « P »  et un point « B » n’appartenant pas à « P » .

 

Alors :      La droite D n’est pas incluse dans « P » ; on dit que la droite « D » est « sécante » au plan « P » ou qu ‘elle coupe le plan « P ».

esp2

 

c) Si  « D » et « P » n’ont aucun point commun .

Alors la droite  et le plan sont alors « parallèles ».

pos21

.( Info plus ! !)

 

 

 

)POSITION RELATIVES DE DEUX DROITES DE L’ESPACE.

Soit deux droites « D » et  « D’ »   de l’espace E , on rencontrera 3 cas !

a) Si  « D » et « D’ » ont un point commun .

         Elles sont « concourantes »  et  elles déterminent un plan ; elles dites « coplanaires » .

b) Si  « D » et « D’ » ont tous  leurs  points ,  en commun .

       Les droites  « D » et « D’ »  sont « confondues »   et  elles déterminent un plan ; elles dites « coplanaires » .

c) Si  « D » et « D’ » n’ ont  pas de point commun.

 

   Soit « M » un point de « D » et « P » le plan défini par « M » et « D’ » .

 

c1)  Si la droite « D » est incluse dans le plan « P » , alors dans ce plan , « D » et « D’ » sont parallèles.

 

pos17

 

c2)   Si « D » n’est pas incluse dans le plan « P » , alors  les deux droites « D » et « D’ »  sont dites quelconques et « non coplanaire »  .

esp3

 

7°) TETRAEDRE  ( tétraèdre) :  (info plus ! ! !)

 

On appelle « tétraèdre » un ensemble de quatre points non coplanaires.

Les points A,B,C,D sont les « sommets » du tétraèdre ; ils déterminent six segments [AB] , [AC] , [AD], [BC], [BD], [CD]  qui sont les arêtes du tétraèdre. Deux arêtes  non concourantes telles que [AB] [CD]  sont dites « opposées ».

esp4

 

 

Exemples :

 

Eprismerectangl

Si on considère le parallélépipède ABCDEFGH ;

Les droites ( AE ) et ( BC) sont orthogonales.

La droite (EA) est orthogonale au plan ( ABCD)

La droite (FE) est parallèle au plan ( ABCD)

Les plans  ( ADHE) et ( BCGF) sont parallèles .

Les plans  ( ADHE) et ( ABCD) sont perpendiculaires.

prismetoit

On considère le prisme AB B’A’ DC C’ D’

Le plan  AB B’A’ n’est pas parallèle au plan DC C’ D’ .

Eparadiagexo

La droite (EC) est la diagonale du plan EGCA .

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE:

 

 

 

 


 

EVALUATION:

Discuter sur la position des droites  :

prismecomposé

 

cubesectiond

 

cubediag

 

cubesectiond

 

cubetroncé1

 

prismedroittroncé

 

prismetoit2

 

prismesectionb

 

 

 

prismeTrapèz

 

 

 

tétra

 

 

 

Ecubexo

 

Eexo4

 

 

 

 

Evol3